Développements limités : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : DL usuels et combinaisons linéaires

Donner le développement limité en 0 de chacune des fonctions suivantes, à l’ordre indiqué.

1. \(\operatorname{sh} x – \sin x\) à l’ordre 5.
2. \(\operatorname{ch} x + \cos x\) à l’ordre 5.
3. \(\ln(1+x) – \dfrac{x}{1+x}\) à l’ordre 3.
4. \(\sqrt{1+x} – \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\) à l’ordre 2.

Exercice 2 : Formule de Taylor-Young et tangente

1. Exprimer \(\tan^{\prime}\), \(\tan^{\prime\prime}\) et \(\tan^{\prime\prime\prime}\) en fonction de \(\tan\).
2. En déduire, par la formule de Taylor-Young, le DL de \(\tan\) à l’ordre 3 en 0. Justifier que c’est en fait un DL à l’ordre 4.
3. Retrouver ce résultat en calculant le quotient \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\) à l’ordre 3.

Exercice 3 : DL en un point quelconque

1. Donner le DL à l’ordre 2 de \(\tan\) en \(\dfrac{\pi}{4}\). On pourra écrire \(x = \dfrac{\pi}{4} + h\) et utiliser la formule d’addition de la tangente.
2. Donner le DL à l’ordre 3 de \(x \mapsto x^x = e^{x \ln x}\) en 1.
3. Donner le DL à l’ordre 3 de \(\ln x\) en 2.

Exercice 4 : DL et dérivabilité

On définit sur \(\mathbb{R}\) les fonctions \(f\) et \(g\) par \(f(0) = g(0) = 0\) et, pour \(x \neq 0\) :

\[f(x) = x^2 \sin\Big(\frac{1}{x}\Big), \qquad g(x) = x^3 \sin\Big(\frac{1}{x}\Big).\]

1. Montrer que \(f\) admet un DL à l’ordre 1 en 0. En déduire que \(f\) est dérivable en 0 et donner \(f^{\prime}(0)\).
2. Montrer que \(f\) n’admet pas de DL à l’ordre 2 en 0.
3. Montrer que \(g\) admet un DL à l’ordre 2 en 0.
4. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais que \(g^{\prime}\) n’est pas dérivable en 0. Quelle conclusion en tirer ?

Exercice 5 : Parité et unicité du développement limité

On pose \(\varphi(x) = \dfrac{x}{e^x – 1}\) pour \(x \neq 0\) et \(\varphi(0) = 1\).

1. Montrer que \(\varphi\) est continue en 0.
2. Montrer que \(\psi : x \mapsto \varphi(x) + \dfrac{x}{2}\) est paire.
3. On admet que \(\varphi\) admet un DL à l’ordre 4 en 0. Justifier qu’il s’écrit \(\varphi(x) = 1 – \dfrac{x}{2} + a x^2 + b x^4 + o(x^4)\).
4. Déterminer \(a\) et \(b\) en utilisant l’égalité \(\varphi(x) \cdot \dfrac{e^x – 1}{x} = 1\).

Exercice 6 : Primitivation de développements limités

1. Donner le DL de \(\operatorname{Arctan}\) à l’ordre 7 en 0 à partir de celui de \(\dfrac{1}{1+t^2}\).
2. Donner le DL de \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) à l’ordre 4 en 0, puis celui de \(\operatorname{Arcsin}\) à l’ordre 5.
3. Soit \(F(x) = \ln\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)\) sur \(]-1, 1[\). Calculer \(F^{\prime}\) puis donner le DL de \(F\) à l’ordre 5 en 0.
4. Soit \(G(x) = \displaystyle\int_x^{2x} e^{-t^2}\, dt\). Donner le DL de \(G\) à l’ordre 5 en 0.

Exercice 7 : Produits et ordre juste nécessaire

1. Donner le DL à l’ordre 4 de \(e^x \sin x\) en 0. À quel ordre suffit-il de développer \(e^x\) ?
2. Donner le DL à l’ordre 3 de \(\sqrt{1+x}\, \ln(1+x)\) en 0, en précisant l’ordre utile de chaque facteur.
3. Donner le DL à l’ordre 6 de \(\sin^2 x\,(1 – \cos x)\) en 0.

