Espaces préhilbertiens réels : cours de maths sup en PDF.

Un produit scalaire sur \(E\) est une application \(\varphi : E \times E \to \mathbb{R}\) qui est :

• bilinéaire : linéaire par rapport à chacune des deux variables ;
• symétrique : \(\varphi(y,x) = \varphi(x,y)\) pour tous \(x, y \in E\) ;
• positive : \(\varphi(x,x) \geq\, 0\) pour tout \(x \in E\) ;
• définie : \(\varphi(x,x) = 0 \Rightarrow x = 0\).

On note souvent \(\langle x, y \rangle\) ou \((x \mid y)\) au lieu de \(\varphi(x,y)\). Un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien réel. S’il est de plus de dimension finie, on parle d’espace euclidien.

Les applications suivantes sont des produits scalaires, appelés produits scalaires canoniques ou usuels.

• Sur \(\mathbb{R}^n\) : \(\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k\).
• Sur \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) : \(\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^{T} B) = \sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}\).
• Sur \(\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})\), avec \(a < b\) : \(\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \, \mathrm{d}t\).

Traitons le produit scalaire intégral, qui est le plus délicat. D’abord, la linéarité de l’intégrale donne la linéarité à gauche, et la symétrie vient de \(fg = gf\). Ensuite, \(\langle f, f \rangle = \int_a^b f^2 \geq\, 0\) par positivité de l’intégrale. Enfin, si \(\int_a^b f^2 = 0\), la fonction \(f^2\) est continue, positive et d’intégrale nulle sur un segment : elle est donc nulle. Par conséquent, \(f = 0\).

Pour les matrices, le coefficient \((j,j)\) de \(A^{T} B\) vaut \(\sum_i a_{ij} b_{ij}\). En sommant sur \(j\), on retrouve \(\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}\). Autrement dit, c’est le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^{np}\) écrit en tableau.

Pour vérifier qu’une application est un produit scalaire, procédez dans cet ordre.

1. Vérifiez qu’elle est bien définie et à valeurs réelles (convergence, continuité).
2. Prouvez la symétrie, puis la linéarité par rapport à une variable.
3. Calculez \(\varphi(x,x)\) et montrez qu’il est positif, par exemple en l’écrivant comme une somme de carrés.
4. Supposez \(\varphi(x,x) = 0\) et concluez que \(x = 0\). Pour une intégrale, invoquez la continuité.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \(\varphi(x,y) = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2\). Cette application est bilinéaire et symétrique. De plus, \(\varphi(x,x) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1 + x_2)^2\). Cette quantité est positive. Elle s’annule seulement si \(x_1 = 0\) et \(x_1 + x_2 = 0\), donc si \(x = 0\). Ainsi, \(\varphi\) est un produit scalaire.

Sur \(\mathbb{R}_n[X]\), l’application \((P,Q) \mapsto \int_0^1 P(t)Q(t) \, \mathrm{d}t\) est définie positive car un polynôme nul sur \([0,1]\) a une infinité de racines. En revanche, \((P,Q) \mapsto P(0)Q(0) + P(1)Q(1)\) n’est pas définie sur \(\mathbb{R}_2[X]\) : le polynôme \(X(X-1)\) est non nul et vérifie \(\varphi(P,P) = 0\).

La norme associée au produit scalaire est \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\). La distance entre \(x\) et \(y\) est \(d(x,y) = \|x – y\|\). Un vecteur de norme \(1\) est dit unitaire.

Pour tous \(x, y \in E\) :

\[\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2, \qquad \|x – y\|^2 = \|x\|^2 – 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2.\]

On en déduit les identités de polarisation :

\[\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x\|^2 – \|y\|^2) = \frac{1}{4}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2),\]

ainsi que l’identité du parallélogramme : \(\|x + y\|^2 + \|x – y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2\).

Une norme qui ne vérifie pas l’identité du parallélogramme ne provient d’aucun produit scalaire. Par exemple, sur \(\mathbb{R}^2\), la norme \(N(x) = |x_1| + |x_2|\) donne \(N(x+y)^2 + N(x-y)^2 = 8\) pour \(x = (1,0)\) et \(y = (0,1)\), alors que \(2N(x)^2 + 2N(y)^2 = 4\).

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous \(x, y \in E\) :

\[|\langle x, y \rangle| \leq\, \|x\| \, \|y\|.\]

De plus, il y a égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.

Si \(x = 0\), les deux membres sont nuls et la famille est liée. Supposons donc \(x \neq 0\). Pour tout réel \(t\), posons \(P(t) = \|tx + y\|^2 = t^2\|x\|^2 + 2t\langle x, y \rangle + \|y\|^2\). C’est un trinôme du second degré, car \(\|x\|^2 > 0\). Or il est positif sur \(\mathbb{R}\). Par conséquent, son discriminant est négatif ou nul : \(4\langle x, y \rangle^2 – 4\|x\|^2\|y\|^2 \leq\, 0\), ce qui est l’inégalité.

En cas d’égalité, le discriminant est nul. Le trinôme admet donc une racine \(t_0\), et \(\|t_0 x + y\| = 0\). Le caractère défini donne alors \(y = -t_0 x\). Réciproquement, si \(y = \lambda x\), on vérifie directement que \(|\langle x, y \rangle| = |\lambda| \, \|x\|^2 = \|x\| \, \|y\|\).

Appliquons l’inégalité dans \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) aux fonctions \(f\) et \(1\). On obtient \((\int_0^1 f)^2 \leq\, \int_0^1 f^2\). De même, dans \(\mathbb{R}^n\) avec les vecteurs \((a_1, \ldots, a_n)\) et \((1, \ldots, 1)\), on obtient \((\sum a_k)^2 \leq\, n \sum a_k^2\), avec égalité si et seulement si tous les \(a_k\) sont égaux.

Pour établir une inégalité avec Cauchy-Schwarz, repérez d’abord un produit qui se somme ou s’intègre. Ensuite, écrivez-le sous la forme \(\langle u, v \rangle\) en choisissant l’espace, le produit scalaire et les deux vecteurs. Enfin, examinez le cas d’égalité : il indique quand la borne est atteinte.

Pour tous \(x, y \in E\), \(\|x + y\| \leq\, \|x\| + \|y\|\). Par conséquent, \(\|\cdot\|\) est une norme sur \(E\), et \(d\) est une distance.

On développe : \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2\). Ensuite, Cauchy-Schwarz donne \(\langle x, y \rangle \leq\, \|x\| \, \|y\|\). Donc \(\|x + y\|^2 \leq\, (\|x\| + \|y\|)^2\), et l’on conclut en prenant les racines carrées. Les autres axiomes de norme découlent directement de la définition.

Deux vecteurs \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si \(\langle x, y \rangle = 0\). Pour une partie \(A\) de \(E\), l’orthogonal de \(A\) est

\[A^{\perp} = \{ x \in E \mid \forall a \in A, \ \langle x, a \rangle = 0 \}.\]

• \(A^{\perp}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), même si \(A\) n’en est pas un.
• Si \(A \subset B\), alors \(B^{\perp} \subset A^{\perp}\).
• \(A^{\perp} = \operatorname{Vect}(A)^{\perp}\), et \(A \subset (A^{\perp})^{\perp}\).
• \(\{0\}^{\perp} = E\) et \(E^{\perp} = \{0\}\).

Pour chaque \(a\), l’application \(x \mapsto \langle x, a \rangle\) est linéaire. Donc \(A^{\perp}\) est une intersection de noyaux, c’est-à-dire un sous-espace. Ensuite, si \(x \in E^{\perp}\), alors en particulier \(\langle x, x \rangle = 0\), d’où \(x = 0\). Les autres points se vérifient directement à partir de la définition.

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, l’orthogonal de \(\{(1,1,1)\}\) est le plan d’équation \(x + y + z = 0\). Plus généralement, dans \(\mathbb{R}^n\), un vecteur \(n \neq 0\) est normal à l’hyperplan \(\{n\}^{\perp}\), dont une équation est \(\langle n, x \rangle = 0\).

Une famille \((e_i)_{i \in I}\) est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Elle est orthonormée si, de plus, chaque vecteur est unitaire : \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\).

Théorème de Pythagore. Si \((x_1, \ldots, x_p)\) est une famille orthogonale, alors

\[\| \sum_{k=1}^{p} x_k \|^2 = \sum_{k=1}^{p} \|x_k\|^2.\]

Pour deux vecteurs, on a même l’équivalence : \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0\).

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, une famille orthonormée est libre.

Supposons \(\sum_k \lambda_k x_k = 0\). Faisons le produit scalaire avec \(x_j\) : tous les termes \(\langle x_k, x_j \rangle\) avec \(k \neq j\) sont nuls. Il reste \(\lambda_j \|x_j\|^2 = 0\). Or \(x_j \neq 0\), donc \(\lambda_j = 0\), et ce pour tout \(j\).

Dans \(\mathcal{C}([0, 2\pi], \mathbb{R})\) muni du produit scalaire intégral, les fonctions \(t \mapsto \cos(kt)\) pour \(k \in \mathbb{N}\) sont deux à deux orthogonales. En effet, pour \(k \neq l\), on a \(\cos(kt)\cos(lt) = \frac{1}{2}(\cos((k-l)t) + \cos((k+l)t))\), dont l’intégrale sur \([0, 2\pi]\) est nulle. Par conséquent, cette famille est libre.

Procédé de Gram-Schmidt. Soit \((v_1, \ldots, v_p)\) une famille libre de \(E\). Il existe une unique famille orthonormée \((e_1, \ldots, e_p)\) telle que, pour tout \(k\) :

• \(\operatorname{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \ldots, v_k)\) ;
• \(\langle e_k, v_k \rangle > 0\).

On construit \(e_1 = v_1 / \|v_1\|\). Supposons \(e_1, \ldots, e_{k-1}\) construits. Posons

\[w_k = v_k – \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i \rangle \, e_i.\]

D’abord, pour \(j < k\), on a \(\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j \rangle – \langle v_k, e_j \rangle = 0\). Ensuite, \(w_k \neq 0\) : sinon \(v_k\) appartiendrait à \(\operatorname{Vect}(v_1, \ldots, v_{k-1})\), ce qui contredit la liberté. On pose alors \(e_k = w_k / \|w_k\|\). Enfin, \(\langle e_k, v_k \rangle = \langle e_k, w_k \rangle = \|w_k\| > 0\). L’unicité s’obtient par récurrence, car \(e_k\) est un vecteur unitaire de la droite \(\operatorname{Vect}(e_1, \ldots, e_{k-1})^{\perp} \cap \operatorname{Vect}(v_1, \ldots, v_k)\).

Pour orthonormaliser une famille, retenez le schéma « on retire les composantes, puis on normalise ». À chaque étape, vérifiez que \(w_k\) est orthogonal aux \(e_i\) déjà obtenus. Pour éviter les racines carrées trop tôt, vous pouvez aussi orthogonaliser d’abord, avec \(w_k = v_k – \sum_{i < k} \frac{\langle v_k, w_i \rangle}{\|w_i\|^2} w_i\), puis normaliser à la fin.

Dans \(\mathbb{R}^2\) canonique, orthonormalisons \(v_1 = (3,4)\) et \(v_2 = (1,0)\). D’abord, \(e_1 = \frac{1}{5}(3,4)\). Ensuite, \(\langle v_2, e_1 \rangle = \frac{3}{5}\), donc \(w_2 = (1,0) – \frac{3}{25}(3,4) = \frac{1}{25}(16, -12)\). Sa norme vaut \(\frac{20}{25}\). Finalement, \(e_2 = \frac{1}{5}(4, -3)\).

Tout espace euclidien non réduit à \(\{0\}\) possède une base orthonormée. De plus, toute famille orthonormée peut être complétée en une base orthonormée.

Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base orthonormée de \(E\). Pour tous \(x, y \in E\) :

\[x = \sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle \, e_k, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^{n} x_k y_k, \qquad \|x\|^2 = \sum_{k=1}^{n} x_k^2,\]

où \(x_k = \langle x, e_k \rangle\) et \(y_k = \langle y, e_k \rangle\) sont les coordonnées.

Écrivons \(x = \sum_k x_k e_k\). Le produit scalaire avec \(e_j\) donne \(\langle x, e_j \rangle = x_j\), car \(\langle e_k, e_j \rangle = \delta_{kj}\). Ensuite, par bilinéarité, \(\langle x, y \rangle = \sum_{k,l} x_k y_l \langle e_k, e_l \rangle = \sum_k x_k y_k\).

Autrement dit, dans une base orthonormée, tout produit scalaire se calcule comme le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^n\). Matriciellement, si \(X\) et \(Y\) sont les colonnes de coordonnées, \(\langle x, y \rangle = X^{T} Y\).

Soit \(F\) un sous-espace de dimension finie de l’espace préhilbertien \(E\). Alors \(E = F \oplus F^{\perp}\). On dit que \(F^{\perp}\) est le supplémentaire orthogonal de \(F\). Si de plus \(E\) est euclidien, \(\dim F^{\perp} = \dim E – \dim F\) et \((F^{\perp})^{\perp} = F\).

D’abord, \(F \cap F^{\perp} = \{0\}\) : un vecteur de l’intersection est orthogonal à lui-même. Ensuite, soit \((e_1, \ldots, e_p)\) une base orthonormée de \(F\), qui existe par Gram-Schmidt. Pour \(x \in E\), posons \(p(x) = \sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle e_k \in F\). Pour tout \(j\), on a \(\langle x – p(x), e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle – \langle x, e_j \rangle = 0\). Donc \(x – p(x) \in F^{\perp}\), et \(x = p(x) + (x – p(x))\). Ainsi, \(E = F + F^{\perp}\).

En dimension finie, la formule des dimensions donne \(\dim F^{\perp}\). Enfin, \(F \subset (F^{\perp})^{\perp}\) et ces deux espaces ont la même dimension, donc ils sont égaux.

L’hypothèse de dimension finie de \(F\) est essentielle. Dans \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) avec le produit scalaire intégral, le sous-espace \(F = \{ f \mid f(0) = 0 \}\) vérifie \(F^{\perp} = \{0\}\). Pourtant, \(F \neq E\), donc \(F \oplus F^{\perp} \neq E\).

Si \(F\) est de dimension finie, la projection orthogonale sur \(F\) est la projection \(p_F\) sur \(F\) parallèlement à \(F^{\perp}\). Le vecteur \(p_F(x)\) est le projeté orthogonal de \(x\) sur \(F\).

Le projeté \(p_F(x)\) est l’unique vecteur \(y\) tel que \(y \in F\) et \(x – y \in F^{\perp}\). Si \((e_1, \ldots, e_p)\) est une base orthonormée de \(F\), alors

\[p_F(x) = \sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle \, e_k.\]

En particulier, pour une droite dirigée par \(u \neq 0\), \(p(x) = \dfrac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u\). Pour un hyperplan \(H = \{n\}^{\perp}\), \(p_H(x) = x – \dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2} n\).

Soit \(F\) de dimension finie et \(x \in E\). Pour tout \(y \in F\), on a \(\|x – y\|^2 = \|x – p_F(x)\|^2 + \|p_F(x) – y\|^2\). Par conséquent,

\[d(x, F) = \inf_{y \in F} \|x – y\| = \|x – p_F(x)\|,\]

et cette borne inférieure est atteinte en l’unique point \(y = p_F(x)\).

Écrivons \(x – y = (x – p_F(x)) + (p_F(x) – y)\). Le premier vecteur est dans \(F^{\perp}\) et le second dans \(F\). Donc le théorème de Pythagore s’applique. Ainsi, \(\|x – y\| \geq\, \|x – p_F(x)\|\), avec égalité si et seulement si \(y = p_F(x)\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), la distance de \(x = (1, 2, 3)\) au plan \(H : x + y + z = 0\) vaut \(\dfrac{|\langle x, n \rangle|}{\|n\|}\) avec \(n = (1,1,1)\). On trouve \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). De plus, Pythagore donne aussi \(\|p_F(x)\|^2 = \|x\|^2 – d(x,F)^2\).

Pour calculer un projeté orthogonal et une distance sans base orthonormée, écrivez \(p_F(x) = \sum_i \lambda_i f_i\) dans une base \((f_1, \ldots, f_p)\) de \(F\). La condition \(x – p_F(x) \perp f_j\) pour chaque \(j\) fournit le système normal :

\[\sum_{i=1}^{p} \lambda_i \langle f_i, f_j \rangle = \langle x, f_j \rangle, \qquad 1 \leq\, j \leq\, p.\]

Ensuite, \(d(x,F)^2 = \langle x – p_F(x), x \rangle = \|x\|^2 – \|p_F(x)\|^2\). Pour un hyperplan, passez plutôt par un vecteur normal.

Inégalité de Bessel. Si \((e_1, \ldots, e_p)\) est une famille orthonormée, alors pour tout \(x \in E\), \(\sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle^2 \leq\, \|x\|^2\).

Cherchons \(\inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2} \int_0^1 (t^2 – at – b)^2 \, \mathrm{d}t\). C’est le carré de la distance de \(t \mapsto t^2\) au sous-espace \(F = \mathbb{R}_1[X]\), pour le produit scalaire intégral sur \([0,1]\). Le système normal s’écrit \(\frac{a}{2} + b = \frac{1}{3}\) et \(\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{1}{4}\). On trouve \(a = 1\) et \(b = -\frac{1}{6}\). Le minimum vaut \(\frac{1}{180}\).

Dans \(\mathbb{R}^n\) canonique, posons \(X = (x_1, \ldots, x_n)\), \(Y = (y_1, \ldots, y_n)\) et \(U = (1, \ldots, 1)\), avec \(X\) et \(U\) non colinéaires. La quantité \(S(a,b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – a x_i – b)^2 = \|Y – aX – bU\|^2\) est minimale pour l’unique couple \((a,b)\) tel que \(aX + bU\) soit le projeté orthogonal de \(Y\) sur \(\operatorname{Vect}(X, U)\). Ce couple vérifie le système normal :

\[\begin{cases} a \sum x_i^2 + b \sum x_i = \sum x_i y_i \\ a \sum x_i + b n = \sum y_i \end{cases}\]

Sous forme matricielle, on cherche \(Z\) minimisant \(\|AZ – Y\|\). Le système normal s’écrit alors \(A^{T}A Z = A^{T}Y\). Lorsque les colonnes de \(A\) sont libres, la matrice \(A^{T}A\) est inversible, et la solution est unique. Cette écriture est reprise dans les cours de statistique et d’analyse numérique.