Compacité et connexité par arcs : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Compacité par la définition séquentielle

On travaille dans \(\mathbb{R}\) muni de la valeur absolue. On pose \(A = \{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}^*\}\) et \(B = \{1/n : n \in \mathbb{N}^*\}\).

1. Montrer, en revenant à la définition séquentielle, que \(A\) est compacte.
2. Montrer que \(B\) n’est pas compacte.
3. Montrer que \([0, 1] \cap \mathbb{Q}\) n’est pas compacte.

Exercice 2 : Parties compactes du plan

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(N_{\infty}\). Pour chacune des parties suivantes, dire si elle est compacte, en justifiant la réponse.

1. \(K_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + 2y^2 \leq\, 4\}\).
2. \(K_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 1\}\).
3. \(K_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^4 + y^4 \leq\, 1 \text{ et } x \geq\, 0\}\).
4. \(K_4 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x^2 + y^2 \leq\, 1\}\).
5. Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) continue. Montrer que son graphe \(\Gamma_f = \{(x, f(x)) : x \in [0, 1]\}\) est compact.

La figure ci-dessous représente les quatre premières parties.

Exercice 3 : Distance à un compact et à un fermé

Soit \(E\) un espace vectoriel normé et \(x \in E\).

1. Soit \(K\) une partie compacte non vide de \(E\). Montrer qu’il existe \(y_0 \in K\) tel que \(d(x, K) = \|x – y_0\|\).
2. On suppose \(E\) de dimension finie. Soit \(F\) une partie fermée non vide de \(E\). Montrer que \(d(x, F)\) est atteinte. On pourra fixer \(a \in F\) et considérer \(F \cap B_f(x, \|x – a\|)\).
3. Dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien, calculer la distance de l’origine à \(F = \{(x, y) : xy = 1\}\) et préciser les points où elle est atteinte.

Exercice 4 : Le groupe orthogonal est compact

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = (\sum_{i, j} m_{ij}^2)^{1/2}\).

1. Montrer que \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) est une partie compacte de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2. En déduire que \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R}) : \det M = 1\}\) est compact.
3. Montrer que \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs.
4. Justifier sans calcul que \(M \mapsto \mathrm{tr}(M)\) admet un maximum et un minimum sur \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\), puis les déterminer.

Exercice 5 : Théorème de Heine et continuité uniforme

1. Montrer que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est uniformément continue sur \([0, 1]\) mais n’y est pas lipschitzienne.
2. Montrer que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). On pourra considérer \(x_n = n + 1/n\) et \(y_n = n\).
3. Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue, admettant une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\). Montrer que \(f\) est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).
4. En déduire que \(x \mapsto x e^{-x}\) est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).

Exercice 6 : Un maximum obtenu par compacité

On considère \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x, y) = xy \, e^{-(x^2 + y^2)}\). On note \(r^2 = x^2 + y^2\).

1. Montrer que \(|f(x, y)| \leq\, \frac{r^2}{2} e^{-r^2}\) pour tout \((x, y)\).
2. Montrer que \(|f(x, y)| < e^{-2}\) dès que \(r \geq\, 2\). On admettra que \(t \mapsto t e^{-t}\) décroît sur \([1, +\infty[\).
3. En déduire, par un argument de compacité, que \(f\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}^2\).
4. Calculer ce maximum et les points où il est atteint. En déduire le minimum de \(f\).

Exercice 7 : Point fixe d’une application strictement contractante

Soit \(K\) une partie compacte non vide d’un espace normé et \(f : K \to K\) telle que \[\forall x, y \in K, \quad x \neq y \Rightarrow \|f(x) – f(y)\| < \|x – y\|.\]

1. Montrer que \(f\) est continue.
2. En étudiant \(g(x) = \|f(x) – x\|\), montrer que \(f\) admet un point fixe, et qu’il est unique.
3. Soit \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(|h(x) – h(y)| < |x – y|\) pour \(x \neq y\), mais que \(h\) n’a pas de point fixe. Quelle hypothèse manque ?
4. Soit \(a\) le point fixe de \(f\), \(u_0 \in K\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(a\). On pourra étudier la suite \(d_n = \|u_n – a\|\) et une valeur d’adhérence de \((u_n)\).

Exercice 8 : Somme de deux parties

Pour deux parties \(A, B\) d’un espace normé \(E\), on note \(A + B = \{a + b : a \in A, \ b \in B\}\).

1. Montrer que si \(A\) et \(B\) sont compactes, alors \(A + B\) est compacte.
2. Montrer que si \(A\) est compacte et \(B\) fermée, alors \(A + B\) est fermée.
3. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(A = \{(x, 1/x) : x > 0\}\) et \(B = \mathbb{R} \times \{0\}\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont fermées, puis déterminer \(A + B\). Conclure.

Les deux parties de la question 3 sont représentées ci-dessous.