Exercice 8 : Quotients : sécante et tangente

1. Donner le DL à l’ordre 5 de \(\dfrac{1}{\cos x}\) en 0.
2. En déduire le DL à l’ordre 5 de \(\tan x\) en 0.
3. Donner le DL à l’ordre 4 de \(\dfrac{x}{\sin x}\) en 0, la fonction étant prolongée par 1 en 0.

Exercice 9 : Compositions

1. Donner le DL à l’ordre 4 de \(e^{\sin x}\) en 0.
2. Donner le DL à l’ordre 4 de \(\ln(\cos x)\) en 0.
3. Vérifier la cohérence du résultat précédent avec le DL de \(\tan\) à l’ordre 3, en utilisant la primitivation.
4. Donner le DL à l’ordre 3 de \(e^{\cos x}\) en 0.

Exercice 10 : Prévoir l’ordre nécessaire

1. Soit \(f(x) = (1+x)^{1/x}\) pour \(x \in \,]-1, 0[\, \cup \,]0, +\infty[\). À quel ordre faut-il développer \(\ln(1+x)\) pour obtenir le DL de \(f\) à l’ordre 2 en 0 ? Calculer ce DL.
2. Donner le DL à l’ordre 2 en 0 de \(\dfrac{\ln(1+x)}{\sin x}\), prolongée par 1 en 0. Préciser les ordres utilisés pour le numérateur et le dénominateur.
3. Donner le DL à l’ordre 2 en 0 de \(\dfrac{\operatorname{sh} x – x}{x – \sin x}\), prolongée par continuité en 0.

Exercice 11 : Dérivées successives en 0 à partir d’un DL

1. Calculer \(\operatorname{Arctan}^{(7)}(0)\) et \(\operatorname{Arctan}^{(8)}(0)\).
2. Soit \(g(x) = e^{x^2}\). Pour tout entier \(k\), calculer \(g^{(2k)}(0)\) et \(g^{(2k+1)}(0)\).
3. Soit \(h(x) = \dfrac{1}{1 – x – x^2}\). Montrer que \(h\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de 0, puis calculer \(h^{(5)}(0)\) à l’aide de son DL à l’ordre 5.

Exercice 12 : Calcul de limites

Déterminer les limites suivantes.

1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \Big(\frac{1}{\sin^2 x} – \frac{1}{x^2}\Big)\).
2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3}\).
3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\).
4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \Big(1 + \frac{1}{x}\Big)^{x^2} e^{-x}\).
5. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \Big(n \sin \frac{1}{n}\Big)^{n^2}\).

Exercice 13 : Équivalents en 0 et en l’infini

Donner un équivalent simple de chacune des expressions suivantes.

1. \(e^x – 1 – \ln(1+x) – x^2\) en 0.
2. \(\tan x – \operatorname{Arctan} x\) en 0.
3. \(\sqrt{x^2 + x} – \sqrt{x^2 – x} – 1\) en \(+\infty\).
4. \(e – \Big(1 + \dfrac{1}{n}\Big)^n\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 14 : Tangente et position relative

On pose \(f(x) = \dfrac{e^x – 1}{x}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\).

1. Donner le DL à l’ordre 2 de \(f\) en 0.
2. En déduire que \(f\) est continue et dérivable en 0, et donner \(f^{\prime}(0)\).
3. Donner l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) en 0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4. Même question pour \(g(x) = \ln(1 + x + x^2)\) en 0, en poussant le DL jusqu’au premier terme utile.

Exercice 15 : Asymptotes obliques et position

1. Soit \(f(x) = (x+1)\, e^{1/x}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Montrer que la courbe de \(f\) admet une asymptote en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et préciser la position de la courbe dans chaque cas.
2. Même question pour \(g(x) = \sqrt[3]{x^3 + 3x^2}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 16 : Nature d’un point critique

1. Soit \(h(x) = x^2 e^x\). Déterminer les points critiques de \(h\) et leur nature à l’aide de \(h^{\prime\prime}\).
2. Soit \(f(x) = 2\cos x + x^2\). Vérifier que 0 est un point critique où \(f^{\prime\prime}(0) = 0\). Déterminer sa nature à l’aide d’un DL.
3. Soit \(k(x) = \ln(1+x) – x + \dfrac{x^2}{2}\). Montrer que 0 est un point critique qui n’est pas un extremum local.
4. Pour quelles valeurs du réel \(\lambda\) la fonction \(u_\lambda(x) = \cos x + \lambda x^2\) admet-elle un minimum local en 0 ? un maximum local ?

Exercice 17 : Approximation rationnelle du cosinus

On cherche deux réels \(a\) et \(b\) tels que la fraction \(R(x) = \dfrac{1 + a x^2}{1 + b x^2}\) approche \(\cos x\) le mieux possible au voisinage de 0.

1. Donner le DL de \(R\) à l’ordre 6 en 0 en fonction de \(a\) et \(b\).
2. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(R(x) – \cos x = o(x^5)\).
3. Pour ces valeurs, donner un équivalent de \(R(x) – \cos x\) en 0.
4. Comparer avec le polynôme de Taylor \(T(x) = 1 – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\) : donner un équivalent de \(T(x) – \cos x\) en 0 et conclure.

Exercice 18 : DL d’une bijection réciproque

Soit \(f : [-1, +\infty[ \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x e^x\). La figure ci-dessous représente \(f\) et sa réciproque.

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([-1, +\infty[\) sur un intervalle \(J\) à préciser. On note \(W\) sa réciproque.
2. Justifier que \(W\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de 0. On admettra que la réciproque d’une bijection de classe \(\mathcal{C}^\infty\) dont la dérivée ne s’annule pas est de classe \(\mathcal{C}^\infty\).
3. En déduire que \(W\) admet un DL à l’ordre 3 en 0, puis le calculer à l’aide de la relation \(W(y)\, e^{W(y)} = y\).
4. En déduire \(\displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{W(y) – y}{y^2}\).

Exercice 19 : Développement asymptotique d’une suite implicite

On considère l’équation \(\tan x = x\). La figure ci-dessous montre les courbes de \(\tan\) et de la droite \(y = x\).

1. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Montrer que l’équation admet une unique solution \(x_n\) dans \(\big]n\pi – \frac{\pi}{2}, n\pi + \frac{\pi}{2}\big[\), et que \(x_n \in \big]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}\big[\).
2. En déduire que \(x_n \sim n\pi\).
3. On pose \(\varepsilon_n = n\pi + \frac{\pi}{2} – x_n\). Montrer que \(\tan \varepsilon_n = \dfrac{1}{x_n}\), puis que \(\varepsilon_n \sim \dfrac{1}{n\pi}\).
4. En déduire que \(x_n = n\pi + \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2\pi n^2} + O\Big(\dfrac{1}{n^3}\Big)\).

Exercice 20 : Problème : étude complète d’une courbe

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(0) = 0\) et, pour \(x \neq 0\), \(f(x) = \dfrac{x}{1 + e^{1/x}}\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Étudier la dérivabilité à droite et à gauche de \(f\) en 0. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 0 ? Décrire l’allure de la courbe en 0.
3. Soit \(\psi(u) = 1 + (1+u)e^u\) pour \(u\) réel. Montrer que \(\psi\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
4. Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \neq 0\) et l’exprimer à l’aide de \(\psi(1/x)\). En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Donner le DL à l’ordre 3 en 0 de \(t \mapsto \dfrac{1}{1 + e^t}\). On pourra remarquer que \(\dfrac{1}{1+e^t} – \dfrac{1}{2}\) est une fonction impaire.
6. En déduire que la courbe de \(f\) admet la même asymptote en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et préciser la position de la courbe par rapport à elle.
7. Tracer l’allure de la courbe de \(f\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : développements limités, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Relations de comparaison : domination, équivalents, Dérivabilité et convexité
• Chapitre précédent : Relations de comparaison : domination, équivalents
• Chapitre suivant : Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
• Le même thème en L1 : développements limités, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé