Troisième · Fiche méthode 2 sur 12 · Identités remarquables
Comment développer avec les identités remarquables ?
Trois formules à connaître par cœur : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. On identifie $a$ et $b$, on remplace, on calcule.
La méthode en 5 étapes
1Reconnaître la forme
Un carré de somme, un carré de différence, ou un produit de la somme par la différence : la troisième forme est la seule qui ne laisse que deux termes.
2Identifier a et b
On écrit explicitement à côté : « ici $a = 3x$ et $b = 4$ ». C'est le moment où la plupart des erreurs se glissent, notamment sur le coefficient.
3Appliquer la formule
On remplace dans l'identité sans rien calculer d'abord, avec des parenthèses : $(3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2$.
4Calculer chaque terme
$(3x)^2 = 9x^2$ (le carré porte aussi sur le $3$), $2\times 3x\times 4 = 24x$, $4^2 = 16$.
5Contrôler avec une valeur
On teste avec $x = 1$ : les deux écritures doivent donner le même nombre.
Un exemple entièrement résolu
Développer $A = (3x+4)^2$, $B = (2x-5)^2$ et $C = (x+7)(x-7)$.
$a = 3x$, $b = 4$ : $A = (3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2 = 9x^2+24x+16$.
$a = 2x$, $b = 5$ : $B = (2x)^2-2\times 2x\times 5+5^2 = 4x^2-20x+25$.
$a = x$, $b = 7$ : $C = x^2-7^2 = x^2-49$. Les termes en $x$ se sont éliminés.
Pour $x = 1$ : $A$ vaut $7^2 = 49$ et $9+24+16 = 49$. Cohérent.
Conclusion. $A = 9x^2+24x+16$, $B = 4x^2-20x+25$ et $C = x^2-49$.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire $(a+b)^2 = a^2+b^2$ : le double produit $2ab$ manque. Pour $x = 1$ et $a = b = 1$, on aurait $4 = 2$, ce qui est faux.
- Oublier d'élever le coefficient au carré : $(3x)^2 = 9x^2$ et non $3x^2$.
- Se tromper de signe dans $(a-b)^2$ : seul le terme du milieu est négatif, $b^2$ reste positif.
- Confondre $(a+b)(a-b)$, qui donne deux termes, avec $(a+b)^2$, qui en donne trois.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Développer : $(x+5)^2$ ; $(x-3)^2$ ; $(x+2)(x-2)$.
Voir le corrigé
$(x+5)^2 = x^2+10x+25$.
$(x-3)^2 = x^2-6x+9$.
$(x+2)(x-2) = x^2-4$.
- Exercice 2
Développer $G = (5x-2)^2$ et $H = (4x+3)(4x-3)$.
Voir le corrigé
$G = (5x)^2-2\times 5x\times 2+2^2 = 25x^2-20x+4$.
$H = (4x)^2-3^2 = 16x^2-9$.
- Exercice 3
Calculer astucieusement $101^2$ et $99\times 101$ sans calculatrice.
Voir le corrigé
$101^2 = (100+1)^2 = 10\,000+200+1 = 10\,201$.
$99\times 101 = (100-1)(100+1) = 10\,000-1 = 9\,999$.
Questions fréquentes
Faut-il apprendre les trois formules par cœur ?
Oui, elles doivent être immédiates. On peut toujours les retrouver par double distributivité, mais cela coûte du temps en contrôle, et surtout elles servent dans l'autre sens pour factoriser, où la reconnaissance visuelle est indispensable.
Pourquoi les identités permettent-elles des calculs astucieux ?
Parce qu'elles remplacent un calcul difficile par des calculs sur des nombres ronds. $102\times 98$ devient $(100+2)(100-2) = 10\,000-4$. Le brevet propose régulièrement ce type de question pour vérifier qu'on a compris la formule, pas seulement mémorisé.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Identités remarquables en Troisième, voici le reste des ressources du site :