Contrôle de maths L2 : polynômes d’endomorphismes et trigonalisation

Exercice 1 : Question de cours : le lemme des noyaux (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout le sujet, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\) un endomorphisme de \(E\).

1. Rappelez la définition d’un polynôme annulateur de \(u\), puis celle du polynôme minimal \(\mu_u\). Justifiez l’existence de \(\mu_u\). (1 point)
2. Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}[X]\). Montrez que \(\ker P(u)\) est stable par \(u\) et que \((PQ)(u) = P(u) \circ Q(u) = Q(u) \circ P(u)\). (1 point)
3. On suppose \(P\) et \(Q\) premiers entre eux. Énoncez puis démontrez le lemme des noyaux : \(\ker (PQ)(u) = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)\). (2 points)

Exercice 2 : Un polynôme annulateur de degré 2 (4 points)

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

1. Calculez \(A^2\) et vérifiez que \(A^2 = A + 2I_3\). (0,5 point)
2. Déduisez-en que \(A\) est inversible et exprimez \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I_3\). (1 point)
3. Déterminez le polynôme minimal de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? (1 point)
4. Soit \(n \in \mathbb{N}\). À l’aide de la division euclidienne de \(X^n\) par \(X^2 – X – 2\), exprimez \(A^n\) comme combinaison linéaire de \(A\) et de \(I_3\). (1,5 point)

Exercice 3 : Endomorphismes nilpotents (4 points)

Une matrice \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est dite nilpotente s’il existe un entier \(p \geq\, 1\) tel que \(N^p = 0\).

1. Soit \(N\) nilpotente. Montrez que \(0\) est sa seule valeur propre complexe, puis que \(N^n = 0\). (1,5 point)
2. Montrez qu’une matrice nilpotente et diagonalisable est nulle. (1 point)
3. Soit \(N\) nilpotente avec \(N^3 = 0\). Montrez que \(I_n + N\) est inversible et que \((I_n + N)^{-1} = I_n – N + N^2\). (0,5 point)
4. Application : calculez l’inverse de \(M = \begin{pmatrix} 1 1 2 \\ 0 1 3 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}\) sans pivot de Gauss. (1 point)

Exercice 4 : Trigonalisation et système différentiel (8 points)

On considère la matrice \(B = \begin{pmatrix} 3 1 -1 \\ 1 2 -1 \\ 2 1 0 \end{pmatrix}\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

1. Montrez que le polynôme caractéristique de \(B\) est \(\chi_B = (X – 1)(X – 2)^2\). (1 point)
2. Déterminez les sous-espaces propres \(E_1(B)\) et \(E_2(B)\). (1 point)
3. Déterminez le polynôme minimal de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ? (1 point)
4. À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, montrez que \(B\) est inversible et exprimez \(B^{-1}\) comme polynôme en \(B\). Calculez \(B^{-1}\). (1,5 point)
5. On pose \(v_1 = (1, 0, 1)\) et \(v_3 = (0, 1, 1)\). Trouvez un vecteur \(v_2\) tel que \((B – 2I_3) v_2 = v_1\). Montrez que \((v_1, v_2, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et donnez une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1} B P = T = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 0 2 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}\). Précisez les sous-espaces caractéristiques de \(B\). (1,5 point)
6. Résolvez le système différentiel \(X^{\prime}(t) = B X(t)\), d’inconnue \(X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\) dérivable, avec la condition initiale \(X(0) = (1, 0, 0)\). On posera \(Y = P^{-1} X\). (2 points)

Réviser avant le contrôle : polynômes d’endomorphismes et trigonalisation

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Trigonalisation et Cayley-Hamilton » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés trigonalisation et cayley-hamilton.

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