Espaces Lp : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Sauf mention contraire, \(\mathbb{R}\) et ses intervalles sont munis de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue \(\lambda\). On note \(\|\cdot\|_p\) la norme de \(L^p\), et \(q\) désigne l’exposant conjugué de \(p\), défini par \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\).

Exercice 1 : Fonctions égales presque partout

On travaille sur \(\mathbb{R}\) et on fixe \(p \in [1, +\infty[\).

1. Montrer que la relation « \(f = g\) presque partout » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des fonctions mesurables.
2. Montrer que \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est nulle presque partout. Que vaut sa classe dans \(L^p(\mathbb{R})\) ?
3. Soit \(f\) mesurable. Montrer que \(\int |f|^p \, d\lambda = 0\) si et seulement si \(f = 0\) presque partout. On pourra utiliser l’inégalité de Markov.
4. Montrer qu’on ne peut pas définir l’application « valeur en \(0\) » sur \(L^p(\mathbb{R})\). Montrer en revanche qu’une classe contient au plus une fonction continue.

Exercice 2 : Inégalité de Jensen sur [0,1]

On munit \([0,1]\) de la mesure de Lebesgue, qui est une probabilité.

1. Soit \(f : [0,1] \to \,]0, +\infty[\) mesurable telle que \(f\) et \(\ln f\) soient intégrables. Montrer que \(\exp(\int_0^1 \ln f) \leq\, \int_0^1 f\).
2. En déduire l’inégalité arithmético-géométrique : pour \(x_1, \ldots, x_n > 0\), \((x_1 \cdots x_n)^{1/n} \leq\, \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\).
3. Montrer que \((\int_0^1 |f|)^2 \leq\, \int_0^1 |f|^2\) pour toute \(f \in L^2([0,1])\).
4. Vérifier numériquement les deux inégalités avec \(f(x) = e^x\).

Exercice 3 : Puissances de x dans les espaces Lp

Soit \(a > 0\) et \(f_a(x) = x^{-a}\) pour \(x > 0\). La figure ci-dessous représente \(f_a\) pour trois valeurs de \(a\).

1. Déterminer les \(p \in [1, +\infty[\) tels que \(f_a \in L^p(]0,1])\).
2. Déterminer les \(p \in [1, +\infty[\) tels que \(f_a \in L^p([1, +\infty[)\).
3. La fonction \(f_a\) appartient-elle à un espace \(L^p(]0, +\infty[)\), pour \(p \in [1, +\infty]\) ? Étudier aussi \(L^\infty(]0,1])\) et \(L^\infty([1, +\infty[)\).
4. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}\,(1 + |\ln x|)}\) sur \(]0,1]\). Montrer que \(g \in L^p(]0,1])\) si et seulement si \(p \leq\, 2\).

Exercice 4 : Inégalité de Hölder sur des exemples

1. Soit \(f \in L^2([0,1])\). Montrer que \(|\int_0^1 x f(x) \, dx| \leq\, \frac{1}{\sqrt{3}} \|f\|_2\), et déterminer les cas d’égalité.
2. Soit \(f \in L^4([0,1])\). Montrer que \(\int_0^1 |f(x)|\, x^{-1/2} \, dx \leq\, 3^{3/4} \|f\|_4\).
3. Montrer qu’il existe \(f \in L^2(]0,1])\) telle que \(x \mapsto f(x)\, x^{-1/2}\) ne soit pas intégrable sur \(]0,1]\). Pourquoi l’inégalité de Hölder avec \(p = q = 2\) ne s’applique-t-elle pas ici ?

Exercice 5 : Hölder généralisée

Soit \((X, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré.

1. Soient \(p, q \in [1, +\infty]\) et \(r \geq\, 1\) tels que \(\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\). Montrer que \(\|fg\|_r \leq\, \|f\|_p \|g\|_q\) pour toutes \(f, g\) mesurables.
2. Soient \(p, q, s \in \,]1, +\infty[\) avec \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{s} = 1\). Montrer que \(\int |fgh| \, d\mu \leq\, \|f\|_p \|g\|_q \|h\|_s\).
3. Application : pour \(f, g \in L^4([0,1])\), montrer que \(\int_0^1 |f(x) g(x)| \sqrt{x} \, dx \leq\, \frac{1}{\sqrt{2}} \|f\|_4 \|g\|_4\).

