Définition
La composée de deux fonctions \(u\) et \(v\) est la fonction qui applique d’abord \(u\), puis \(v\) au résultat obtenu.
Notation : \((v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)\), qui se lit « \(v\) rond \(u\) ».
En clair
C’est enchaîner deux machines : la sortie de la première devient l’entrée de la seconde.
Ce qu’il faut retenir
- L’ordre compte : \(v \circ u\) et \(u \circ v\) sont en général différentes.
- L’ensemble de définition impose que \(u(x)\) appartienne à l’ensemble de définition de \(v\).
- Dérivée d’une composée : \((v \circ u)’ = u’ \times (v’ \circ u)\).
- Cas fréquents : \(\sqrt{u}\), \(u^n\), \(e^u\), \(\ln(u)\).
- Si \(u\) et \(v\) ont le même sens de variation, la composée est croissante.
Exemple
Avec \(u(x) = 2x+1\) et \(v(x) = x^2\) : \((v \circ u)(x) = (2x+1)^2\), alors que \((u \circ v)(x) = 2x^2+1\).
À ne pas confondre avec
- Produit — composer n’est pas multiplier : \((v \circ u)(x) \ne v(x) \times u(x)\).
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Questions fréquentes sur « fonction composée »
Comment dériver une fonction composée ?
On applique la formule \((v \circ u)’ = u’ \times (v’ \circ u)\) : dérivée de l’intérieur multipliée par la dérivée de l’extérieur évaluée en l’intérieur.
