Calcul de primitives : exercices de maths sup corrigés

Sommaire

Ces exercices primitives sup entraînent tous les automatismes de calcul du chapitre. Les premiers portent sur les primitives usuelles et la reconnaissance d’une dérivée composée. Viennent ensuite l’intégration par parties, le changement de variable, les fractions du second degré selon le signe du discriminant et l’exponentielle complexe.

Les derniers exercices sont de niveau concours : intégrales de Wallis, suites d’intégrales définies par récurrence, calcul d’une intégrale par symétrie et fonctions définies par une intégrale à bornes variables. Cherchez chaque exercice au brouillon avant de lire le corrigé. Ainsi, vous repérerez vos hésitations sur le choix de la méthode. De plus, vérifiez chaque primitive obtenue en la dérivant : c’est le réflexe qui évite la plupart des erreurs.

Avant de commencer, relisez le cours de maths sup sur calcul de primitives.

Exercice 1 : Primitives usuelles

Déterminez une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

\(f_1(x) = x^3 – \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0, +\infty[\).
\(f_2(x) = e^{2x} + \cos(3x)\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f_3(x) = \operatorname{ch}(2x) – \operatorname{sh} x\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f_4(x) = \dfrac{1}{4 + x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{9 – x^2}}\) sur \(]-3, 3[\).

Exercice 2 : Reconnaître la dérivée d’une composée

Pour chaque fonction, reconnaissez une forme \(u^{\prime} \times G^{\prime}(u)\) et donnez une primitive sur l’intervalle indiqué.

\(g_1(x) = x\,e^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g_2(x) = \tan x\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).
\(g_3(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0, +\infty[\).
\(g_4(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g_5(x) = \dfrac{1}{x\ln x}\) sur \(]1, +\infty[\).
\(g_6(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 3 : Intégrales calculées par primitives

Calculez les intégrales suivantes en exhibant une primitive. La figure ci-dessous représente la première comme une aire.

\(A = \displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2}\,dx\).
\(B = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x\cos^2 x\,dx\).
\(C = \displaystyle\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}\).
\(D = \displaystyle\int_1^{e} \frac{\ln x}{x}\,dx\).

Exercice 4 : Fonctions définies par une intégrale

Dans cet exercice, aucune primitive explicite n’est demandée.

On pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt\) pour \(x \in \mathbb{R}\). Justifiez que \(F\) est dérivable, calculez \(F^{\prime}\) et déduisez-en le sens de variation de \(F\).
Montrez que \(F\) est impaire. On pourra dériver \(x \mapsto F(-x) + F(x)\).
On pose \(G(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}\). Justifiez que \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculez \(G^{\prime}(x)\).
On pose \(H(x) = \displaystyle\int_0^{\sin x} \frac{dt}{1 + t^2}\). Calculez \(H^{\prime}(x)\) de deux façons : par la formule de dérivation, puis en calculant \(H\) explicitement.

Exercice 5 : Premières intégrations par parties

Calculez à l’aide d’une intégration par parties.

\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\).
\(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx\).
Une primitive de \(x \mapsto x\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 6 : Intégrations par parties successives

À l’aide de deux intégrations par parties, déterminez une primitive de \(x \mapsto x^2 e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\), puis calculez \(\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx\).
Déterminez une primitive de \(x \mapsto (\ln x)^2\) sur \(]0, +\infty[\), puis calculez \(\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx\).
Déterminez une primitive de \(x \mapsto \arcsin x\) sur \(]-1, 1[\).

Exercice 7 : Intégrales de Wallis

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx\).

Calculez \(W_0\) et \(W_1\).
Montrez que \(W_n > 0\) et que la suite \((W_n)\) est décroissante.
À l’aide d’une intégration par parties sur \(W_{n+2} = \int_0^{\pi/2} \sin x \sin^{n+1} x\,dx\), montrez que \((n + 2)W_{n+2} = (n + 1)W_n\).
Déduisez-en \(W_2\), \(W_3\), \(W_4\) et \(W_5\).
Montrez que la suite \(\big((n + 1)W_{n+1}W_n\big)_{n \in \mathbb{N}}\) est constante et donnez sa valeur.

Exercice 8 : Changements de variable élémentaires

Calculez les intégrales suivantes avec le changement de variable indiqué.

\(\displaystyle\int_0^{1} \frac{x^2}{\sqrt{4 – x^6}}\,dx\), en posant \(u = x^3\).
\(\displaystyle\int_1^4 \frac{dx}{\sqrt{x}\,(1 + \sqrt{x})}\), en posant \(u = \sqrt{x}\).
\(\displaystyle\int_0^{\ln 2} \frac{dx}{1 + e^{x}}\), en posant \(u = e^x\).
\(\displaystyle\int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx\), en posant \(x = \sin t\).

Exercice 9 : Changements de variable et symétries

On pose \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\,dx\) et \(J = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x}\,dx\). À l’aide du changement de variable \(x = \frac{\pi}{2} – t\), montrez que \(I = J\). Calculez \(I + J\), puis \(I\).
On pose \(K = \displaystyle\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx\). Avec \(x = \pi – t\), montrez que \(2K = \pi\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{\sin t}{1 + \cos^2 t}\,dt\).
Calculez cette dernière intégrale par le changement de variable \(u = \cos t\), puis donnez \(K\).

Exercice 10 : Primitives de 1/(ax² + bx + c)

Déterminez une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué. Précisez à chaque fois le signe du discriminant.

\(h_1(x) = \dfrac{1}{x^2 – 3x + 2}\) sur \(]2, +\infty[\).
\(h_2(x) = \dfrac{1}{x^2 – 4x + 4}\) sur \(]2, +\infty[\).
\(h_3(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(h_4(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 2x + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 11 : Intégrales de fractions du second degré

Calculez les intégrales suivantes.

\(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^2 + x + 1}\).
\(\displaystyle\int_0^1 \frac{2x + 3}{x^2 + x + 1}\,dx\).
\(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 4x + 3}\,dx\).

Exercice 12 : Exponentielle complexe et produits amortis

En primitivant \(x \mapsto e^{(1 + 2i)x}\), déterminez une primitive de \(x \mapsto e^{x}\cos(2x)\) et une primitive de \(x \mapsto e^{x}\sin(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).
Calculez \(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-x}\sin x\,dx\) par la même méthode.
Retrouvez ce dernier résultat par deux intégrations par parties.

Exercice 13 : Linéarisation et puissances trigonométriques

Déterminez une primitive de \(x \mapsto \sin^3 x\) sur \(\mathbb{R}\), en écrivant \(\sin^3 x = \sin x\,(1 – \cos^2 x)\).
Calculez \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\cos^2 x\,dx\).
À l’aide des formules d’Euler, linéarisez \(\cos^4 x\), puis calculez \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^4 x\,dx\).
À l’aide du changement de variable \(u = \sin x\), déterminez une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{\cos x}\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

Exercice 14 : Le changement de variable t = tan(x/2)

On veut calculer \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{2 + \cos x}\).

Pour \(x \in ]-\pi, \pi[\), on pose \(t = \tan\frac{x}{2}\). Montrez que \(\cos x = \dfrac{1 – t^2}{1 + t^2}\).
Justifiez le changement de variable \(x = 2\arctan t\) et exprimez \(dx\) en fonction de \(dt\).
Montrez que \(I = \displaystyle\int_0^1 \frac{2\,dt}{3 + t^2}\), puis calculez \(I\).

Exercice 15 : Fonctions hyperboliques

Calculez \(\displaystyle\int_0^1 \operatorname{ch}^2 x\,dx\).
Vérifiez que \(x \mapsto 2\arctan(e^x)\) est une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{ch} x}\) sur \(\mathbb{R}\).
On note \(a = \ln(1 + \sqrt{2})\). Vérifiez que \(\operatorname{sh} a = 1\) et \(\operatorname{ch} a = \sqrt{2}\).
À l’aide du changement de variable \(x = \operatorname{sh} t\), calculez \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 + x^2}\,dx\).

Exercice 16 : Primitives à valeurs complexes

Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(b \neq 0\), et \(\alpha = a + ib\).

Écrivez \(\dfrac{1}{x – \alpha}\) sous la forme \(u(x) + i\,v(x)\) avec \(u, v\) réelles, pour \(x \in \mathbb{R}\).
Déduisez-en qu’une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x – \alpha}\) sur \(\mathbb{R}\) est \(x \mapsto \ln|x – \alpha| + i\arctan\dfrac{x – a}{b}\).
Vérifiez que \(\dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{1}{2i}(\dfrac{1}{x – i} – \dfrac{1}{x + i})\) et retrouvez ainsi une primitive de \(\dfrac{1}{1 + x^2}\).
Expliquez pourquoi on ne peut pas écrire « \(\ln(x – \alpha)\) » comme primitive, même si la formule \((\ln u)^{\prime} = u^{\prime}/u\) semble le suggérer.

Exercice 17 : Une suite d’intégrales de fractions

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(J_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{(1 + x^2)^n}\).

Calculez \(J_1\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrez que pour tout \(n \geq\, 1\) : \(2n\,J_{n+1} = (2n – 1)J_n + \dfrac{1}{2^n}\).
Déduisez-en \(J_2\) et \(J_3\).
Montrez que \((1 + x^2)^n \geq\, 1 + nx^2\) pour \(x\) réel et \(n \geq\, 1\).
Déduisez-en \(0 \leq\, J_n \leq\, \dfrac{\pi}{2\sqrt{n}}\), puis la limite de \((J_n)\).

Exercice 18 : Problème, intégrales des puissances de la tangente

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^n x\,dx\). La figure ci-dessous représente quelques fonctions \(\tan^n\) sur \([0, \pi/4]\).

Calculez \(I_0\) et \(I_1\).
Montrez que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(I_n + I_{n+2} = \dfrac{1}{n + 1}\).
Montrez que \((I_n)\) est positive et décroissante.
Déduisez des deux questions précédentes que pour \(n \geq\, 2\) : \(\dfrac{1}{2(n + 1)} \leq\, I_n \leq\, \dfrac{1}{2(n – 1)}\). Donnez la limite de \((I_n)\).
Par le changement de variable \(u = \tan x\), montrez que \(I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{u^n}{1 + u^2}\,du\).
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k + 1}\). Montrez que \((-1)^n I_{2n} = \dfrac{\pi}{4} – S_n\), puis déterminez la limite de \((S_n)\).
De même, montrez que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\) tend vers \(\ln 2\).

Exercice 19 : Une intégrale de concours

On pose \(I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2}\,dx\).

Par le changement de variable \(x = \tan t\), montrez que \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan t)\,dt\).
Montrez que pour \(u \in [0, \frac{\pi}{4}]\) : \(1 + \tan(\frac{\pi}{4} – u) = \dfrac{2}{1 + \tan u}\).
Par le changement de variable \(t = \frac{\pi}{4} – u\), déduisez-en la valeur de \(I\).

Exercice 20 : Intégrales à bornes variables

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_{1/x}^{x} \frac{\ln t}{1 + t^2}\,dt\). Calculez \(F^{\prime}(x)\), puis montrez que \(F\) est nulle sur \(]0, +\infty[\).
Retrouvez ce résultat par le changement de variable \(t = 1/u\).
Pour \(x > 0\), on pose \(G(x) = \displaystyle\int_{1/x}^{x} \frac{\arctan t}{t}\,dt\). Montrez que \(G^{\prime}(x) = \dfrac{\arctan x + \arctan(1/x)}{x}\).
Rappelez la valeur de \(\arctan x + \arctan(1/x)\) pour \(x > 0\), puis exprimez \(G(x)\) à l’aide de \(\ln x\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

Le cours : calcul de primitives, cours de maths sup
À maîtriser avant : Fonctions usuelles et techniques de dérivation
Chapitre précédent : Fonctions usuelles et techniques de dérivation
Chapitre suivant : Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé

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