Éléments propres : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Éléments propres d’une matrice d’ordre 2

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) à l’aide de la trace et du déterminant.
2. Déterminer le spectre de \(A\) et une base de chaque sous-espace propre.
3. Vérifier que les vecteurs propres obtenus forment une base de \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 2 : Polynôme caractéristique d’une matrice d’ordre 3

On pose \(A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5 -2 -1 \\ 4 -1 -1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) et en déduire les éléments propres de \(A\).
2. Calculer \(\chi_B\) en développant selon une ligne bien choisie.
3. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(B\).
4. Contrôler les résultats avec la trace et le déterminant de chaque matrice.

Exercice 3 : Spectre à partir de la trace et du déterminant

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(\operatorname{tr}(A) = 6\), \(\det A = 6\) et \(A – I_3\) non inversible.

1. Montrer que \(1\) est valeur propre de \(A\).
2. On note \(\lambda_2\) et \(\lambda_3\) les deux autres racines complexes de \(\chi_A\). Déterminer \(\lambda_2 + \lambda_3\) et \(\lambda_2 \lambda_3\), puis le spectre de \(A\).
3. En déduire \(\chi_A\) sous forme développée, ainsi que le coefficient de \(X\).
4. Vérifier sur la matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 2 1 \\ 0 0 3 \end{pmatrix}\) que ce coefficient est la somme des trois mineurs principaux d’ordre \(2\).

Exercice 4 : Valeurs propres de l’inverse et d’un polynôme en A

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Montrer que \(A\) est inversible si et seulement si \(0 \notin \mathrm{Sp}(A)\).
2. On suppose \(A\) inversible. Montrer que \(\mathrm{Sp}(A^{-1}) = \{1/\lambda \mid \lambda \in \mathrm{Sp}(A)\}\) et que \(E_{1/\lambda}(A^{-1}) = E_\lambda(A)\).
3. Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\). Montrer que si \(AX = \lambda X\), alors \(P(A)X = P(\lambda)X\). En déduire l’inclusion \(\{P(\lambda) \mid \lambda \in \mathrm{Sp}(A)\} \subset \mathrm{Sp}(P(A))\).
4. Avec \(R = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\) et \(P = X^2\), montrer que cette inclusion peut être stricte sur \(\mathbb{R}\).
5. On suppose \(A^2 = A\). Montrer que \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}\).

Exercice 5 : Calculs par blocs

Soient \(B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et \(M = \begin{pmatrix} I_2 B \\ 0 I_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\).

1. Calculer \(M^2\), puis montrer par récurrence que \(M^k = \begin{pmatrix} I_2 kB \\ 0 I_2 \end{pmatrix}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
2. En déduire que \(M\) est inversible et donner \(M^{-1}\).
3. Plus généralement, soient \(A, D\) inversibles de taille \(p\) et \(q\), et \(C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\). Montrer que \(N = \begin{pmatrix} A C \\ 0 D \end{pmatrix}\) est inversible et que \(N^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} -A^{-1}CD^{-1} \\ 0 D^{-1} \end{pmatrix}\).
4. Quel est le polynôme caractéristique de \(M\) ? Quelle est la dimension de \(E_1(M)\) lorsque \(B = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 3 4 \end{pmatrix}\) ?

Exercice 6 : Déterminant triangulaire par blocs

On considère \(M = \begin{pmatrix} 1 2 5 -1 \\ 3 4 0 2 \\ 0 0 2 1 \\ 0 0 1 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\det M\) sans développement complet.
2. Calculer \(\chi_M\) et en déduire le spectre réel de \(M\).
3. Interpréter le résultat en termes de sous-espace stable par l’endomorphisme canoniquement associé à \(M\).

Exercice 7 : Projection sur un plan parallèlement à une droite

Dans \(\mathbb{R}^3\), on note \(F\) le plan d’équation \(x + y + z = 0\) et \(G = \mathrm{Vect}(w)\) avec \(w = (1, 2, 0)\). La figure ci-dessous représente la situation pour le vecteur \(x = (3, 0, 0)\).

