Terminale · Fiche méthode 5 sur 12 · Dérivation
Comment dériver une fonction composée ?
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » sans oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur : $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\mathrm{e}^u$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, $(u^n)' = nu'u^{n-1}$, $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
La méthode en 5 étapes
1Identifier la fonction intérieure u
C'est ce qui est « dans » l'exponentielle, le logarithme, la puissance ou la racine. On l'écrit à part, avec sa dérivée $u'$.
2Reconnaître la forme extérieure
$\mathrm{e}^u$, $\ln u$, $u^n$, $\sqrt{u}$ ou $\dfrac{1}{u}$ : chacune a sa formule.
3Appliquer la formule
Toutes ont la même structure : la dérivée de la fonction extérieure appliquée à $u$, multipliée par $u'$.
4Factoriser le résultat
Une dérivée factorisée est indispensable pour l'étape suivante, l'étude du signe. On met $\mathrm{e}^u$ en facteur, qui est toujours strictement positif.
5Vérifier l'ensemble de définition
Pour $\ln u$, il faut $u>0$ ; pour $\sqrt{u}$, la dérivée n'existe que si $u>0$ strictement.
Un exemple entièrement résolu
Dériver $f(x) = \mathrm{e}^{3x^2-1}$, $g(x) = \ln(x^2+1)$ et $h(x) = (2x-5)^4$.
$u = 3x^2-1$, donc $u' = 6x$.
$f'(x) = u'\mathrm{e}^u = 6x\,\mathrm{e}^{3x^2-1}$
$u = x^2+1$, donc $u' = 2x$, et $u>0$ pour tout réel.
$g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$
$u = 2x-5$, $u' = 2$, $n = 4$.
$h'(x) = 4\times 2\times(2x-5)^3 = 8(2x-5)^3$
$\mathrm{e}^{3x^2-1}>0$ et $x^2+1>0$ : le signe de $f'$ et celui de $g'$ sont donc ceux de $x$.
Conclusion. $f'(x) = 6x\,\mathrm{e}^{3x^2-1}$, $g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ et $h'(x) = 8(2x-5)^3$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le facteur $u'$ : $\left(\mathrm{e}^{3x}\right)' = 3\mathrm{e}^{3x}$, et non $\mathrm{e}^{3x}$.
- Écrire $(\ln u)' = \dfrac{1}{u'}$ au lieu de $\dfrac{u'}{u}$.
- Dériver l'intérieur et l'extérieur séparément puis les multiplier au hasard : la structure est toujours « dérivée extérieure appliquée à $u$, fois $u'$ ».
- Perdre l'ensemble de définition en route, notamment avec un logarithme.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Dériver $f(x) = \mathrm{e}^{-2x+1}$ et $g(x) = \ln(5x-3)$.
Voir le corrigé
$f'(x) = -2\mathrm{e}^{-2x+1}$.
$g'(x) = \dfrac{5}{5x-3}$, sur $\left]\dfrac{3}{5}\,;+\infty\right[$.
- Exercice 2
Dériver $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ et étudier le signe de $h'$.
Voir le corrigé
Produit : $u = x$, $u' = 1$ ; $v = \mathrm{e}^{-x}$, $v' = -\mathrm{e}^{-x}$.
$h'(x) = \mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x} = (1-x)\mathrm{e}^{-x}$. Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, $h'$ est du signe de $1-x$ : positive avant $1$, négative après. La fonction admet un maximum en $x = 1$.
- Exercice 3
Dériver $k(x) = \sqrt{x^2+4}$.
Voir le corrigé
$u = x^2+4>0$, $u' = 2x$.
$k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, du signe de $x$.
Questions fréquentes
Pourquoi multiplier par u' ?
Parce que la variation de la fonction composée cumule deux effets : la vitesse à laquelle $u$ varie, et la vitesse à laquelle la fonction extérieure varie autour de $u(x)$. La formule $(f\circ u)' = u'\times f'\circ u$ traduit exactement cet enchaînement.
Comment repérer une composée dans un exercice ?
Dès qu'une expression autre que $x$ se trouve à l'intérieur d'une fonction : un exposant qui n'est pas $x$, une parenthèse élevée à une puissance, une racine d'un polynôme. Si l'intérieur est simplement $x$, la formule de référence suffit.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Dérivation en Terminale, voici le reste des ressources du site :