Exercice 6 : Minkowski et exposants inférieurs à 1

1. Soient \(p \geq\, 1\) et \(f, g \in L^p\). Montrer que \(\big| \|f\|_p – \|g\|_p \big| \leq\, \|f – g\|_p\). Qu’en déduit-on pour l’application \(f \mapsto \|f\|_p\) ?
2. Sur \([0,1]\), on pose \(N(f) = (\int_0^1 |f|^{1/2})^2\). Calculer \(N(f)\), \(N(g)\) et \(N(f+g)\) pour \(f = \mathbf{1}_{[0, 1/2]}\) et \(g = \mathbf{1}_{]1/2, 1]}\). Conclure.
3. Soit \(p \in \,]0,1[\). Montrer que \((a + b)^p \leq\, a^p + b^p\) pour tous \(a, b \geq\, 0\). En déduire que \(d(f,g) = \int_0^1 |f – g|^p\) définit une distance sur l’ensemble des classes de fonctions mesurables \(f\) telles que \(\int_0^1 |f|^p < +\infty\).

Exercice 7 : Calcul de normes infinies

On travaille sur \([0,1]\).

1. Soit \(f(x) = x\) si \(x \notin \mathbb{Q}\) et \(f(x) = 5\) si \(x \in \mathbb{Q}\). Calculer \(\sup f\) et \(\|f\|_\infty\).
2. Calculer \(\|g\|_\infty\) pour \(g = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}} + 2 \cdot \mathbf{1}_{[0, 1/2]}\).
3. Soit \(f\) mesurable. Montrer que \(|f| \leq\, \|f\|_\infty\) presque partout.
4. Soit \(\varphi\) continue sur \(]0,1[\). Montrer que \(\|\varphi\|_\infty = \sup_{]0,1[} |\varphi|\).

Exercice 8 : Inclusions sur un espace de mesure finie

Soit \((X, \mathcal{A}, \mu)\) avec \(0 < \mu(X) < +\infty\), et soient \(1 \leq\, p < q < +\infty\).

1. À l’aide de l’inégalité de Hölder, montrer que \(\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{\frac{1}{p} – \frac{1}{q}} \|f\|_q\) pour toute \(f\) mesurable. Traiter aussi le cas \(q = +\infty\).
2. En déduire que \(L^q(\mu) \subset L^p(\mu)\), que l’injection est continue, et qu’une suite convergeant dans \(L^q\) converge dans \(L^p\).
3. On suppose \(\mu(X) = 1\). Retrouver l’inégalité \(\|f\|_p \leq\, \|f\|_q\) à l’aide de l’inégalité de Jensen.
4. Montrer que l’inclusion \(L^q([0,1]) \subset L^p([0,1])\) est stricte.

Exercice 9 : Des espaces Lp non emboîtés sur R

1. Montrer que \(f = x^{-1/2} \mathbf{1}_{]0,1]}\) appartient à \(L^1(\mathbb{R})\) mais pas à \(L^2(\mathbb{R})\).
2. Montrer que \(g = x^{-1} \mathbf{1}_{[1, +\infty[}\) appartient à \(L^2(\mathbb{R})\) mais pas à \(L^1(\mathbb{R})\).
3. Soit \(h\) définie par \(h(x) = x^{-1/3}\) sur \(]0,1]\), \(h(x) = x^{-1/2}\) sur \(]1, +\infty[\) et \(h(x) = 0\) sur \(]-\infty, 0]\). Déterminer l’ensemble des \(p \in [1, +\infty]\) tels que \(h \in L^p(\mathbb{R})\).
4. Soient \(1 \leq\, p < q < +\infty\). Construire une fonction de \(L^p(\mathbb{R}) \setminus L^q(\mathbb{R})\) et une fonction de \(L^q(\mathbb{R}) \setminus L^p(\mathbb{R})\).

Exercice 10 : Interpolation entre deux espaces Lp

Soient \(1 \leq\, p < r < q < +\infty\) et \(\theta \in \,]0,1[\) tel que \(\frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{q}\).

1. En écrivant \(|f|^r = |f|^{\theta r} |f|^{(1-\theta) r}\), montrer que \(\|f\|_r \leq\, \|f\|_p^{\theta} \|f\|_q^{1-\theta}\).
2. En déduire que \(L^p \cap L^q \subset L^r\).
3. Montrer que \(\|f\|_r \leq\, \|f\|_p^{p/r} \|f\|_\infty^{1 – p/r}\) pour \(1 \leq\, p < r < +\infty\). En déduire que \(L^1 \cap L^\infty \subset L^r\) pour tout \(r \geq\, 1\).
4. Sur \(]0,1]\), soit \(f(x) = x^{-1/3}\). Calculer \(\|f\|_1\), \(\|f\|_2\) et \(\|f\|_{3/2}\), puis vérifier l’inégalité de la question 1 avec \(p = 1\), \(q = 2\) et \(r = 3/2\).