1. Montrer que \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).
2. Déterminer l’expression du projecteur \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\), puis sa matrice \(P\) dans la base canonique.
3. Calculer \(p(3, 0, 0)\) et vérifier que \(P^2 = P\).
4. Déterminer les éléments propres de \(p\), puis ceux de la symétrie \(s = 2p – \mathrm{id}\).

Exercice 8 : Somme directe de trois droites et projecteurs associés

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(a = (1, 1, 0)\), \(b = (0, 1, 1)\), \(c = (1, 0, 1)\), puis \(F_1 = \mathrm{Vect}(a)\), \(F_2 = \mathrm{Vect}(b)\) et \(F_3 = \mathrm{Vect}(c)\).

1. Montrer que \(\mathbb{R}^3 = F_1 \oplus F_2 \oplus F_3\).
2. Décomposer \(x = (x_1, x_2, x_3)\) sur cette somme directe et donner les projecteurs associés \(p_1, p_2, p_3\).
3. Vérifier que \(p_1 + p_2 + p_3 = \mathrm{id}\) et que \(p_1 \circ p_2 = 0\).
4. Dans \(\mathbb{R}^2\), on considère les droites \(D_1 = \mathrm{Vect}(e_1)\), \(D_2 = \mathrm{Vect}(e_2)\) et \(D_3 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2)\). Montrer que leurs intersections deux à deux sont nulles, mais que leur somme n’est pas directe.

Exercice 9 : Plan stable et endomorphisme induit

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(A = \begin{pmatrix} -1 -1 0 \\ 2 1 0 \\ 1 2 2 \end{pmatrix}\) dans la base canonique \((e_1, e_2, e_3)\). On note \(P\) le plan d’équation \(x + y + z = 0\), \(f_1 = (1, -1, 0)\) et \(f_2 = (0, 1, -1)\).

1. Calculer \(u(f_1)\), \(u(f_2)\) et \(u(e_3)\). En déduire que \(P\) et \(\mathrm{Vect}(e_3)\) sont stables par \(u\).
2. Donner la matrice de l’endomorphisme induit \(u_P\) dans la base \((f_1, f_2)\), puis la matrice de \(u\) dans la base \((f_1, f_2, e_3)\).
3. En déduire \(\chi_u\) et le spectre réel de \(u\).
4. Montrer que \(P\) ne contient aucune droite stable par \(u\).

Exercice 10 : Dérivation sur les polynômes

Soit \(n \geq\, 1\) et \(E = \mathbb{R}_n[X]\). On considère \(D : P \mapsto P^{\prime}\) et \(\varphi : P \mapsto XP^{\prime}\).

1. Déterminer les éléments propres de \(D\). Calculer \(\chi_D\).
2. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base canonique \((1, X, \ldots, X^n)\). En déduire \(\chi_\varphi\), le spectre de \(\varphi\) et ses sous-espaces propres.
3. On considère \(\psi : P \mapsto (X – 1)P^{\prime}\). Montrer que les polynômes \((X – 1)^k\), \(0 \leq\, k \leq\, n\), sont des vecteurs propres de \(\psi\), et en déduire le spectre de \(\psi\).

Exercice 11 : Familles de fonctions propres libres

On note \(E = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) et \(D : f \mapsto f^{\prime}\).

1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(D\).
2. Soient \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\) des réels. Montrer que la famille \((x \mapsto e^{a_k x})_{1 \leq\, k \leq\, p}\) est libre.
3. En considérant \(D^2 : f \mapsto f^{\prime\prime}\), montrer que la famille \((x \mapsto \cos(kx))_{0 \leq\, k \leq\, p}\) est libre.
4. La famille \((x \mapsto \cos x, x \mapsto \sin x)\) est formée de vecteurs propres de \(D^2\) pour la même valeur propre. Est-elle libre ? Commenter.

Exercice 12 : Transposition dans les matrices carrées

Soit \(n \geq\, 2\) et \(T : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(M \mapsto M^{\top}\).

1. Calculer \(T \circ T\). En déduire que \(\mathrm{Sp}(T) \subset \{-1, 1\}\).
2. Déterminer les sous-espaces propres de \(T\) et leurs dimensions.
3. Montrer que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = E_1(T) \oplus E_{-1}(T)\), puis en déduire \(\chi_T\).
4. En déduire la trace et le déterminant de \(T\).

Exercice 13 : Matrices de rang 1

Soit \(n \geq\, 2\), \(U, V \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) non nuls et \(A = UV^{\top}\).

1. Montrer que \(A\) est de rang \(1\) et que \(A^2 = \operatorname{tr}(A)\,A\).
2. Déterminer \(\ker A\) et sa dimension. En déduire que \(0\) est valeur propre de multiplicité au moins \(n – 1\).
3. Montrer que \(\chi_A = X^{n-1}\big(X – \operatorname{tr}(A)\big)\).
4. Si \(\operatorname{tr}(A) \neq 0\), donner un vecteur propre associé à \(\operatorname{tr}(A)\).
5. Application : déterminer les éléments propres de la matrice \(J_n\) dont tous les coefficients valent \(1\).

Exercice 14 : Endomorphisme M ↦ M + tr(M) I_n

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\varphi : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(M \mapsto M + \operatorname{tr}(M)\,I_n\).

1. Montrer que \(\varphi\) est linéaire et calculer \(\varphi(I_n)\).
2. Déterminer \(\varphi(M)\) lorsque \(\operatorname{tr}(M) = 0\).
3. En déduire les éléments propres de \(\varphi\) et son polynôme caractéristique.
4. Calculer \(\operatorname{tr}(\varphi)\) et \(\det \varphi\). Montrer que \(\varphi\) est inversible et déterminer \(\varphi^{-1}\).

Exercice 15 : Multiplicité et dimension d’un sous-espace propre

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(A_a = \begin{pmatrix} 1 a 1 \\ 0 1 1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_{A_a}\) et donner la multiplicité de chaque valeur propre.
2. Déterminer \(\dim E_1(A_a)\) selon la valeur de \(a\).
3. Déterminer \(E_2(A_a)\).
4. Les matrices \(A_0\) et \(A_1\) sont-elles semblables ?

Exercice 16 : Commutant d’une matrice

Le commutant de \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est \(\mathcal{C}(A) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid AM = MA\}\).

1. Montrer que \(\mathcal{C}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
2. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\), avec \(\dim E = n\), possédant \(n\) valeurs propres distinctes, et \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de vecteurs propres. Montrer que si \(v\) commute avec \(u\), alors chaque \(e_i\) est vecteur propre de \(v\).
3. En déduire le commutant de \(\Delta = \mathrm{diag}(1, 2, 3)\) et sa dimension.
4. Déterminer le commutant de \(N = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) par le calcul.

Exercice 17 : Matrice compagnon

Soient \(a, b, c \in \mathbb{K}\) et \(C = \begin{pmatrix} 0 0 -c \\ 1 0 -b \\ 0 1 -a \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_C = X^3 + aX^2 + bX + c\).
2. Soit \(\lambda\) une racine de \(\chi_C\). Montrer que \((1, \lambda, \lambda^2)^{\top}\) est vecteur propre de \(C^{\top}\).
3. Montrer que tout sous-espace propre de \(C\) est une droite.
4. Application : écrire une matrice dont le polynôme caractéristique est \((X – 1)(X – 2)(X – 3)\) et donner les éléments propres de sa transposée.

Exercice 18 : Suites récurrentes et vecteurs propres

On définit deux suites par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 4\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 4u_n + v_n\) et \(v_{n+1} = 2u_n + 3v_n\).

1. Écrire la relation sous la forme \(X_{n+1} = AX_n\) et identifier la matrice \(A\).
2. En utilisant les vecteurs propres de \(A\), décomposer \(X_0\) et en déduire \(X_n\) pour tout \(n\).
3. Déterminer la limite de \(X_n / 5^n\) et interpréter géométriquement.

Exercice 19 : Sous-espaces stables de quelques endomorphismes

1. Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(\mathrm{diag}(1, 2, 3)\) dans la base canonique, et \(F\) un sous-espace stable par \(u\). On pose \(p_1 = \frac{1}{2}(u – 2\,\mathrm{id})(u – 3\,\mathrm{id})\). Calculer \(p_1(e_1)\), \(p_1(e_2)\), \(p_1(e_3)\), puis écrire de même \(p_2\) et \(p_3\).
2. En déduire que \(F = (F \cap E_1) \oplus (F \cap E_2) \oplus (F \cap E_3)\), puis déterminer tous les sous-espaces stables par \(u\). Combien y en a-t-il ?
3. Soit \(D : P \mapsto P^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\). Montrer que les sous-espaces stables par \(D\) sont \(\{0\}\) et les \(\mathbb{R}_d[X]\), \(0 \leq\, d \leq\, n\).

Exercice 20 : Polynômes caractéristiques de AB et BA

Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\). On pose, pour \(x \in \mathbb{K}\), \(M = \begin{pmatrix} xI_n A \\ B I_p \end{pmatrix}\).

1. Calculer par blocs les produits \(\begin{pmatrix} I_n -A \\ 0 xI_p \end{pmatrix} M\) et \(\begin{pmatrix} I_n 0 \\ -B xI_p \end{pmatrix} M\).
2. En déduire que \(x^p \det(xI_n – AB) = x^n \det(xI_p – BA)\) pour tout \(x \in \mathbb{K}\), puis que \(X^p \chi_{AB} = X^n \chi_{BA}\).
3. On suppose \(n = p\). Montrer que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\). En déduire que \(AB\) et \(BA\) ont le même spectre, la même trace et le même déterminant.
4. Avec \(A = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \end{pmatrix}\), montrer que \(AB\) et \(BA\) ne sont pas semblables.

Exercice 21 : Hyperplans stables et transposée

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\), \(\dim E = n \geq\, 2\), et \(H = \ker \ell\) un hyperplan, où \(\ell\) est une forme linéaire non nulle.

1. Soit \(\psi\) une forme linéaire nulle sur \(H\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(\psi = \lambda \ell\).
2. Montrer que \(H\) est stable par \(u\) si et seulement s’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(\ell \circ u = \lambda \ell\).
3. Traduction matricielle : \(E = \mathbb{R}^n\), \(u\) de matrice \(A\) et \(H\) d’équation \(l_1 x_1 + \cdots + l_n x_n = 0\). Montrer que \(H\) est stable par \(u\) si et seulement si \(L = (l_1, \ldots, l_n)^{\top}\) est vecteur propre de \(A^{\top}\).
4. Application : déterminer tous les plans de \(\mathbb{R}^3\) stables par l’endomorphisme de matrice \(A = \begin{pmatrix} -1 -1 0 \\ 2 1 0 \\ 1 2 2 \end{pmatrix}\), puis toutes les droites stables.

Exercice 22 : Problème, matrice de permutation circulaire

Soit \(n \geq\, 2\) et \(C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) la matrice définie par \(c_{i,i+1} = 1\) pour \(1 \leq\, i \leq\, n – 1\), \(c_{n,1} = 1\), et tous les autres coefficients nuls. On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\). La figure ci-dessous place les racines sixièmes de l’unité, cas \(n = 6\).

1. Pour \(x = (x_1, \ldots, x_n)^{\top}\), calculer \(Cx\). En déduire \(C^n = I_n\).
2. Pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\), on pose \(v_k = (1, \omega^k, \omega^{2k}, \ldots, \omega^{(n-1)k})^{\top}\). Montrer que \(Cv_k = \omega^k v_k\).
3. En déduire que \((v_0, \ldots, v_{n-1})\) est une base de \(\mathbb{C}^n\), que \(\chi_C = X^n – 1\) et que chaque sous-espace propre de \(C\) est une droite.
4. Soient \(a_0, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\), \(Q = \sum_{j=0}^{n-1} a_j X^j\) et \(M = Q(C)\). Montrer que \(Mv_k = Q(\omega^k)v_k\), puis que \(\det M = \prod_{k=0}^{n-1} Q(\omega^k)\).
5. Application pour \(n = 3\) : écrire \(M = aI_3 + bC + cC^2\), puis factoriser \(\det M\) avec \(j = e^{2i\pi/3}\). En déduire que \(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : éléments propres, cours de maths spé
• Chapitre précédent : Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres
• Chapitre suivant : Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup