Corrigé du contrôle de maths L2 : normes et topologie de R^n

Exercice 1 : Question de cours : normes usuelles de R^n (4 points)

1. Une norme sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est une application \(N : E \to \mathbb{R}_{+}\) qui vérifie trois propriétés. D’abord la séparation : \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Ensuite l’homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda| N(x)\) pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\). Enfin l’inégalité triangulaire : \(N(x + y) \leq\, N(x) + N(y)\).
2. Les deux applications sont à valeurs positives. Pour \(\|\cdot\|_1\), si \(\sum |x_i| = 0\), une somme de réels positifs est nulle, donc chaque \(x_i\) est nul. Ensuite \(\|\lambda x\|_1 = \sum |\lambda||x_i| = |\lambda|\,\|x\|_1\). Enfin, l’inégalité triangulaire dans \(\mathbb{R}\) donne \(|x_i + y_i| \leq\, |x_i| + |y_i|\) ; on somme sur \(i\).

   Pour \(\|\cdot\|_\infty\), si \(\max |x_i| = 0\), alors tous les \(|x_i|\) sont nuls. L’homogénéité vient de \(\max(|\lambda||x_i|) = |\lambda| \max |x_i|\). Enfin, pour tout \(i\), \(|x_i + y_i| \leq\, |x_i| + |y_i| \leq\, \|x\|_\infty + \|y\|_\infty\) ; on passe au maximum sur \(i\). Ce sont donc deux normes.

3. Soit \(i_0\) un indice tel que \(|x_{i_0}| = \|x\|_\infty\). Alors \(\|x\|_\infty^2 = x_{i_0}^2 \leq\, \sum x_i^2 = \|x\|_2^2\), d’où \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2\).

   Ensuite, en développant, \(\|x\|_1^2 = \sum x_i^2 + \sum_{i \neq j} |x_i||x_j| \geq\, \|x\|_2^2\), donc \(\|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\).

   Enfin, chaque \(|x_i|\) est majoré par \(\|x\|_\infty\), donc \(\|x\|_1 \leq\, n\|x\|_\infty\).

   Par conséquent, ces trois normes sont deux à deux équivalentes : elles définissent les mêmes ouverts, les mêmes parties bornées et les mêmes suites convergentes. C’est un cas particulier du théorème d’équivalence des normes en dimension finie.

4. Dans \(\mathbb{R}^2\), la boule de \(\|\cdot\|_1\) est le losange de sommets \((\pm 1, 0)\) et \((0, \pm 1)\). Celle de \(\|\cdot\|_2\) est le disque unité, et celle de \(\|\cdot\|_\infty\) est le carré \([-1, 1]^2\).

   

   L’inégalité \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\) se lit sur la figure : \(B_1 \subset B_2 \subset B_\infty\). Plus une norme est grande, plus sa boule unité est petite.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point par norme ; c) 0,5 point pour les deux premières inégalités, 0,5 point pour la dernière, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour la figure, 0,5 point pour les inclusions.

Exercice 2 : Une norme non usuelle du plan (4 points)

1. L’application \(N\) est à valeurs positives. Si \(N(x, y) = 0\), alors \(x = 0\) et \(x + y = 0\), donc \(y = 0\) : c’est la séparation. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), \(N(\lambda u) = \max(|\lambda||x|,\; |\lambda||x + y|) = |\lambda| N(u)\).

   Soit \(u = (x, y)\) et \(u^{\prime} = (x^{\prime}, y^{\prime})\). On a \(|x + x^{\prime}| \leq\, |x| + |x^{\prime}| \leq\, N(u) + N(u^{\prime})\). De même, \(|(x + x^{\prime}) + (y + y^{\prime})| \leq\, |x + y| + |x^{\prime} + y^{\prime}| \leq\, N(u) + N(u^{\prime})\). En prenant le maximum, \(N(u + u^{\prime}) \leq\, N(u) + N(u^{\prime})\). Donc \(N\) est une norme.

2. D’une part, \(|x + y| \leq\, |x| + |y| \leq\, 2\|u\|_\infty\) et \(|x| \leq\, \|u\|_\infty\), donc \(N(u) \leq\, 2\|u\|_\infty\).

   D’autre part, \(|x| \leq\, N(u)\) et \(|y| = |(x + y) – x| \leq\, |x + y| + |x| \leq\, 2N(u)\). Donc \(\|u\|_\infty \leq\, 2N(u)\), soit \(\frac{1}{2}\|u\|_\infty \leq\, N(u)\).

   Ces constantes sont optimales. En effet, pour \(u = (1, 1)\), \(N(u) = 2 = 2\|u\|_\infty\). De même, pour \(u = (1, -2)\), \(N(u) = \max(1, 1) = 1\) et \(\|u\|_\infty = 2\), donc \(N(u) = \frac{1}{2}\|u\|_\infty\). Les deux inégalités sont atteintes.

3. La boule unité fermée est \(\{|x| \leq\, 1\} \cap \{-1 \leq\, x + y \leq\, 1\}\) : c’est l’intersection d’une bande verticale et d’une bande oblique. On obtient le parallélogramme de sommets \((1, 0)\), \((1, -2)\), \((-1, 0)\) et \((-1, 2)\).

   

   La figure confirme b : la boule de \(N\) contient le carré \(\|u\|_\infty \leq\, \frac{1}{2}\) et elle est contenue dans le carré \(\|u\|_\infty \leq\, 2\). Les sommets \((1, -2)\) et \((-1, 2)\) touchent le grand carré ; les points \(\pm(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) touchent le petit.

Barème : a) 0,5 point pour séparation et homogénéité, 1 point pour l’inégalité triangulaire ; b) 0,5 point par inégalité, 0,5 point pour l’optimalité ; c) 0,5 point pour la description, 0,5 point pour la figure et les sommets.

Exercice 3 : Une partie compacte définie par des inégalités (5 points)

1. Les applications \(g : (x, y) \mapsto x^2 + y^2\) et \(h : (x, y) \mapsto y – x^2\) sont polynomiales, donc continues sur \(\mathbb{R}^2\). Or \(A = g^{-1}(]-\infty, 4]) \cap h^{-1}([-2, +\infty[)\). Les intervalles \(]-\infty, 4]\) et \([-2, +\infty[\) sont fermés dans \(\mathbb{R}\). L’image réciproque d’un fermé par une application continue est fermée, et une intersection de fermés est fermée. Donc \(A\) est fermée.
2. Tout point de \(A\) vérifie \(\|(x, y)\|_2 \leq\, 2\), donc \(A\) est bornée. En dimension finie, les compacts sont exactement les parties fermées et bornées, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass. Donc \(A\) est compacte.
3. La fonction \(f\) est linéaire, donc continue. Par le théorème des bornes atteintes, elle est bornée sur le compact non vide \(A\) et y atteint son maximum et son minimum.

   Maximum. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, \(x + y \leq\, \sqrt{2}\sqrt{x^2 + y^2} \leq\, 2\sqrt{2}\). Le point \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\) vérifie \(x^2 + y^2 = 4\) et \(y = \sqrt{2} \geq\, 0 = x^2 – 2\), donc il est dans \(A\). Ainsi \(\max_A f = 2\sqrt{2}\).

   Minimum. Sur \(A\), on a \(y \geq\, x^2 – 2\), donc \(x + y \geq\, x^2 + x – 2 = (x + \frac{1}{2})^2 – \frac{9}{4} \geq\, -\frac{9}{4}\). Le point \((-\frac{1}{2}, -\frac{7}{4})\) est sur la parabole, et \(\frac{1}{4} + \frac{49}{16} = \frac{53}{16} \leq\, 4\), donc il est dans \(A\). En ce point, \(f = -\frac{9}{4}\). Ainsi \(\min_A f = -\frac{9}{4}\).

   

   Sur la figure, les deux droites de niveau extrêmes de \(f\) touchent \(A\) sans la traverser.

4. On a \(U = g^{-1}(]-\infty, 4[) \cap h^{-1}(]-2, +\infty[)\). C’est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts par des applications continues, donc \(U\) est ouvert. De plus \(U \subset A\). Or l’intérieur de \(A\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A\). Par conséquent, \(U \subset \mathring{A}\).

Erreur fréquente : affirmer qu’une partie définie par des inégalités larges est fermée sans citer la continuité des fonctions qui la définissent.

Barème : a) 0,5 point pour la continuité, 1 point pour l’écriture en images réciproques ; b) 0,5 point pour le caractère borné, 0,5 point pour la compacité justifiée ; c) 0,5 point pour l’existence, 0,5 point par extremum avec un point de \(A\) ; d) 0,5 point pour l’ouvert, 0,5 point pour l’inclusion dans l’intérieur.

Exercice 4 : Adhérence d’une partie dénombrable (3 points)

1. Pour tout \(n \geq\, 1\), \(\|(\frac{1}{n}, (-1)^n)\|_\infty = 1\), donc \(D\) est bornée. La suite \(u_k = (\frac{1}{2k}, 1)\) est à valeurs dans \(D\) et converge vers \((0, 1)\). Or \((0, 1) \notin D\), car la première coordonnée d’un point de \(D\) n’est jamais nulle. D’après la caractérisation séquentielle des fermés, \(D\) n’est pas fermée.
2. Soit \(p = (\frac{1}{n}, (-1)^n) \in D\) et \(r > 0\). Pour \(0 < t < \min(r, 1)\), le point \((\frac{1}{n}, (-1)^n + t)\) est dans la boule \(B(p, r)\). Mais sa deuxième coordonnée n’est pas égale à \(\pm 1\), donc il n’appartient pas à \(D\). Aucune boule centrée en un point de \(D\) n’est incluse dans \(D\) : l’intérieur de \(D\) est vide.
3. Inclusion \(\supset\). On a \(D \subset \overline{D}\). De plus, \((0, 1)\) est limite de \((\frac{1}{2k}, 1)\) et \((0, -1)\) est limite de \((\frac{1}{2k + 1}, -1)\), suites d’éléments de \(D\).

   Inclusion \(\subset\). Soit \(\ell \in \overline{D}\), limite d’une suite \((\frac{1}{n_k}, (-1)^{n_k})\) d’éléments de \(D\).

   Si la suite d’entiers \((n_k)\) est bornée, elle prend une valeur \(m\) une infinité de fois. La sous-suite correspondante est constante, égale à \((\frac{1}{m}, (-1)^m)\), donc \(\ell \in D\).

   Sinon, on extrait une sous-suite telle que \(n_k \to +\infty\). La première coordonnée tend vers \(0\). La deuxième converge et prend ses valeurs dans le fermé \(\{-1, 1\}\), donc sa limite vaut \(\pm 1\). Ainsi \(\ell \in \{(0, 1), (0, -1)\}\).

   Donc \(\overline{D} = D \cup \{(0, 1), (0, -1)\}\).

Barème : a) 0,5 point pour le caractère borné, 0,5 point pour le contre-exemple ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’inclusion directe, 1 point pour la disjonction des cas.

Exercice 5 : Problème : distance à un fermé (4 points)

1. Pour tout \(b \in F\), l’inégalité triangulaire donne \(d(a, F) \leq\, \|a – b\|_2 \leq\, \|a – a^{\prime}\|_2 + \|a^{\prime} – b\|_2\). En passant à la borne inférieure sur \(b \in F\), on obtient \(d(a, F) \leq\, \|a – a^{\prime}\|_2 + d(a^{\prime}, F)\). En échangeant les rôles de \(a\) et \(a^{\prime}\), on conclut que \(|d(a, F) – d(a^{\prime}, F)| \leq\, \|a – a^{\prime}\|_2\). L’application \(a \mapsto d(a, F)\) est donc 1-lipschitzienne, et en particulier continue.
2. On choisit \(b_1 \in F\) et on pose \(r = \|a – b_1\|_2\), puis \(K = F \cap \overline{B}(a, r)\). Cette partie est non vide, car elle contient \(b_1\). Elle est fermée, comme intersection de deux fermés, et bornée. C’est donc un compact de \(\mathbb{R}^n\).

   L’application \(b \mapsto \|a – b\|_2\) est continue. Par le théorème des bornes atteintes, elle admet un minimum sur \(K\) en un point \(b_0\), et \(\|a – b_0\|_2 \leq\, r\).

   Soit \(b \in F\). Si \(b \in K\), alors \(\|a – b\|_2 \geq\, \|a – b_0\|_2\). Si \(b \notin K\), alors \(\|a – b\|_2 > r \geq\, \|a – b_0\|_2\). Donc \(\|a – b_0\|_2\) minore toutes les distances : \(\|a – b_0\|_2 = d(a, F)\), et la distance est atteinte.

3. L’ensemble \(H\) est l’image réciproque du fermé \(\{1\}\) par l’application continue \((x, y) \mapsto xy\) : \(H\) est fermé. Pour \((x, y) \in H\), on a \(x^2 + y^2 \geq\, 2|xy| = 2\), car \((|x| – |y|)^2 \geq\, 0\). Donc \(\|(x, y)\|_2 \geq\, \sqrt{2}\). L’égalité a lieu si et seulement si \(|x| = |y|\) ; avec \(xy = 1\), cela donne \((1, 1)\) ou \((-1, -1)\). Ainsi \(d(0, H) = \sqrt{2}\), atteinte en deux points \((1, 1)\) et \((-1, -1)\) : le point réalisant la distance n’est pas unique en général.
4. L’ensemble \(L\) est l’image réciproque de \(\{0\}\) par \((x, y) \mapsto y\), donc il est fermé. Les points de \(H\) vérifient \(y \neq 0\), donc \(L \cap H = \emptyset\). Enfin, pour \(n \geq\, 1\), \((n, 0) \in L\) et \((n, \frac{1}{n}) \in H\) sont à distance \(\frac{1}{n}\), qui tend vers \(0\). La distance entre \(L\) et \(H\) est donc nulle, bien que ces fermés soient disjoints. Cela ne peut pas arriver si l’un des deux fermés est compact.

Barème : a) 0,5 point pour l’inégalité, 0,5 point pour la continuité ; b) 0,5 point pour la compacité de \(K\), 0,5 point pour le minimum, 0,5 point pour la comparaison hors de \(K\) ; c) 0,5 point pour la minoration, 0,5 point pour les points ; d) 0,5 point.

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