Première — chapitre 10 sur 10
Étude de fonctions : valeur absolue, composées et modélisation
Optimiser, c'est modéliser par une fonction puis lire son tableau de variations.
Définition — valeur absolue
$f(x) = |x|$ vaut $x$ si $x\ge0$ et $-x$ si $x<0$ ; paire, décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, courbe en « V ». $|x-a| = r\iff x = a\pm r$.
Propriété — variations de fonctions associées
Sur un intervalle $I$ où $u$ est monotone :
- $u+k$ a les mêmes variations que $u$ ;
- $\lambda u$ a les mêmes variations si $\lambda>0$, les variations contraires si $\lambda<0$ ;
- $\sqrt u$ (si $u\ge0$) a les mêmes variations que $u$ ;
- $\dfrac1u$ (si $u$ ne s'annule pas et garde un signe constant) a les variations contraires ;
- $u^2$ a les mêmes variations là où $u\ge0$, contraires là où $u\le0$.
Méthode — résoudre un problème d'optimisation
- Choisir la variable $x$ et son intervalle de validité.
- Exprimer la grandeur à optimiser $f(x)$.
- Dériver, étudier le signe de $f'$, dresser le tableau de variations.
- Conclure : valeur optimale et valeur de $x$ correspondante.
Exemple
Boîte sans couvercle fabriquée à partir d'un carré de $12$ cm en découpant des carrés de côté $x$ aux coins : $V(x) = x(12-2x)^2$ sur $]0\,;6[$. $V'(x) = (12-2x)(12-6x)$, maximum en $x = 2$ : $V = 128\ \text{cm}^3$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment dériver une fonction composée en première ?
$(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$, $(u^n)' = nu'u^{n-1}$, $(e^u)' = u'e^u$, $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.
Quelles sont les variations de la fonction valeur absolue ?
$|x| = x$ si $x\ge0$ et $-x$ sinon : décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un minimum $0$ en $0$ où elle n'est pas dérivable.
Comment étudier une fonction complètement ?
Ensemble de définition, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations, puis résolution des questions posées (extremum, équation, tangente).
Comment résoudre |x - a| = r ?
Les solutions sont $x = a+r$ et $x = a-r$ ; $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\,;a+r]$.
