Variables aléatoires discrètes : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Une loi sur N* définie par une constante

Soit \(c\) un réel et \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que, pour tout \(k \geq\, 1\), \(P(X = k) = \dfrac{c}{k(k+1)}\).

1. Déterminer \(c\).
2. Calculer \(P(X \geq\, n)\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. Calculer \(P(X \text{ est pair})\). On admettra que \(\sum_{m \geq\, 1} \dfrac{(-1)^{m+1}}{m} = \ln 2\).
4. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((X \geq\, n)\).

Exercice 2 : Maximum et minimum de trois dés

On lance trois dés équilibrés à six faces, de façon indépendante. On note \(X_1, X_2, X_3\) les résultats, \(M\) le plus grand et \(m\) le plus petit.

1. Rappeler la loi de chaque \(X_i\). Calculer \(P(M \leq\, k)\) pour \(k \in \{1, \ldots, 6\}\).
2. En déduire la loi de \(M\).
3. Calculer \(P(m \geq\, k)\), puis la loi de \(m\).
4. Plus généralement, donner la loi du maximum de \(n\) variables indépendantes de loi uniforme sur \(\{1, \ldots, N\}\).

Exercice 3 : Loi conjointe donnée par un tableau

Le couple \((X, Y)\) a la loi conjointe suivante.

\[\begin{array}{c|ccc} X = -1 X = 0 X = 1 \\ \hline Y = 0 1/10 1/5 1/10 \\ Y = 2 1/5 1/10 3/10 \end{array}\]

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
2. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi de \(X + Y\) et celle de \(XY\).
4. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((Y = 2)\).

Exercice 4 : Une loi conjointe produit

Soit \((X, Y)\) un couple à valeurs dans \(\mathbb{N}^2\) tel que, pour tous \(i, j \in \mathbb{N}\), \(P(X = i, Y = j) = c\,\dfrac{2^i\,3^j}{i!\,j!}\).

1. Déterminer \(c\).
2. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\). Les reconnaître.
3. Montrer que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
4. Calculer directement la loi de \(X + Y\), puis \(P(X = 0 \mid X + Y = 2)\).

Exercice 5 : Premier six au lancer d’un dé

On lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un six. On note \(T\) le nombre de lancers effectués.

1. Justifier que \(T\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
2. Calculer \(P(T \leq\, 3)\) et \(P(T > n)\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
3. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(P(T \leq\, n) \geq\, \dfrac12\).
4. Calculer la probabilité que \(T\) soit pair.

Exercice 6 : Modes d’une loi de Poisson

Soit \(\lambda > 0\) et \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\). On note \(p_k = P(X = k)\).

1. Calculer \(\dfrac{p_k}{p_{k-1}}\) pour \(k \geq\, 1\).
2. En déduire les valeurs de \(k\) pour lesquelles \(p_k\) est maximal, en distinguant le cas où \(\lambda\) est entier.
3. Application : pour \(\lambda = 3{,}5\), donner le mode et une valeur approchée à \(10^{-3}\) de la probabilité correspondante. Même question pour \(\lambda = 4\).

Exercice 7 : Parité d’une variable de Poisson

Soit \(\lambda > 0\) et \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\).

1. Calculer \(P(X \text{ est pair})\). Déterminer la loi de \(Y = (-1)^X\).
2. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant que \(X\) est pair.
3. Déterminer la loi de \(W = \min(X, 2)\).
4. Application numérique pour \(\lambda = 1\) : donner \(P(X \text{ pair})\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 8 : Absence de mémoire de la loi géométrique

Soit \(p \in \,]0, 1[\), \(q = 1 – p\) et \(X \sim \mathcal{G}(p)\).

1. Montrer que \(P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)\) pour tous \(n, k \in \mathbb{N}\).
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X – n\) sachant \((X > n)\).
3. Réciproquement, soit \(Z\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(Z > n) > 0\) pour tout \(n\) et \(P(Z > n + k \mid Z > n) = P(Z > k)\) pour tous \(n, k\). Montrer que \(Z\) suit une loi géométrique.
4. La durée de vie en jours d’un composant suit la loi \(\mathcal{G}(0{,}02)\). Sachant qu’il fonctionne encore après 30 jours, quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore après 40 jours ?

Exercice 9 : Partie entière supérieure d’une variable géométrique

Soit \(X \sim \mathcal{G}(p)\), avec \(p \in \,]0, 1[\) et \(q = 1 – p\). On pose \(Y = \lceil \dfrac{X}{2} \rceil\), c’est-à-dire \(Y = k\) si \(X \in \{2k – 1, 2k\}\), et \(R = 2Y – X\).

1. Déterminer la loi de \(Y\) et la reconnaître.
2. Montrer que \(R\) suit une loi de Bernoulli dont on donnera le paramètre.
3. Montrer que \(Y\) et \(R\) sont indépendantes.

Exercice 10 : Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Soit \(\lambda > 0\), \((p_n)\) une suite de \(]0, 1[\) telle que \(n p_n \to \lambda\), et \(X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)\).

1. Démontrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(P(X_n = k) \to e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\).
2. Une machine produit 400 pièces ; chacune est défectueuse avec probabilité \(0{,}005\), indépendamment des autres. On note \(D\) le nombre de pièces défectueuses. Donner la loi exacte de \(D\) et la loi de Poisson qui l’approche.
3. Calculer \(P(D = 0)\) et \(P(D \leq\, 2)\) avec les deux lois, à \(10^{-4}\) près.

Exercice 11 : Somme de deux variables de Poisson indépendantes

Soit \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) indépendantes, et \(S = X + Y\).

1. Démontrer que \(S \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\).
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\).
3. Un standard reçoit en une heure un nombre d’appels \(X \sim \mathcal{P}(3)\) sur une ligne et \(Y \sim \mathcal{P}(2)\) sur une autre, indépendants. Calculer la probabilité de recevoir 4 appels au total, puis la probabilité que 3 d’entre eux arrivent sur la première ligne sachant qu’il y en a 4 au total.

Exercice 12 : Sommes binomiales et loi hypergéométrique

Soit \(p \in \,]0, 1[\), \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(m, p)\) indépendantes.

1. À l’aide de la formule de Vandermonde, montrer que \(X + Y \sim \mathcal{B}(n + m, p)\).
2. Retrouver ce résultat en écrivant \(X\) et \(Y\) comme sommes de variables de Bernoulli et en utilisant le lemme des coalitions.
3. Soit \(k \in \{0, \ldots, n + m\}\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((X + Y = k)\). Dépend-elle de \(p\) ?

Exercice 13 : Minimum et maximum de deux lois géométriques

Soit \(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(r)\) indépendantes, avec \(p, r \in \,]0, 1[\). On note \(q = 1 – p\) et \(s = 1 – r\).

1. Calculer \(P(\min(X, Y) > n)\). En déduire la loi de \(\min(X, Y)\).
2. Calculer \(P(\max(X, Y) \leq\, n)\), puis \(P(\max(X, Y) = n)\).
3. Calculer \(P(X = Y)\) et \(P(X < Y)\).
4. Application : \(p = r = \dfrac12\). Donner \(P(X = Y)\), \(P(X < Y)\) et \(P(X > Y)\).

Exercice 14 : Somme de deux lois géométriques de paramètres distincts

Soit \(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(r)\) indépendantes, avec \(p \neq r\) dans \(]0, 1[\).

1. Montrer que, pour \(n \geq\, 2\),
   \[P(X + Y = n) = \dfrac{pr}{p – r}\Big((1 – r)^{n-1} – (1 – p)^{n-1}\Big).\]
2. Vérifier par un calcul direct que ces nombres ont une somme égale à \(1\).
3. Retrouver, en faisant tendre \(r\) vers \(p\), la loi de la somme de deux variables indépendantes de loi \(\mathcal{G}(p)\), puis la vérifier directement.

Exercice 15 : Loi conjointe sur N² et somme décalée

Soit \((X, Y)\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^2\), avec \(P(X = i, Y = j) = c\,\dfrac{i + j}{i!\,j!}\) pour tous \(i, j \in \mathbb{N}\). La figure représente les points de \(\mathbb{N}^2\) et une diagonale \(i + j = n\).

1. Déterminer \(c\).
2. Déterminer la loi de \(X\) et celle de \(Y\).
3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
4. Déterminer la loi de \(S = X + Y\). Montrer que \(S – 1\) suit une loi de Poisson.

Exercice 16 : Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes de loi \(\mathcal{B}(1/2)\). On pose \(Z = |X – Y|\).

1. Déterminer la loi de \(Z\).
2. Montrer que \(X\) et \(Z\) sont indépendantes, ainsi que \(Y\) et \(Z\).
3. Montrer que \(X\), \(Y\) et \(Z\) ne sont pas mutuellement indépendantes.
4. Soit \(U\) et \(V\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). Montrer que \(U^2\) et \(e^V\) sont indépendantes.

Exercice 17 : Lemme des coalitions et parité d’une somme

Soit \(p \in \,]0, 1[\) et \(X_1, \ldots, X_n\) des variables indépendantes de loi \(\mathcal{B}(p)\), avec \(n \geq\, 4\). On pose \(S_k = X_1 + \cdots + X_k\).

1. Montrer que \(X_1 X_2\) et \(X_3 + X_4\) sont indépendantes et donner leurs lois.
2. Les variables \(U = X_1 + X_2\) et \(V = X_2 + X_3\) sont-elles indépendantes ?
3. On note \(e_k = P(S_k \text{ pair})\), avec \(e_0 = 1\). Montrer que \(e_k = p + (1 – 2p)e_{k-1}\) pour \(k \geq\, 1\).
4. En déduire \(e_n\), puis sa limite quand \(n \to +\infty\) (pour une suite i.i.d. infinie).

Exercice 18 : Rangs des deux premiers succès

Soit \((X_n)_{n \geq\, 1}\) une suite i.i.d. de loi \(\mathcal{B}(p)\), avec \(p \in \,]0, 1[\) et \(q = 1 – p\). On note \(T_1\) le rang du premier succès et \(T_2\) celui du deuxième.

1. Justifier l’existence d’une telle suite. Montrer que \(T_1\) et \(T_2\) sont finies presque sûrement.
2. Déterminer la loi conjointe de \((T_1, T_2)\).
3. En déduire la loi de \(T_2\).
4. Montrer que \(T_1\) et \(D = T_2 – T_1\) sont indépendantes et de même loi.

Exercice 19 : Tri d’une loi de Poisson

Un insecte pond un nombre \(N\) d’œufs, avec \(N \sim \mathcal{P}(\lambda)\). Chaque œuf éclot avec probabilité \(p \in \,]0, 1[\). On note \(X\) le nombre d’œufs éclos, et l’on suppose que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N = n)\) est \(\mathcal{B}(n, p)\).

1. Déterminer la loi conjointe de \((X, N – X)\).
2. En déduire les lois de \(X\) et de \(N – X\).
3. Montrer que \(X\) et \(N – X\) sont indépendantes. Comparer avec \(X\) et \(N\).
4. Pour \(\lambda = 10\) et \(p = 0{,}6\), calculer la probabilité qu’aucun œuf n’éclose.

Exercice 20 : Problème, caractérisation des lois géométriques

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables indépendantes de même loi, à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\), avec \(u_k = P(X = k) > 0\) pour tout \(k \geq\, 1\). On pose \(S = X + Y\).

Partie A. On suppose ici \(X \sim \mathcal{G}(p)\).

1. Déterminer la loi de \(S\).
2. Pour \(n \geq\, 2\), montrer que la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\) est uniforme sur \(\{1, \ldots, n – 1\}\).

Partie B. On suppose réciproquement que, pour tout \(n \geq\, 2\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\) est uniforme sur \(\{1, \ldots, n – 1\}\).

1. Justifier que \(P(S = n) > 0\) pour \(n \geq\, 2\), puis que \(u_k\,u_{n-k} = \dfrac{P(S = n)}{n – 1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n – 1\).
2. En déduire que \(u_{k+1} = \dfrac{u_2}{u_1}\,u_k\) pour tout \(k \geq\, 1\).
3. Conclure que \(X\) suit une loi géométrique.
4. Montrer qu’on ne peut pas supprimer l’hypothèse \(u_k > 0\) : exhiber une loi sur \(\mathbb{N}^*\), non géométrique, telle que pour tout \(n\) vérifiant \(P(S = n) > 0\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\) soit uniforme sur \(\{1, \ldots, n – 1\}\).

Exercice 21 : Problème, caractérisation des lois de Poisson

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbb{N}\), avec \(u_k = P(X = k) > 0\) et \(v_k = P(Y = k) > 0\) pour tout \(k\). On pose \(S = X + Y\) et \(s_n = P(S = n)\). On suppose qu’il existe \(p \in \,]0, 1[\) tel que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\) soit \(\mathcal{B}(n, p)\). On note \(q = 1 – p\).

1. Justifier que \(s_n > 0\), puis que \(u_k\,v_{n-k} = \dbinom{n}{k}p^k q^{n-k}\,s_n\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\).
2. En utilisant \(n = k + 1\), montrer que \(u_{k+1} = \dfrac{\alpha}{k+1}\,u_k\), où \(\alpha = \dfrac{p\,v_1}{q\,v_0}\).
3. En déduire que \(X \sim \mathcal{P}(\alpha)\).
4. Montrer de même que \(Y\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\beta = \dfrac{q\,u_1}{p\,u_0}\), puis exprimer \(\beta\) en fonction de \(\alpha\) et \(p\).
5. Vérifier la cohérence avec l’exercice 11.

Exercice 22 : Temps d’attente de deux piles consécutifs

On lance indéfiniment une pièce équilibrée ; les lancers sont indépendants. On note \(T\) le rang du lancer où l’on obtient pour la première fois deux piles consécutifs, avec \(T = +\infty\) si cela n’arrive jamais. La figure décrit l’évolution de l’expérience selon le dernier résultat.

1. En découpant les lancers en blocs \(\{1, 2\}\), \(\{3, 4\}\), etc., montrer que \(P(T > 2k) \leq\, (\dfrac34)^k\). En déduire \(P(T = +\infty) = 0\).
2. On note \(a_m\) le nombre de mots de longueur \(m\) sur l’alphabet \(\{P, F\}\) sans deux \(P\) consécutifs, avec \(a_0 = 1\). Calculer \(a_1\), \(a_2\) et montrer que \(a_m = a_{m-1} + a_{m-2}\) pour \(m \geq\, 2\).
3. Montrer que \(P(T = 2) = \dfrac14\) et que \(P(T = n) = \dfrac{a_{n-3}}{2^n}\) pour \(n \geq\, 3\).
4. On note \(p_n = P(T = n)\). Montrer que \(p_n = \dfrac12 p_{n-1} + \dfrac14 p_{n-2}\) pour \(n \geq\, 4\), et vérifier que \(\sum_{n \geq\, 2} p_n = 1\) à l’aide de cette relation.
5. Calculer \(P(T \leq\, 5)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : variables aléatoires discrètes, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Ensembles dénombrables et espaces probabilisés
• Chapitre précédent : Ensembles dénombrables et espaces probabilisés
• Chapitre suivant : Espérance, variance et loi faible des grands nombres
• Le même thème en L2 : variables aléatoires discrètes, exercices de maths en L2
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup