Séries entières : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Rayons par la règle de d’Alembert

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.

1. \(\sum_{n \geq\, 0} \dfrac{n^{2}}{3^{n}} z^{n}\).
2. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{n!}{n^{n}} z^{n}\).
3. \(\sum_{n \geq\, 0} \dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}} z^{n}\).

Exercice 2 : Séries entières lacunaires

Dans cet exercice, certains coefficients sont nuls, ce qui interdit d’utiliser directement le quotient \(a_{n+1}/a_{n}\).

1. Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq\, 0} \dfrac{z^{2n}}{4^{n}}\) et calculer sa somme sur le disque ouvert de convergence.
2. Déterminer le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq\, 0} n\, 2^{n} z^{3n}\).

Exercice 3 : Rayons par comparaison

Déterminer le rayon de convergence des séries entières \(\sum a_{n} z^{n}\) suivantes.

1. \(a_{n} = \sin(\dfrac{1}{n})\) pour \(n \geq\, 1\).
2. \(a_{n} = (2 + (-1)^{n})^{n}\).
3. \(a_{n} = d(n)\), le nombre de diviseurs positifs de l’entier \(n \geq\, 1\).
4. \(a_{n} = \ln(1 + \dfrac{1}{2^{n}})\).

Exercice 4 : Lemme d’Abel et rayon de convergence

Soit \((a_{n})\) une suite complexe et \(R\) le rayon de \(\sum a_{n} z^{n}\).

1. On suppose que \(\sum a_{n}\) converge mais que \(\sum |a_{n}|\) diverge. Montrer que \(R = 1\).
2. On suppose que \((a_{n})\) est bornée mais ne tend pas vers \(0\). Montrer que \(R = 1\).
3. En déduire, sans calcul, le rayon de \(\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} z^{n}\) et celui de \(\sum \cos(n) z^{n}\). On admettra que \(\cos(n)\) ne tend pas vers \(0\).

Exercice 5 : Produit de Cauchy et rayon d’une somme

1. Montrer que, pour \(x \in ]-1, 1[\), \[\dfrac{e^{x}}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} ( \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!} ) x^{n}.\]
2. Déterminer le rayon de convergence exact de cette série entière.
3. Déterminer le rayon de \(\sum (1 + 2^{n}) z^{n}\), puis celui de \(\sum (2^{n} + (-2)^{n}) z^{n}\).

Exercice 6 : Somme de la série des n² xⁿ

1. Déterminer le rayon \(R\) de \(\sum n^{2} x^{n}\).
2. Calculer, pour \(x \in ]-R, R[\), la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n}\), puis \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} x^{n}\).
3. En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^{2}}{2^{n}}\).

Exercice 7 : Somme avec l’exponentielle

1. Déterminer le rayon de convergence de \(\sum \dfrac{n^{2} + 1}{n!} x^{n}\).
2. En écrivant \(n^{2} + 1 = n(n-1) + n + 1\), calculer sa somme \(S(x)\).
3. En déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^{2} + 1}{n!}\).

Exercice 8 : Éléments simples et logarithme

1. Développer en série entière \(f(x) = \dfrac{1}{(1-x)(2-x)}\) et préciser le rayon.
2. Factoriser \(1 + x – 2x^{2}\), puis développer \(g(x) = \ln(1 + x – 2x^{2})\) en série entière au voisinage de \(0\). Préciser le rayon.

Exercice 9 : Fonctions circulaires et hyperboliques

1. Développer \(x \mapsto \sin^{2} x\) en série entière et donner le rayon.
2. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(\cos x \operatorname{ch} x = \operatorname{Re}( \dfrac{e^{(1+i)x} + e^{(-1+i)x}}{2} )\).
3. En déduire que \[\cos x \operatorname{ch} x = \sum_{q=0}^{+\infty} \dfrac{(-4)^{q}}{(4q)!} x^{4q}.\]
4. Vérifier le coefficient de \(x^{4}\) par un produit de développements limités.

Exercice 10 : Somme de la série des x³ⁿ/(3n)!

On note \(j = e^{2i\pi/3}\) et, pour \(x\) réel, \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{3n}}{(3n)!}\).

1. Justifier que le rayon est infini.
2. Montrer que, pour tout entier \(k\), \(1 + j^{k} + j^{2k}\) vaut \(3\) si \(3\) divise \(k\) et \(0\) sinon.
3. En déduire que \(S(x) = \dfrac{1}{3}( e^{x} + e^{jx} + e^{j^{2}x} )\), puis une expression réelle de \(S(x)\).
4. Vérifier que \(S\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime\prime} = y\).

Exercice 11 : Développements par dérivation

1. Soit \(f(x) = \operatorname{Arctan}( \dfrac{1+x}{1-x} )\) pour \(x \in ]-1, 1[\). Calculer \(f^{\prime}(x)\), puis développer \(f\) en série entière.
2. Soit \(g(x) = \ln( x + \sqrt{1 + x^{2}} )\). Calculer \(g^{\prime}(x)\) et développer \(g\) en série entière sur \(]-1, 1[\).

Exercice 12 : Série du binôme et coefficients binomiaux centraux

1. Montrer que, pour \(|x| < \dfrac{1}{4}\), \[\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom\,{2n}{n} x^{n}.\]
2. En déduire la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{8^{n}} \binom\,{2n}{n}\).
3. À l’aide d’un produit de Cauchy et de l’unicité des coefficients, montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \[\sum_{k=0}^{n} \binom\,{2k}{k} \binom\,{2n-2k}{n-k} = 4^{n}.\]

Exercice 13 : Somme au bord et théorème d’Abel radial

On pose \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n(n+1)}\).

1. Déterminer le rayon et montrer que la série converge normalement sur \([-1, 1]\).
2. Calculer \(S(x)\) pour \(x \in ]-1, 1[\), \(x \neq 0\).
3. En déduire \(S(1)\) et \(S(-1)\). Contrôler \(S(1)\) par un calcul télescopique.

Exercice 14 : Calcul de π/4 et de ln 2

La figure ci-dessous représente les premières sommes partielles \(\sigma_{N} = \sum_{n=0}^{N} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\). Elles oscillent autour d’une limite que l’on va identifier.

1. Justifier la convergence de \(\sum \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\) et de \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\).
2. En utilisant les développements de \(\operatorname{Arctan}\) et de \(\ln(1+x)\), calculer leurs sommes.
3. Calculer de même \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}\) en l’écrivant comme limite de \(\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{dt}{1+t^{3}}\).

Exercice 15 : Réciproque du théorème d’Abel

1. Donner une série entière \(\sum a_{n} x^{n}\) de rayon \(1\) dont la somme admet une limite finie en \(1^{-}\) alors que \(\sum a_{n}\) diverge.
2. On suppose désormais \(a_{n} \geq\, 0\) pour tout \(n\), le rayon au moins égal à \(1\), et la somme \(S(x) = \sum a_{n} x^{n}\) bornée sur \([0, 1[\) par un réel \(M\). Montrer que \(\sum a_{n}\) converge et que \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} = \lim_{x \to 1^{-}} S(x)\).
3. Application : montrer que \(\sum \dfrac{x^{n}}{n}\) ne peut pas avoir de somme bornée sur \([0, 1[\), et retrouver ce fait avec la formule de la somme.

Exercice 16 : Continuité au bord sans dérivabilité

On pose \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n^{2}}\).

1. Déterminer le rayon, puis montrer que \(f\) est définie et continue sur \([-1, 1]\).
2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(]-1, 1[\) et que \(x f^{\prime}(x) = -\ln(1-x)\).
3. Montrer que \(\dfrac{f(1) – f(x)}{1 – x} \to +\infty\) quand \(x \to 1^{-}\). Que peut-on en conclure ?

Exercice 17 : Unicité des coefficients et identification

1. Déterminer toutes les fonctions \(f\) développables en série entière sur \(]-r, r[\), avec \(r > 0\), telles que \(f(2x) = f(x) + x\) pour tout \(x \in ]-r/2, r/2[\).
2. Démontrer la formule de Vandermonde : pour \(p, q, n \in \mathbb{N}\), \(\sum_{k=0}^{n} \binom\,{p}{k} \binom\,{q}{n-k} = \binom\,{p+q}{n}\).
3. Soit \(f\) la somme d’une série entière de rayon \(R > 0\), telle que \(f(-x) = -f(x)\) sur \(]-R, R[\). Montrer que tous ses coefficients d’indice pair sont nuls.

Exercice 18 : Arcsin x / √(1 − x²) par une équation différentielle

On pose, pour \(x \in ]-1, 1[\), \(f(x) = \dfrac{\operatorname{Arcsin} x}{\sqrt{1 – x^{2}}}\).

1. Montrer que \(f\) est solution sur \(]-1, 1[\) de l’équation \((1 – x^{2}) y^{\prime} – x y = 1\).
2. Déterminer les séries entières \(\sum a_{n} x^{n}\) de rayon non nul solutions de cette équation et telles que \(a_{0} = 0\).
3. Calculer le rayon et conclure que \[f(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{4^{p} (p!)^{2}}{(2p+1)!} x^{2p+1}.\]

Exercice 19 : Résolution d’une équation différentielle par une série entière

On considère l’équation différentielle \((E) : 4x y^{\prime\prime} + 2 y^{\prime} – y = 0\).

1. Déterminer les solutions de \((E)\) développables en série entière au voisinage de \(0\), et leur rayon.
2. Exprimer leur somme à l’aide des fonctions usuelles, séparément sur \(]0, +\infty[\) et sur \(]-\infty, 0[\).
3. Vérifier que \(x \mapsto \operatorname{sh}\sqrt{x}\) est solution de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\). Pourquoi n’a-t-elle pas été trouvée à la première question ?

Exercice 20 : Une fonction C∞ non développable en série entière

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{-1/x^{2}}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\). Son graphe, très aplati près de l’origine, est représenté ci-dessous.

1. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\), il existe un polynôme \(P_{n}\) tel que \(f^{(n)}(x) = P_{n}(\dfrac{1}{x}) e^{-1/x^{2}}\) pour \(x \neq 0\).
2. En déduire que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(f^{(n)}(0) = 0\) pour tout \(n\).
3. Montrer que \(f\) n’est développable en série entière sur aucun intervalle \(]-r, r[\).

Exercice 21 : Problème : suite de Fibonacci et série génératrice

On définit \(F_{0} = 0\), \(F_{1} = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}\). On note \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2}\).

1. Montrer que \(0 \leq\, F_{n} \leq\, 2^{n}\), puis que le rayon \(R\) de \(\sum F_{n} x^{n}\) vérifie \(R \geq\, \dfrac{1}{2}\).
2. On note \(G(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} F_{n} x^{n}\) pour \(|x| < \dfrac{1}{2}\). Montrer que \((1 – x – x^{2}) G(x) = x\).
3. Vérifier que \(1 – x – x^{2} = (1 – \varphi x)(1 – \psi x)\), puis décomposer \(G\) en éléments simples.
4. En déduire, par unicité des coefficients, que \(F_{n} = \dfrac{\varphi^{n} – \psi^{n}}{\sqrt{5}}\).
5. Déterminer le rayon exact \(R\), puis la limite de \(F_{n+1}/F_{n}\).

Exercice 22 : Problème : nombre de dérangements

Un dérangement de \(\{1, \ldots, n\}\) est une permutation sans point fixe. On note \(D_{n}\) leur nombre, avec la convention \(D_{0} = 1\).

1. Calculer \(D_{1}\), \(D_{2}\) et \(D_{3}\).
2. En classant les permutations de \(\{1, \ldots, n\}\) selon leur ensemble de points fixes, montrer que \(n! = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} D_{k}\).
3. On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{D_{n}}{n!} x^{n}\). Montrer que son rayon est au moins \(1\).
4. Montrer que \(e^{x} f(x) = \dfrac{1}{1-x}\) pour \(x \in ]-1, 1[\).
5. En déduire que \(D_{n} = n! \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^{k}}{k!}\), puis la limite de la proportion \(D_{n}/n!\) de dérangements.
6. Vérifier la formule pour \(n = 4\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : séries entières, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Séries de fonctions
• Chapitre précédent : Séries de fonctions
• Chapitre suivant : Fonctions vectorielles d'une variable réelle
• Le même thème en L2 : séries entières, exercices de maths en L2
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup