Contrôle de maths spé : groupes monogènes, ordre d’un élément et Z/nZ

Exercice 1 : Question de cours (5 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, un groupe est noté multiplicativement, d’élément neutre \(e\), sauf mention contraire.

1. Soit \(G\) un groupe monogène engendré par \(a\). Démontrez que si \(G\) est infini, alors \(G\) est isomorphe à \((\mathbb{Z}, +)\), et que si \(G\) est fini de cardinal \(n\), alors \(G\) est isomorphe à \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\). On pourra étudier l’application \(\varphi : k \mapsto a^k\) définie sur \(\mathbb{Z}\). (3 points)
2. Soit \(x\) un élément de \(G\) d’ordre fini \(d\). Démontrez que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), on a \(x^n = e\) si et seulement si \(d\) divise \(n\). (2 points)

Exercice 2 : Générateurs de Z/12Z et racines de l’unité (4 points)

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On note \(\overline{k}\) la classe de l’entier \(k\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines \(n\)-ièmes de l’unité.

1. Démontrez que \(\overline{k}\) engendre le groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\). (1,5 point)
2. Donnez la liste des générateurs de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). Déterminez ensuite l’ordre de \(\overline{8}\) et celui de \(\overline{9}\) dans ce groupe. (1 point)
3. Démontrez que \(\mathbb{U}_n\) est cyclique et isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Déduisez-en la liste des générateurs de \(\mathbb{U}_{12}\) sous forme exponentielle. (1,5 point)

Exercice 3 : Ordre d’un produit (4 points)

Soit \(G\) un groupe et \(x\), \(y\) deux éléments de \(G\) qui commutent (\(xy = yx\)), d’ordres finis respectifs \(a\) et \(b\), avec \(a \wedge b = 1\).

1. Montrez que \((xy)^{ab} = e\). (0,5 point)
2. Montrez que \(\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{e\}\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que l’ordre de \(xy\) est exactement \(ab\). (1,5 point)
4. Application : dans le groupe \((\mathbb{C}^*, \times )\), déterminez l’ordre de \(i\,e^{2i\pi/3}\) sans calcul de puissance. (0,5 point)

Exercice 4 : Sous-groupes de (Z, +) (3 points)

1. Démontrez que tout sous-groupe \(H\) de \((\mathbb{Z}, +)\) est de la forme \(n\mathbb{Z}\), avec \(n \in \mathbb{N}\). (1,5 point)
2. Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous deux nuls. Vérifiez que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), puis montrez que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = (a \wedge b)\mathbb{Z}\). Donnez le résultat pour \(12\mathbb{Z} + 18\mathbb{Z}\). (1 point)
3. Déterminez l’entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(12\mathbb{Z} \cap 18\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\). Justifiez. (0,5 point)

Exercice 5 : Groupes commutatifs finis et ordre premier (4 points)

Soit \((G, \cdot)\) un groupe commutatif fini de cardinal \(n\), et \(x \in G\).

1. Montrez que l’application \(\tau_x : g \mapsto xg\) est une bijection de \(G\) sur \(G\). (0,5 point)
2. On pose \(P = \displaystyle\prod_{g \in G} g\). En calculant de deux façons \(\displaystyle\prod_{g \in G} (xg)\), montrez que \(x^n = e\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que l’ordre de tout élément de \(G\) divise \(n\). (0,5 point)
4. On suppose que \(n = p\) est un nombre premier. Montrez que \(G\) est cyclique, que tout élément \(x \neq e\) l’engendre, et que \(G\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). (1 point)
5. Montrez qu’un groupe commutatif de cardinal 6 qui contient un élément d’ordre 2 et un élément d’ordre 3 est cyclique. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : groupes monogènes, ordre d’un élément et Z/nZ

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Groupes » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés groupes.

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