Exercice 11 : Limite de la norme p quand p tend vers l’infini

Soit \((X, \mathcal{A}, \mu)\) avec \(0 < \mu(X) < +\infty\), et soit \(f \in L^\infty(\mu)\).

1. Montrer que \(f \in L^p\) pour tout \(p \geq\, 1\) et que \(\limsup_{p \to +\infty} \|f\|_p \leq\, \|f\|_\infty\).
2. Soit \(0 < c < \|f\|_\infty\). Montrer que \(\|f\|_p \geq\, c \, \mu(\{|f| > c\})^{1/p}\), puis que \(\liminf_{p \to +\infty} \|f\|_p \geq\, c\).
3. Conclure que \(\|f\|_p \to \|f\|_\infty\) quand \(p \to +\infty\).
4. Calculer \(\|f\|_p\) pour \(f(x) = x\) sur \([0,1]\) et vérifier le résultat.
5. Sur \(]0,1]\), soit \(g(x) = -\ln x\). Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), calculer \(\|g\|_n^n\) et montrer que \(\|g\|_n \to +\infty\). Est-ce cohérent ?

Exercice 12 : Cas d’égalité et dualité de Hölder

Soient \(p \in \,]1, +\infty[\), \(q\) son conjugué et \(f \in L^p(\mu)\) réelle, non nulle. On note \(\operatorname{sgn}(t)\) le signe de \(t\), avec \(\operatorname{sgn}(0) = 0\), et on pose \(g = |f|^{p-1} \operatorname{sgn}(f)\).

1. Montrer que \(g \in L^q\) et que \(\|g\|_q = \|f\|_p^{p-1}\).
2. Calculer \(\int f g \, d\mu\).
3. En déduire que \(\|f\|_p = \max\{ | \int f h \, d\mu | : h \in L^q, \ \|h\|_q \leq\, 1 \}\).
4. Établir la formule analogue pour \(p = 1\), avec \(h \in L^\infty\).
5. Sur \([0,1]\), soit \(f(x) = x\). Montrer que \(|\int_0^1 f h| < 1 = \|f\|_\infty\) pour tout \(h \in L^1\) avec \(\|h\|_1 \leq\, 1\), puis que la borne supérieure de ces intégrales vaut \(1\). On pourra utiliser \(h_n = n \mathbf{1}_{[1 – 1/n, 1]}\).

Exercice 13 : Convergence presque partout sans convergence en norme

Sur \([0,1]\), on pose \(f_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\) pour \(n \geq\, 1\). La figure ci-dessous représente quelques termes.

1. Montrer que \(f_n(x) \to 0\) pour tout \(x \in [0,1]\).
2. Calculer \(\|f_n\|_p\) pour \(p \in [1, +\infty[\). La suite converge-t-elle vers \(0\) dans \(L^p\) ? Peut-elle converger dans \(L^p\) vers une autre limite ?
3. Pour \(\alpha > 0\), on pose \(g_n = n^{\alpha} \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\). Pour quels \(\alpha\) a-t-on \(g_n \to 0\) dans \(L^p\) ?
4. Démontrer le théorème de convergence dominée dans \(L^p\) : si \(f_n \to f\) presque partout et \(|f_n| \leq\, G\) avec \(G \in L^p\), alors \(\|f_n – f\|_p \to 0\). Expliquer pourquoi la suite \((f_n)\) n’est dominée par aucune fonction intégrable.

Exercice 14 : La bosse glissante

Tout entier \(n \geq\, 1\) s’écrit \(n = 2^k + j\) avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(0 \leq\, j < 2^k\). On pose \(I_n = [j 2^{-k}, (j+1) 2^{-k}]\) et \(g_n = \mathbf{1}_{I_n}\) sur \([0,1]\).

1. Justifier l’unicité de l’écriture \(n = 2^k + j\). Calculer \(\|g_n\|_p\) pour \(p \in [1, +\infty[\) et montrer que \(g_n \to 0\) dans \(L^p\).
2. Montrer que, pour tout \(x \in [0,1]\), la suite \((g_n(x))\) prend une infinité de fois la valeur \(1\) et une infinité de fois la valeur \(0\).
3. Expliciter une sous-suite de \((g_n)\) qui converge vers \(0\) presque partout.
4. La suite \((g_n)\) converge-t-elle dans \(L^\infty\) ?

Exercice 15 : Sous-suite convergeant presque partout

Soient \((X, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré et \(p \in [1, +\infty[\).

1. Soit \((h_n)\) une suite de fonctions mesurables positives telle que \(S = \sum_{n} \|h_n\|_p < +\infty\). On pose \(H = \sum_{n} h_n \in [0, +\infty]\). Montrer que \(\|H\|_p \leq\, S\), puis que \(h_n \to 0\) presque partout.
2. En déduire que, si \(f_n \to f\) dans \(L^p\), il existe une application \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(f_{\varphi(k)} \to f\) presque partout.
3. Montrer qu’en outre il existe \(G \in L^p\) telle que \(|f_{\varphi(k)}| \leq\, G\) presque partout pour tout \(k\).
4. Montrer que si \(f_n \to f\) dans \(L^p\) et \(f_n \to g\) presque partout, alors \(f = g\) presque partout.

Exercice 16 : Approcher une indicatrice par des fonctions continues

Sur \(\mathbb{R}\), soit \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\). Pour \(n \geq\, 1\), soit \(\varphi_n\) la fonction nulle hors de \([-1/n, 1 + 1/n]\), égale à \(1\) sur \([0,1]\) et affine sur \([-1/n, 0]\) et sur \([1, 1 + 1/n]\).

1. Pour \(p \in [1, +\infty[\), calculer \(\|\varphi_n – f\|_p\) et montrer qu’il tend vers \(0\).
2. Montrer que \(\|\varphi – f\|_\infty \geq\, \frac{1}{2}\) pour toute fonction \(\varphi\) continue sur \(\mathbb{R}\). Conclure.
3. En déduire que toute fonction en escalier sur un segment, c’est-à-dire toute combinaison linéaire finie d’indicatrices d’intervalles bornés, est limite dans \(L^p(\mathbb{R})\) d’une suite de fonctions continues à support compact, pour \(1 \leq\, p < +\infty\).

Exercice 17 : Continuité des translations dans Lp

Soient \(p \in [1, +\infty[\) et \(f \in L^p(\mathbb{R})\). Pour \(h \in \mathbb{R}\), on pose \(\tau_h f(x) = f(x – h)\). La figure ci-dessous illustre le cas \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\).

1. Montrer que \(\tau_h\) est bien défini sur les classes et que \(\|\tau_h f\|_p = \|f\|_p\).
2. Soit \(\varphi \in C_c(\mathbb{R})\). Montrer que \(\|\tau_h \varphi – \varphi\|_p \to 0\) quand \(h \to 0\).
3. Par un argument de densité, en déduire que \(\|\tau_h f – f\|_p \to 0\) quand \(h \to 0\).
4. Montrer que le résultat est faux dans \(L^\infty(\mathbb{R})\).
5. Application : soit \(A\) un borélien avec \(0 < \lambda(A) < +\infty\). En étudiant \(u(h) = \lambda(A \cap (A + h))\), montrer que l’ensemble \(A – A = \{a – b : a, b \in A\}\) contient un intervalle \(]-\delta, \delta[\), avec \(\delta > 0\).

Exercice 18 : Lemme de Riemann-Lebesgue par densité

Pour \(f \in L^1(\mathbb{R})\) et \(\xi > 0\), on pose \(I_f(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(\xi x) \, dx\).

1. Justifier que \(I_f(\xi)\) est bien défini et que \(|I_f(\xi) – I_g(\xi)| \leq\, \|f – g\|_1\).
2. Calculer \(I_f(\xi)\) pour \(f = \mathbf{1}_{[a,b]}\), et montrer que \(I_f(\xi) \to 0\) quand \(\xi \to +\infty\).
3. En déduire que \(I_f(\xi) \to 0\) pour toute fonction en escalier, puis pour toute \(f \in L^1(\mathbb{R})\).
4. Calculer \(I_f(\xi)\) pour \(f(x) = e^{-|x|}\) et vérifier le résultat.

Exercice 19 : Convergence presque partout et convergence des normes

Soient \(p \in [1, +\infty[\), \((f_n)\) une suite de \(L^p(\mu)\) et \(f \in L^p(\mu)\). On suppose que \(f_n \to f\) presque partout et que \(\|f_n\|_p \to \|f\|_p\).

1. Montrer que \(|a – b|^p \leq\, 2^{p-1} (|a|^p + |b|^p)\) pour tous réels \(a, b\).
2. En appliquant le lemme de Fatou à \(g_n = 2^{p-1}(|f_n|^p + |f|^p) – |f_n – f|^p\), montrer que \(\|f_n – f\|_p \to 0\).
3. Montrer par un exemple que l’hypothèse \(\|f_n\|_p \to \|f\|_p\) ne peut pas être supprimée.
4. Application : soient \(f_n\) et \(f\) des densités de probabilité sur \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire positives et d’intégrale \(1\), avec \(f_n \to f\) presque partout. Montrer que \(\int |f_n – f| \to 0\).

Exercice 20 : Inégalité de Young pour la convolution

Soient \(f \in L^1(\mathbb{R})\) et \(g \in L^p(\mathbb{R})\), avec \(1 \leq\, p < +\infty\). On admet que \((x, y) \mapsto f(y) g(x – y)\) est mesurable sur \(\mathbb{R}^2\), et on utilise librement le théorème de Fubini-Tonelli.

1. On suppose \(p = 1\). Calculer \(\iint |f(y)|\,|g(x-y)| \, dy \, dx\). En déduire que \(f * g(x) = \int f(y) g(x – y) \, dy\) est défini pour presque tout \(x\) et que \(\|f * g\|_1 \leq\, \|f\|_1 \|g\|_1\).
2. On suppose \(p > 1\). En écrivant \(|f(y)| = |f(y)|^{1/q} |f(y)|^{1/p}\), montrer que pour tout \(x\), \(\int |f(y)|\,|g(x-y)| \, dy \leq\, \|f\|_1^{1/q} (\int |f(y)|\,|g(x-y)|^p \, dy)^{1/p}\).
3. En déduire que \(f * g\) est défini presque partout, appartient à \(L^p\) et vérifie \(\|f * g\|_p \leq\, \|f\|_1 \|g\|_p\).
4. Calculer \(f * g\) pour \(f = g = \mathbf{1}_{[0,1]}\), puis comparer \(\|f * g\|_2\) et \(\|f\|_1 \|g\|_2\).

Exercice 21 : Problème : les espaces de suites lp

On munit \(\mathbb{N}^*\) de la mesure de comptage. Pour \(p \in [1, +\infty[\), \(\ell^p\) est l’espace des suites réelles \(u = (u_n)_{n \geq\, 1}\) telles que \(\|u\|_p = (\sum_{n \geq\, 1} |u_n|^p)^{1/p} < +\infty\), et \(\ell^\infty\) celui des suites bornées, avec \(\|u\|_\infty = \sup_n |u_n|\).

1. Pourquoi les classes d’égalité presque partout se réduisent-elles ici à des suites ? Pourquoi la borne supérieure essentielle coïncide-t-elle avec la borne supérieure ?
2. Soient \(1 \leq\, p \leq\, q \leq\, +\infty\). Montrer que \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_p\), puis que \(\|u\|_q \leq\, \|u\|_p\). En déduire que \(\ell^p \subset \ell^q\).
3. Montrer que l’inclusion est stricte si \(p < q\), à l’aide de \(u_n = n^{-1/p}\). Comparer avec l’exercice 8 et expliquer la différence.
4. Montrer que la convergence dans \(\ell^p\) entraîne la convergence de chaque coordonnée. Pourquoi n’a-t-on pas besoin d’extraire une sous-suite ?
5. Démontrer directement que \(\ell^p\) est complet pour \(1 \leq\, p < +\infty\).
6. Montrer que les suites à support fini sont denses dans \(\ell^p\) pour \(p < +\infty\), mais pas dans \(\ell^\infty\). Vérifier que ce sont exactement les fonctions étagées intégrables.
7. Pour \(u \in \ell^2\), montrer que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{|u_n|}{n} \leq\, \frac{\pi}{\sqrt{6}} \|u\|_2\), et préciser le cas d’égalité.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : espaces Lp, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence, Complétude, espaces de Banach et point fixe
• Chapitre précédent : Mesure produit, Fubini et changement de variables
• Chapitre suivant : Groupes : quotients et actions de groupes
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3