Ce contrôle de maths spé porte sur le thème suivant : adjoint, matrices orthogonales et isométries.
Ce devoir surveillé de maths spé porte sur l’adjoint d’un endomorphisme et les isométries d’un espace euclidien. La question de cours vous fait démontrer l’existence de l’adjoint, sa matrice en base orthonormée et la stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable.
Vous déterminerez ensuite l’axe et l’angle d’une rotation de l’espace donnée par une matrice 3 × 3, la matrice d’une réflexion et la description complète du groupe orthogonal du plan. Le problème final établit la réduction d’une isométrie en blocs de rotation et l’applique en dimension 4. Durée : 2 h 30, sans calculatrice.
- Niveau : maths spé (MP)
- Chapitre : Adjoint et isométries d’un espace euclidien
- Durée conseillée : 2 heures 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 7 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer l’existence de l’adjoint et la stabilité de l’orthogonal
- Calculer : reconnaître une matrice orthogonale et déterminer l’axe et l’angle d’une rotation
- Représenter : interpréter géométriquement réflexions et rotations du plan et de l’espace
- Chercher : réduire une isométrie en blocs par récurrence sur la dimension
Exercice 1 : Question de cours : adjoint d’un endomorphisme (4 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits.
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n \geq\, 1\), de produit scalaire noté \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), et \(u \in \mathcal{L}(E)\).
- Démontrez qu’il existe un unique endomorphisme \(u^*\) de \(E\) tel que \(\langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle\) pour tous \(x, y \in E\). On pourra utiliser le théorème de représentation des formes linéaires. (1,5 point)
- Soit \(\mathcal{B}\) une base orthonormée de \(E\) et \(M\) la matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}\). Montrez que la matrice de \(u^*\) dans \(\mathcal{B}\) est \(M^{\top}\). (1 point)
- Montrez que si un sous-espace \(F\) de \(E\) est stable par \(u\), alors \(F^{\perp}\) est stable par \(u^*\). (1,5 point)
Exercice 2 : Une rotation de l’espace (5 points)
L’espace \(\mathbb{R}^3\) est muni de sa structure euclidienne canonique et orienté par sa base canonique \((e_1, e_2, e_3)\). On considère
\[A = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 -1 2 \\ 2 2 -1 \\ -1 2 2 \end{pmatrix}.\]
- Montrez que \(A\) est une matrice orthogonale. (1 point)
- Calculez \(\det A\) et en déduire la nature de l’endomorphisme \(f\) canoniquement associé à \(A\). (1 point)
- Déterminez l’axe de \(f\). (1 point)
- On oriente l’axe par le vecteur \(u = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\). Déterminez l’angle \(\theta \in \,]-\pi, \pi]\) de la rotation \(f\), en utilisant la trace puis le signe de \(\det(u, e_1, f(e_1))\). (1,5 point)
- Déterminez le plus petit entier \(k \geq\, 1\) tel que \(A^k = I_3\). (0,5 point)
Exercice 3 : Réflexions et isométries du plan (4 points)
- Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien canonique, on note \(P\) le plan d’équation \(x – 2y + 2z = 0\) et \(s\) la réflexion par rapport à \(P\). Montrez que \(s(x) = x – 2\dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\,n\) avec \(n = (1, -2, 2)\), puis écrivez la matrice \(S\) de \(s\) dans la base canonique. Vérifiez que \(S\) est symétrique et orthogonale. (1,5 point)
- Montrez que les matrices de \(O_2(\mathbb{R})\) sont exactement les matrices
\[R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta -\sin\theta \\ \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad S(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta \sin\theta \\ \sin\theta -\cos\theta \end{pmatrix}, \quad \theta \in \mathbb{R},\]
et précisez la nature géométrique de l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) associé à \(S(\theta)\). (1,5 point) - Calculez \(S(\alpha)\,S(\beta)\) pour \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et interprétez le résultat. (1 point)
Exercice 4 : Problème : réduction des isométries (7 points)
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n \geq\, 1\) et \(u \in O(E)\) une isométrie vectorielle de \(E\).
- Montrez que \(u^* = u^{-1}\) et que les seules valeurs propres réelles possibles de \(u\) sont \(1\) et \(-1\). (1 point)
- Soit \(F\) un sous-espace stable par \(u\). Montrez que \(u(F) = F\), que \(F\) est stable par \(u^*\), puis que \(F^{\perp}\) est stable par \(u\). (1 point)
- Soit \(M\) la matrice de \(u\) dans une base orthonormée \(\mathcal{B}\). On considère une valeur propre complexe \(\lambda = a + ib\) de \(M\) (avec \(b \neq 0\)) et un vecteur propre associé \(Z = X + iY\), où \(X, Y \in \mathbb{R}^n\). Montrez que \(MX = aX – bY\) et \(MY = bX + aY\). En déduire que \(u\) admet toujours une droite ou un plan stable. (1 point)
- Montrez par récurrence sur \(n\) qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est diagonale par blocs, avec des blocs \((1)\), \((-1)\) et des blocs \(R(\theta)\) avec \(\theta \in \mathbb{R}\). On pourra utiliser l’exercice 3. (1,5 point)
- On suppose \(n = 3\) et \(\det u = 1\). Déduisez de d) que \(1\) est valeur propre de \(u\) et qu’il existe une base orthonormée où la matrice de \(u\) est \(\begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 \cos\theta -\sin\theta \\ 0 \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix}\). (1 point)
- Dans \(\mathbb{R}^4\) euclidien canonique, on considère \(B = \begin{pmatrix} 0 0 0 1 \\ 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \end{pmatrix}\). Justifiez que \(B\) est orthogonale, puis déterminez une base orthonormée de \(\mathbb{R}^4\) dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associé est diagonale par blocs de la forme précédente, en précisant ces blocs. (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : adjoint, matrices orthogonales et isométries
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Isométries vectorielles » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés isométries vectorielles.
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