Exercice 9 : Parties connexes par arcs du plan

1. Montrer que \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) est connexe par arcs, en l’écrivant comme image de \(]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\) par une application continue.
2. Soit \(n \geq\, 2\) et \(S\) la sphère unité de \(\mathbb{R}^n\) euclidien. Soient \(a, b \in S\) avec \(b \neq -a\). Montrer que \(\gamma(t) = \frac{(1 – t)a + tb}{\|(1 – t)a + tb\|}\) définit un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(S\). En déduire que \(S\) est connexe par arcs.
3. Montrer que \(C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}\) est étoilée mais non convexe.
4. Montrer que \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \neq 1\}\) n’est pas connexe par arcs.

Exercice 10 : Fonctions continues sur une partie connexe par arcs

Soit \(A\) une partie connexe par arcs d’un espace normé.

1. Soit \(f : A \to \mathbb{R}\) continue, à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). Montrer que \(f\) est constante.
2. Soient \(f, g : A \to \mathbb{R}\) continues telles que \(f^2 = g^2\) et que \(g\) ne s’annule pas. Montrer que \(f = g\) ou \(f = -g\).
3. Montrer qu’il n’existe aucune application continue et injective de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\). On pourra retirer à \(\mathbb{R}^2\) un point bien choisi.

Exercice 11 : Deux points antipodaux de même image

Soit \(\mathcal{S}\) le cercle unité de \(\mathbb{R}^2\) et \(f : \mathcal{S} \to \mathbb{R}\) continue. Deux points \(x\) et \(-x\) de \(\mathcal{S}\) sont dits antipodaux, comme sur la figure ci-dessous.

1. Montrer que \(\mathcal{S}\) est connexe par arcs.
2. On pose \(g(x) = f(x) – f(-x)\). Montrer qu’il existe \(x \in \mathcal{S}\) tel que \(f(x) = f(-x)\).
3. En déduire qu’aucune application continue de \(\mathcal{S}\) dans \(\mathbb{R}\) n’est injective.
4. Interpréter le résultat en termes de températures le long de l’équateur terrestre.

Exercice 12 : Comparaison des normes usuelles

Sur \(\mathbb{R}^n\), on note \(N_1(x) = \sum |x_i|\), \(N_2(x) = (\sum x_i^2)^{1/2}\) et \(N_{\infty}(x) = \max |x_i|\).

1. Montrer que \(N_{\infty} \leq\, N_2 \leq\, N_1\), que \(N_1 \leq\, \sqrt{n}\, N_2\) et que \(N_2 \leq\, \sqrt{n}\, N_{\infty}\).
2. Montrer que ces quatre constantes sont optimales.
3. Sur \(\mathbb{R}[X]\), on note \(N_1(P) = \sum_k |a_k|\) et \(N_{\infty}(P) = \max_k |a_k|\) si \(P = \sum_k a_k X^k\). Montrer que ces normes ne sont pas équivalentes.
4. Donner une suite de polynômes qui converge vers \(0\) pour \(N_{\infty}\) mais pas pour \(N_1\).

Exercice 13 : Normes sur les polynômes de degré au plus n

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(E = \mathbb{R}_n[X]\). Pour \(P \in E\), on pose \(N(P) = \sup_{t \in [0, 1]} |P(t)|\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\).
2. Montrer qu’il existe \(C_n > 0\) tel que \(N(P^{\prime}) \leq\, C_n N(P)\) pour tout \(P \in E\).
3. Montrer que \(C_n \geq\, n\).
4. Soit \((P_k)\) une suite de \(E\) qui converge uniformément sur \([0, 1]\) vers une fonction \(f\). Montrer que \(f\) est la restriction à \([0, 1]\) d’un polynôme \(P \in E\).
5. Montrer alors que \(P_k(x) \to P(x)\) pour tout réel \(x\), même hors de \([0, 1]\).

Exercice 14 : Continuité du déterminant et parties de M_n(K)

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) d’une norme quelconque.

1. Justifier la continuité de \(\det\), de \(\mathrm{tr}\), de \(A \mapsto A^{\top}\), de \(A \mapsto A^k\) et de \((A, B) \mapsto AB\).
2. Montrer que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est ouvert et que \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K})\) est fermé.
3. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{N}\) des matrices nilpotentes est fermé. On admettra qu’une matrice \(A\) est nilpotente si et seulement si \(A^n = 0\).
4. Montrer que, pour \(0 \leq\, r \leq\, n\), l’ensemble des matrices de rang au plus \(r\) est fermé.
5. Montrer que \(A \mapsto A^{-1}\) est continue sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\).

Exercice 15 : Densité de GL_n et polynôme caractéristique de AB

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Montrer que \(A – \frac{1}{p} I_n\) est inversible pour \(p\) assez grand. En déduire que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
2. Soient \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Montrer que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\).
3. En déduire, par continuité, que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) pour toutes \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
4. Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), montrer que \(AB\) et \(BA\) ne sont pas toujours semblables.

Exercice 16 : Connexité par arcs de GL_n(C)

Soient \(A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\). On pose \(P(z) = \det((1 – z)A + zB)\) pour \(z \in \mathbb{C}\).

1. Montrer que \(P\) est un polynôme non nul. En déduire que son ensemble \(Z\) de racines est fini et ne contient ni \(0\) ni \(1\).
2. Pour \(s \in \mathbb{R}\), on pose \(\gamma_s(t) = t + i s t(1 – t)\), \(t \in [0, 1]\). Montrer que deux arcs \(\gamma_s\) et \(\gamma_{s^{\prime}}\) avec \(s \neq s^{\prime}\) n’ont en commun que les points \(0\) et \(1\). En déduire qu’un des arcs \(\gamma_s\) évite \(Z\).
3. Conclure que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs.
4. Expliciter un chemin de \(I_2\) à \(-I_2\) dans \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\). Pourquoi ce chemin ne peut-il pas rester dans \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) lorsque l’on remplace \(-I_2\) par \(\mathrm{diag}(-1, 1)\) ?

Exercice 17 : Composantes connexes par arcs des projecteurs

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\mathcal{P} = \{P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) : P^2 = P\}\). Pour \(0 \leq\, r \leq\, n\), on note \(\mathcal{P}_r\) l’ensemble des éléments de \(\mathcal{P}\) de rang \(r\), et \(J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\mathcal{P}\) est fermé, mais n’est pas borné.
2. Montrer que \(\mathrm{rg}(P) = \mathrm{tr}(P)\) pour tout \(P \in \mathcal{P}\).
3. Soit \(\gamma : [0, 1] \to \mathcal{P}\) un chemin. Montrer que \(\mathrm{rg}(\gamma(t))\) ne dépend pas de \(t\).
4. Montrer que \(\mathcal{P}_r = \{Q J_r Q^{-1} : Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\}\), puis que \(\mathcal{P}_r\) est connexe par arcs. On admettra que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs.
5. Déterminer les composantes connexes par arcs de \(\mathcal{P}\). Lesquelles sont compactes ?

Exercice 18 : Meilleure approximation polynomiale

Soit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\) muni de \(\|f\|_{\infty} = \sup_{[0, 1]} |f|\), et \(F = \mathbb{R}_n[X]\), vu comme sous-espace de \(E\).

1. Soit \(f \in E\). Montrer qu’il existe \(P^* \in F\) tel que \(\|f – P^*\|_{\infty} = d(f, F)\). On pourra introduire \(K = \{P \in F : \|P\|_{\infty} \leq\, 2\|f\|_{\infty}\}\).
2. Cas \(n = 0\) et \(f(x) = x^2\) : déterminer la meilleure approximation de \(f\) par une constante et la distance \(d(f, \mathbb{R}_0[X])\).
3. Cas \(n = 1\) et \(f(x) = x^2\). Pour \(P(x) = ax + b\), on pose \(e = f – P\). Calculer \(e(0) – 2e(1/2) + e(1)\). En déduire que \(\|f – P\|_{\infty} \geq\, 1/8\).
4. Montrer que \(P^*(x) = x – 1/8\) réalise la distance, et donner \(d(f, \mathbb{R}_1[X])\).

Exercice 19 : Problème : adhérence et intérieur des matrices diagonalisables

On note \(\mathcal{D}\) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) diagonalisables sur \(\mathbb{R}\). Pour \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on pose \(\Delta(A) = \mathrm{tr}(A)^2 – 4 \det(A)\), discriminant de \(\chi_A = X^2 – \mathrm{tr}(A) X + \det(A)\).

1. Montrer que \(\Delta\) est continue sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Montrer que \(\Delta(A) \geq\, 0\) pour tout \(A \in \mathcal{D}\).
3. Montrer que \(U = \{A : \Delta(A) > 0\}\) est un ouvert inclus dans \(\mathcal{D}\).
4. Soit \(A\) telle que \(\Delta(A) = 0\). Montrer que \(A \in \mathcal{D}\) si et seulement si \(A\) est une matrice scalaire \(\lambda I_2\).
5. Montrer que l’adhérence de \(\mathcal{D}\) est \(\{A : \Delta(A) \geq\, 0\}\). On pourra trigonaliser une matrice telle que \(\Delta(A) = 0\).
6. Montrer que l’intérieur de \(\mathcal{D}\) est \(U\).
7. La partie \(\mathcal{D}\) est-elle ouverte ? fermée ? Montrer qu’elle est connexe par arcs.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : compacité et connexité par arcs, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Topologie d'un espace normé et continuité
• Chapitre précédent : Topologie d'un espace normé et continuité
• Chapitre suivant : Séries numériques et vectorielles
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup