Corrigé du contrôle de maths L3 : partiel de topologie des espaces normés

Exercice 1 : Questions de cours, dimension finie et théorème de Riesz (5 points)

1. Majoration. Pour \(x = \sum x_i e_i\), l’inégalité triangulaire donne \(N(x) \leq\, \sum |x_i|\,N(e_i) \leq\, C\|x\|_\infty\) avec \(C = \sum_{i=1}^{d} N(e_i) > 0\).
   Continuité de \(N\). Pour \(x, y \in E\), \(|N(x) – N(y)| \leq\, N(x – y) \leq\, C\|x – y\|_\infty\) : \(N\) est lipschitzienne, donc continue sur \((E, \|\cdot\|_\infty)\).
   Minoration. La sphère \(S = \{x : \|x\|_\infty = 1\}\) est fermée (image réciproque de \(\{1\}\) par la norme, continue), bornée et non vide : elle est compacte. La fonction continue \(N\) y atteint son minimum \(\alpha = N(x_0)\) en un point \(x_0 \in S\), et \(\alpha > 0\) car \(x_0 \neq 0\). Pour \(x \neq 0\), \(\frac{x}{\|x\|_\infty} \in S\), donc \(N(\frac{x}{\|x\|_\infty}) \geq\, \alpha\), soit \(N(x) \geq\, \alpha\|x\|_\infty\), inégalité vraie aussi pour \(x = 0\).
   Ainsi \(\alpha\|\cdot\|_\infty \leq\, N \leq\, C\|\cdot\|_\infty\) : \(N\) est équivalente à \(\|\cdot\|_\infty\). L’équivalence des normes étant une relation d’équivalence (en particulier transitive), deux normes quelconques sur \(E\) sont équivalentes.
2. Théorème de Riesz. Un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
   Preuve du sens demandé. Supposons \(E\) de dimension infinie. Soit \(u_1\) un vecteur de norme 1. Supposons construits \(u_1, \ldots, u_k\) de norme 1. Le sous-espace \(F_k = \operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_k)\) est de dimension finie, donc complet (d’après a), il suffit de le vérifier pour la norme \(\|\cdot\|_\infty\) dans une base, et une suite de Cauchy a alors des coordonnées de Cauchy dans \(\mathbb{R}\)), donc fermé dans \(E\) ; et \(F_k \neq E\) puisque \(E\) est de dimension infinie. Le lemme de Riesz fournit \(u_{k+1}\) de norme 1 avec \(d(u_{k+1}, F_k) \geq\, \frac{1}{2}\), donc \(\|u_{k+1} – u_j\| \geq\, \frac{1}{2}\) pour \(j \leq\, k\). La suite \((u_k)\) de la boule unité fermée vérifie \(\|u_p – u_q\| \geq\, \frac{1}{2}\) pour \(p \neq q\) : aucune de ses sous-suites n’est de Cauchy, donc aucune ne converge. La boule unité fermée n’est pas compacte.

Barème : a) 3 points : 0,5 pour la majoration, 0,5 pour la continuité de \(N\), 1,5 pour la minoration par compacité de la sphère, 0,5 pour la conclusion ; b) 2 points : 0,5 pour l’énoncé, 1 point pour la construction de la suite (fermeture de \(F_k\) justifiée), 0,5 pour la conclusion.

Exercice 2 : Compacité dans l’espace des suites bornées (4 points)

1. Les suites \(e^{(p)}\) sont de norme 1 et, pour \(p \neq q\), \(\|e^{(p)} – e^{(q)}\|_\infty = 1\). Une sous-suite convergente serait de Cauchy, ce qui est impossible. La boule unité fermée de \(\ell^\infty\) n’est pas compacte, conformément au théorème de Riesz puisque \(\ell^\infty\) est de dimension infinie.
2. Soit \((x^{(p)})_{p}\) une suite de \(K\). Pour chaque \(n\), la suite réelle \((x^{(p)}_n)_p\) est à valeurs dans le segment \([-\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1}]\).
   Extraction diagonale. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une extraction \(\varphi_0\) telle que \((x^{(\varphi_0(p))}_0)_p\) converge ; puis une extraction \(\varphi_1\) telle que \((x^{(\varphi_0 \circ \varphi_1(p))}_1)_p\) converge, et ainsi de suite. On pose \(\psi(p) = \varphi_0 \circ \varphi_1 \circ \cdots \circ \varphi_p(p)\), qui est strictement croissante. Pour \(n\) fixé, \((\psi(p))_{p \geq\, n}\) est extraite de \(\varphi_0 \circ \cdots \circ \varphi_n\), donc \(x^{(\psi(p))}_n \to y_n\), avec \(|y_n| \leq\, \frac{1}{n+1}\) par passage à la limite. La suite \(y = (y_n)\) appartient donc à \(K\).
   Convergence en norme. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(\frac{2}{N+1} \leq\, \varepsilon\). Pour \(n \geq\, N\), \(|x^{(\psi(p))}_n – y_n| \leq\, \frac{2}{n+1} \leq\, \varepsilon\) pour tout \(p\). Pour les \(N\) indices \(n < N\), il existe un rang \(P\) tel que \(|x^{(\psi(p))}_n – y_n| \leq\, \varepsilon\) dès que \(p \geq\, P\). Donc \(\|x^{(\psi(p))} – y\|_\infty \leq\, \varepsilon\) pour \(p \geq\, P\). Toute suite de \(K\) admet une sous-suite convergente dans \(K\) : \(K\) est compact.
3. Soit \(x \in K\) et \(r > 0\). Choisissons \(n\) tel que \(\frac{1}{n+1} < \frac{r}{2}\), et posons \(z = x + \frac{r}{2}e^{(n)}\) si \(x_n \geq\, 0\), \(z = x – \frac{r}{2}e^{(n)}\) sinon. Alors \(\|z – x\|_\infty = \frac{r}{2} < r\) et \(|z_n| = |x_n| + \frac{r}{2} > \frac{1}{n+1}\), donc \(z \notin K\). Aucune boule ouverte n’est incluse dans \(K\) : \(K\) est d’intérieur vide.

Barème : a) 1 point ; b) 2 points : 1 point pour l’extraction diagonale, 1 point pour la convergence en norme \(\|\cdot\|_\infty\) (découpage en \(n < N\) et \(n \geq\, N\)) ; c) 1 point.

Erreur fréquente : s’arrêter à la convergence de chaque coordonnée : elle ne suffit pas, il faut la convergence uniforme en \(n\), obtenue ici grâce à la majoration \(\frac{2}{n+1}\).

Exercice 3 : Problème, points fixes et parties de Mn(R) (11 points)

Partie A.

1. La fonction \(x \mapsto x^2\) envoie \([0,1]\) dans \([0,1]\) ; par composition de fonctions continues, \(\Phi(f)\) est continue, donc \(\Phi(f) \in E\). Par l’inégalité des accroissements finis, \(|\sin a – \sin b| \leq\, |a – b|\), d’où, pour tout \(x\),
   \[|\Phi(f)(x) – \Phi(h)(x)| \leq\, \frac{1}{2}|f(x^2) – h(x^2)| \leq\, \frac{1}{2}N_\infty(f – h).\]
   \(\Phi\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
2. \(\Phi\) est une contraction de l’espace complet \(E\) dans lui-même ; par le théorème du point fixe de Banach-Picard, l’équation admet une unique solution \(f^{*}\), limite de toute suite \(f_{n+1} = \Phi(f_n)\), en particulier pour \(f_0 = 0\). En \(x = 0\), \(y = f^{*}(0)\) vérifie \(y = \frac{1}{2}\sin y\) ; comme \(|\sin y| \leq\, |y|\), on a \(|y| \leq\, \frac{|y|}{2}\), donc \(f^{*}(0) = 0\).
3. Pour \(x \in [0,1]\), \(\delta_x : f \mapsto f(x)\) est continue (\(|f(x)| \leq\, N_\infty(f)\)), et \(G = \bigcap_{x} \delta_x^{-1}([0, \frac{3}{2}])\) est une intersection de fermés : \(G\) est fermé. Si \(f \in G\), alors \(f(x^2) \in [0, \frac{3}{2}] \subset [0, \pi]\), donc \(\sin f(x^2) \geq\, 0\) et \(x \leq\, \Phi(f)(x) \leq\, x + \frac{1}{2} \leq\, \frac{3}{2}\) : \(\Phi(G) \subset G\). Comme \(f_0 = 0 \in G\), tous les \(f_n\) sont dans \(G\), et leur limite \(f^{*}\) aussi puisque \(G\) est fermé. En appliquant l’encadrement précédent à \(f = f^{*} \in G\) : \(x \leq\, f^{*}(x) = \Phi(f^{*})(x) \leq\, x + \frac{1}{2}\).
4. L’ensemble des fonctions croissantes est \(\bigcap_{x \leq\, y} \{f : f(y) – f(x) \geq\, 0\}\), intersection de fermés ; donc \(H\) est fermé, et \(0 \in H\). Soit \(f \in H\) et \(x \leq\, y\) dans \([0,1]\). Alors \(x^2 \leq\, y^2\), donc \(0 \leq\, f(x^2) \leq\, f(y^2) \leq\, \frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}\) ; le sinus étant croissant sur \([0, \frac{\pi}{2}]\), \(\sin f(x^2) \leq\, \sin f(y^2)\), et \(\Phi(f)(x) \leq\, \Phi(f)(y)\). Avec c), \(\Phi(H) \subset H\). La suite \((f_n)\) reste dans le fermé \(H\), donc \(f^{*} \in H\) : \(f^{*}\) est croissante.

