Contrôle de maths L2 : normes et topologie de R^n

Exercice 1 : Question de cours : normes usuelles de R^n (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Pour \(x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\), on pose \(\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|\), \(\|x\|_2 = (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)^{1/2}\) et \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} |x_i|\).

1. Rappelez la définition d’une norme sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. (0,5 point)
2. Démontrez que \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont des normes sur \(\mathbb{R}^n\). (1 point)
3. Démontrez que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1 \leq\, n\|x\|_\infty\). Que peut-on en conclure ? (1,5 point)
4. Dessinez sur une même figure les boules unités fermées de \(\mathbb{R}^2\) pour ces trois normes, et interprétez les inégalités de la question c. (1 point)

Exercice 2 : Une norme non usuelle du plan (4 points)

Pour \(u = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(u) = \max(|x|,\; |x + y|)\).

1. Montrez que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)
2. Montrez que, pour tout \(u \in \mathbb{R}^2\), \(\frac{1}{2}\|u\|_\infty \leq\, N(u) \leq\, 2\|u\|_\infty\), et que les constantes \(\frac{1}{2}\) et \(2\) ne peuvent pas être améliorées. (1,5 point)
3. Dessinez la boule unité fermée de \(N\) en précisant ses sommets. (1 point)

Exercice 3 : Une partie compacte définie par des inégalités (5 points)

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et on considère \(A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2,\; x^2 + y^2 \leq\, 4 \text{ et } y \geq\, x^2 – 2\}\), représentée ci-dessous.

1. Montrez que \(A\) est une partie fermée de \(\mathbb{R}^2\), à l’aide d’images réciproques. (1,5 point)
2. Montrez que \(A\) est bornée, puis qu’elle est compacte. (1 point)
3. Justifiez que \(f : (x, y) \mapsto x + y\) est bornée sur \(A\) et atteint ses bornes. Déterminez son maximum et son minimum sur \(A\), ainsi que des points où ils sont atteints. (1,5 point)
4. Montrez que \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2,\; x^2 + y^2 < 4 \text{ et } y > x^2 – 2\}\) est un ouvert contenu dans l’intérieur de \(A\). (1 point)

Exercice 4 : Adhérence d’une partie dénombrable (3 points)

On considère \(D = \{(\frac{1}{n},\; (-1)^n),\; n \in \mathbb{N}^{*}\} \subset \mathbb{R}^2\).

1. Montrez que \(D\) est bornée mais n’est pas fermée. (1 point)
2. Déterminez l’intérieur de \(D\). (0,5 point)
3. Montrez que l’adhérence de \(D\) est \(\overline{D} = D \cup \{(0, 1),\; (0, -1)\}\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : distance à un fermé (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^n\) de la norme euclidienne. Soit \(F\) une partie fermée non vide de \(\mathbb{R}^n\). Pour \(a \in \mathbb{R}^n\), on pose \(d(a, F) = \inf_{b \in F} \|a – b\|_2\).

1. Montrez que \(|d(a, F) – d(a^{\prime}, F)| \leq\, \|a – a^{\prime}\|_2\) pour tous \(a, a^{\prime} \in \mathbb{R}^n\). Qu’en déduisez-vous pour l’application \(a \mapsto d(a, F)\) ? (1 point)
2. Montrez qu’il existe \(b_0 \in F\) tel que \(\|a – b_0\|_2 = d(a, F)\). On pourra introduire \(K = F \cap \overline{B}(a, r)\) pour un rayon \(r\) bien choisi. (1,5 point)
3. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(H = \{(x, y),\; xy = 1\}\). Montrez que \(H\) est fermée, puis calculez \(d(0, H)\) et déterminez tous les points de \(H\) où cette distance est atteinte. (1 point)
4. Soit \(L = \{(x, 0),\; x \in \mathbb{R}\}\). Montrez que \(L\) et \(H\) sont deux fermés disjoints, mais que \(\inf\{\|u – v\|_2,\; u \in L,\; v \in H\} = 0\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : normes et topologie de R^n

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Topologie de R^n » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés topologie de r^n.

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