   

5. On a \(f_1 = \Phi(0) = x \mapsto x\), donc \(N_\infty(f_1 – f_0) = 1\), et l’estimation du point fixe avec \(k = \frac{1}{2}\) donne
   \[N_\infty(f_n – f^{*}) \leq\, \frac{k^n}{1 – k}N_\infty(f_1 – f_0) = 2^{1-n}.\]
   Il suffit que \(2^{n-1} \geq\, 100\), soit \(n – 1 \geq\, 7\) (car \(2^6 = 64\) et \(2^7 = 128\)). À partir de \(n = 8\), \(N_\infty(f_n – f^{*}) \leq\, 10^{-2}\).

Partie B.

6. La boule \(F = \overline{B}(0, \frac{1}{4})\) est fermée dans l’espace complet \(M_n(\mathbb{R})\), donc complète. Posons \(\Psi(X) = B + X^2\). Pour \(X \in F\), la norme étant sous-multiplicative, \(|||\Psi(X)||| \leq\, \frac{1}{8} + |||X|||^2 \leq\, \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \leq\, \frac{1}{4}\) : \(\Psi(F) \subset F\). Pour \(X, Y \in F\), \(X^2 – Y^2 = X(X – Y) + (X – Y)Y\), donc
   \[|||\Psi(X) – \Psi(Y)||| \leq\, (|||X||| + |||Y|||)|||X – Y||| \leq\, \frac{1}{2}|||X – Y|||.\]
   \(\Psi\) est une contraction du complet \(F\) : l’équation \(X = B + X^2\) a une unique solution \(X(B)\) dans \(F\).
7. Notons \(X = X(B)\) et \(X^{\prime} = X(B^{\prime})\). Alors \(X – X^{\prime} = (B – B^{\prime}) + (X^2 – X^{\prime 2})\) et, comme en f), \(|||X^2 – X^{\prime 2}||| \leq\, \frac{1}{2}|||X – X^{\prime}|||\). D’où \(|||X – X^{\prime}||| \leq\, |||B – B^{\prime}||| + \frac{1}{2}|||X – X^{\prime}|||\), soit \(|||X – X^{\prime}||| \leq\, 2\,|||B – B^{\prime}|||\). L’application \(B \mapsto X(B)\) est donc continue. La boule \(\overline{B}(0, \frac{1}{8})\) est convexe, donc connexe par arcs (par les segments), et l’image continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs : l’ensemble des \(X(B)\) est connexe par arcs.
8. Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\). Le polynôme \(\lambda \mapsto \det(A – \lambda I_n)\) est de degré \(n\), donc a un nombre fini de racines. Pour \(p\) assez grand, \(\frac{1}{p}\) n’en est pas une, et \(A_p = A – \frac{1}{p}I_n \in GL_n(\mathbb{R})\). Comme \(|||A_p – A||| = \frac{1}{p} \to 0\), \(A\) est limite d’une suite de matrices inversibles : \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(M_n(\mathbb{R})\).
9. \(\mathcal{S}\) est l’image réciproque du fermé \(\{I_n\}\) par l’application continue \(A \mapsto A^2\) : \(\mathcal{S}\) est fermé. Si \(A \in \mathcal{S}\), \(A\) annule \(X^2 – 1 = (X – 1)(X + 1)\), polynôme scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable, semblable à \(\operatorname{diag}(I_p, -I_q)\) avec \(p + q = n\). Donc \(\operatorname{tr} A = p – q = n – 2q\) avec \(0 \leq\, q \leq\, n\). La trace est linéaire, donc continue. Si \(\mathcal{S}\) était connexe, \(\operatorname{tr}(\mathcal{S})\) serait un intervalle contenant \(\operatorname{tr}(I_n) = n\) et \(\operatorname{tr}(-I_n) = -n\), donc \(n – 1\), qui n’est pas de la forme \(n – 2q\) avec \(q\) entier. \(\mathcal{S}\) n’est pas connexe ; la trace sépare même \(\mathcal{S}\) en \(n + 1\) parties ouvertes et fermées non vides.

Barème : Partie A : a) 1,5 point : 0,5 pour \(\Phi(f) \in E\), 1 point pour le caractère lipschitzien ; b) 1 point : 0,5 pour le théorème cité avec ses hypothèses, 0,5 pour \(f^{*}(0)\) ; c) 1,5 point : 0,5 pour le fermé, 0,5 pour la stabilité, 0,5 pour l’encadrement ; d) 1 point ; e) 1 point. Partie B : f) 1,5 point : 0,5 pour la complétude de la boule, 0,5 pour la stabilité, 0,5 pour la contraction ; g) 1 point : 0,5 pour l’inégalité, 0,5 pour la connexité ; h) 1 point ; i) 1,5 point : 0,25 pour le fermé, 0,75 pour la trace, 0,5 pour la non-connexité.

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Après le corrigé du contrôle : partiel de topologie des espaces normés

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