Espaces Lp : corrigé des exercices de maths en L3.

Corrigé de l’exercice 1 : Fonctions égales presque partout

1. La relation est réflexive, car \(\{f \neq f\} = \emptyset\). Elle est symétrique, car \(\{f \neq g\} = \{g \neq f\}\). Enfin, elle est transitive. En effet, si \(f = g\) hors d’un ensemble négligeable \(N_1\) et \(g = h\) hors d’un ensemble négligeable \(N_2\), alors \(f = h\) hors de \(N_1 \cup N_2\), qui est négligeable. C’est donc une relation d’équivalence.
2. L’ensemble \(\mathbb{Q}\) est dénombrable. Par \(\sigma\)-additivité, \(\lambda(\mathbb{Q}) = \sum_{r \in \mathbb{Q}} \lambda(\{r\}) = 0\). Ainsi, \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est nulle hors de \(\mathbb{Q}\), donc presque partout. Sa classe dans \(L^p(\mathbb{R})\) est le vecteur nul.
3. Si \(f = 0\) presque partout, alors \(|f|^p = 0\) presque partout et son intégrale est nulle. Réciproquement, supposons \(\int |f|^p = 0\). Pour \(n \geq\, 1\), l’inégalité de Markov donne \(\lambda(\{|f| > 1/n\}) \leq\, n^p \int |f|^p = 0\). Or \(\{f \neq 0\} = \bigcup_{n \geq\, 1} \{|f| > 1/n\}\) est une réunion dénombrable d’ensembles négligeables. Donc \(f = 0\) presque partout.
4. Les fonctions \(f = \mathbf{1}_{\{0\}}\) et \(g = 0\) diffèrent seulement en \(0\), donc elles ont la même classe. Pourtant, \(f(0) = 1\) et \(g(0) = 0\). Par conséquent, la « valeur en \(0\) » d’une classe n’est pas définie. En revanche, soient \(f\) et \(g\) continues et égales presque partout. L’ensemble \(U = \{f \neq g\}\) est ouvert, car \(f – g\) est continue. S’il n’était pas vide, il contiendrait un intervalle \(]a, b[\) avec \(a < b\), de mesure \(b – a > 0\). Ainsi, \(U\) est un ouvert négligeable, donc vide. Une classe contient au plus une fonction continue.

Point de méthode : pour prouver qu’une propriété vaut presque partout, on écrit l’ensemble exceptionnel comme une réunion dénombrable d’ensembles négligeables.

Corrigé de l’exercice 2 : Inégalité de Jensen sur [0,1]

1. La mesure de Lebesgue sur \([0,1]\) est une probabilité. La fonction \(g = \ln f\) est intégrable et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), et \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). L’inégalité de Jensen donne alors \(\exp(\int_0^1 \ln f) \leq\, \int_0^1 \exp(\ln f) = \int_0^1 f\). C’est l’inégalité demandée.
2. On pose \(f = x_i\) sur \([\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}[\) pour \(1 \leq\, i \leq\, n\), et \(f(1) = x_n\). Cette fonction étagée est strictement positive et bornée, et \(\ln f\) est bornée. Ainsi, les deux fonctions sont intégrables. De plus, \(\int_0^1 \ln f = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i\) et \(\int_0^1 f = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\). La question 1 donne donc
   \[\exp(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i) = (x_1 \cdots x_n)^{1/n} \leq\, \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.\]
   C’est l’inégalité arithmético-géométrique.
3. D’abord, \(|f| \in L^1([0,1])\), car \(L^2([0,1]) \subset L^1([0,1])\) sur un espace de mesure finie. Ensuite, \(\varphi(t) = t^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Par l’inégalité de Jensen, \((\int_0^1 |f|)^2 \leq\, \int_0^1 |f|^2\).
4. Avec \(f(x) = e^x\), on a \(\ln f(x) = x\), donc \(\exp(\int_0^1 x \, dx) = e^{1/2} \approx 1{,}649\). Par ailleurs, \(\int_0^1 e^x \, dx = e – 1 \approx 1{,}718\). De même, \((e-1)^2 \approx 2{,}952\) et \(\int_0^1 e^{2x} \, dx = \frac{e^2 – 1}{2} \approx 3{,}195\). Les deux inégalités sont bien vérifiées : \(1{,}649 \leq\, 1{,}718\) et \(2{,}952 \leq\, 3{,}195\).

Corrigé de l’exercice 3 : Puissances de x dans les espaces Lp

1. On a \(|f_a|^p = x^{-ap}\). Or l’intégrale \(\int_0^1 x^{-\alpha} \, dx\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\). Ainsi, \(f_a \in L^p(]0,1])\) si et seulement si \(ap < 1\), c’est-à-dire \(p < 1/a\). Si \(a \geq\, 1\), aucun \(p \geq\, 1\) ne convient.
2. De même, \(\int_1^{+\infty} x^{-\alpha} \, dx\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). Donc \(f_a \in L^p([1, +\infty[)\) si et seulement si \(p > 1/a\).
3. Pour \(p < +\infty\), il faudrait à la fois \(ap < 1\) et \(ap > 1\), ce qui est impossible. Pour \(p = +\infty\), étudions \(]0,1]\). Pour tout \(C > 0\), l’ensemble \(\{f_a > C\}\) contient \(]0, \min(1, C^{-1/a})[\), qui est de mesure strictement positive. Donc \(\|f_a\|_{L^\infty(]0,1])} = +\infty\). En revanche, \(0 < f_a \leq\, 1\) sur \([1, +\infty[\) et \(f_a\) est continue, donc \(\|f_a\|_{L^\infty([1,+\infty[)} = 1\). Ainsi, \(f_a\) n’appartient à aucun espace \(L^p(]0, +\infty[)\), pour \(p \in [1, +\infty]\).
4. On effectue le changement de variable \(x = e^{-u}\), avec \(u \in [0, +\infty[\) et \(dx = -e^{-u} \, du\). Comme \(|\ln x| = u\), on obtient
   \[\int_0^1 g(x)^p \, dx = \int_0^{+\infty} \frac{e^{pu/2}}{(1+u)^p} \, e^{-u} \, du = \int_0^{+\infty} \frac{e^{(p/2 – 1) u}}{(1 + u)^p} \, du.\]
   Si \(p = 2\), l’intégrale vaut \(\int_0^{+\infty} (1+u)^{-2} \, du = 1\). Si \(p < 2\), l’intégrande est majorée par \(e^{(p/2-1) u}\), qui est intégrable. Si \(p > 2\), l’exponentielle l’emporte sur la puissance : l’intégrande tend vers \(+\infty\), et l’intégrale diverge. Enfin, \(g\) tend vers \(+\infty\) en \(0\), donc \(g \notin L^\infty\). Finalement, \(g \in L^p(]0,1])\) si et seulement si \(p \leq\, 2\), et \(\|g\|_2 = 1\).

Point de méthode : le facteur logarithmique permet d’obtenir une fonction qui appartient à \(L^p\) exactement jusqu’à l’exposant critique, bornes comprises.

Corrigé de l’exercice 4 : Inégalité de Hölder sur des exemples

1. L’inégalité de Cauchy-Schwarz, cas \(p = q = 2\) de Hölder, donne \(|\int_0^1 x f(x) \, dx| \leq\, (\int_0^1 x^2 \, dx)^{1/2} \|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \|f\|_2\). Dans l’espace préhilbertien \(L^2([0,1])\), l’égalité dans Cauchy-Schwarz a lieu si et seulement si les deux vecteurs sont liés. Vérifions : pour \(f(x) = cx\), on a \(|\int_0^1 c x^2 \, dx| = \frac{|c|}{3}\) et \(\frac{1}{\sqrt{3}} \|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{|c|}{\sqrt{3}} = \frac{|c|}{3}\). L’égalité a lieu si et seulement si \(f(x) = cx\) presque partout, pour une constante \(c\).
2. On applique Hölder avec \(p = 4\) et \(q = 4/3\) au produit \(|f| \cdot x^{-1/2}\). Or \((x^{-1/2})^{4/3} = x^{-2/3}\) et \(\int_0^1 x^{-2/3} \, dx = 3\). Donc \(\|x^{-1/2}\|_{4/3} = 3^{3/4}\). Par conséquent, \(\int_0^1 |f(x)|\, x^{-1/2} \, dx \leq\, 3^{3/4} \|f\|_4\).
3. Prenons la fonction \(g\) de l’exercice 3, qui appartient à \(L^2(]0,1])\). Alors \(g(x) x^{-1/2} = \frac{1}{x (1 + |\ln x|)}\). Avec \(x = e^{-u}\), on obtient \(\int_0^1 \frac{dx}{x(1+|\ln x|)} = \int_0^{+\infty} \frac{du}{1+u} = +\infty\). Le produit n’est donc pas intégrable. Ce n’est pas contradictoire : \(x^{-1/2} \notin L^2(]0,1])\), car \(\int_0^1 x^{-1} \, dx = +\infty\). L’inégalité de Hölder ne fournit alors que la majoration triviale par \(+\infty\).

Corrigé de l’exercice 5 : Hölder généralisée

1. Si \(q = +\infty\), alors \(r = p\) et \(|fg| \leq\, |f| \, \|g\|_\infty\) presque partout. On intègre la puissance \(r\) et on obtient le résultat. Le cas \(p = +\infty\) est symétrique. Supposons donc \(p, q < +\infty\). Alors \(P = p/r\) et \(Q = q/r\) vérifient \(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} = r(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}) = 1\). Ce sont donc des exposants conjugués de \(]1, +\infty[\). L’inégalité de Hölder appliquée à \(|f|^r\) et \(|g|^r\) donne
   \[\int |f|^r |g|^r \leq\, (\int |f|^p)^{r/p} (\int |g|^q)^{r/q}.\]
   En élevant à la puissance \(1/r\), on obtient \(\|fg\|_r \leq\, \|f\|_p \|g\|_q\).
2. On définit \(r\) par \(\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 – \frac{1}{s}\). Ainsi, \(r > 1\) et \(r\) est le conjugué de \(s\). D’après Hölder, puis la question 1, \(\int |fgh| \leq\, \|fg\|_r \|h\|_s \leq\, \|f\|_p \|g\|_q \|h\|_s\).
3. On a \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1\). De plus, \(\|\sqrt{x}\|_2 = (\int_0^1 x \, dx)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). La question 2 donne donc \(\int_0^1 |f g| \sqrt{x} \, dx \leq\, \frac{1}{\sqrt{2}} \|f\|_4 \|g\|_4\). Au passage, la question 1 avec \(\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\) montre que \(fg \in L^2\).

Corrigé de l’exercice 6 : Minkowski et exposants inférieurs à 1

1. D’après Minkowski, \(\|f\|_p = \|(f – g) + g\|_p \leq\, \|f – g\|_p + \|g\|_p\). De même, en échangeant les rôles, \(\|g\|_p \leq\, \|g – f\|_p + \|f\|_p\). Ainsi, \(\big| \|f\|_p – \|g\|_p \big| \leq\, \|f – g\|_p\), et l’application \(f \mapsto \|f\|_p\) est 1-lipschitzienne, donc continue.
2. On a \(\int_0^1 |f|^{1/2} = \frac{1}{2}\), donc \(N(f) = \frac{1}{4}\). De même, \(N(g) = \frac{1}{4}\). Or \(f + g = 1\) sur \([0,1]\), donc \(N(f + g) = 1\). Par conséquent, \(N(f+g) = 1 > \frac{1}{2} = N(f) + N(g)\). L’inégalité triangulaire est fausse : \(N\) n’est pas une norme.
3. Si \(a = 0\), l’inégalité est une égalité. Sinon, on pose \(t = b/a \geq\, 0\) et \(k(t) = 1 + t^p – (1+t)^p\). D’une part, \(k(0) = 0\). D’autre part, pour \(t > 0\), \(k^{\prime}(t) = p(t^{p-1} – (1+t)^{p-1}) \geq\, 0\), car \(p – 1 < 0\) et \(t < 1 + t\). Donc \(k \geq\, 0\), et en multipliant par \(a^p\), on obtient \((a+b)^p \leq\, a^p + b^p\). Montrons ensuite que \(d\) est une distance. D’abord, \(d(f,g)\) est finie, car \(|f – g|^p \leq\, |f|^p + |g|^p\). Ensuite, \(d(f,g) = 0\) équivaut à \(f = g\) presque partout, comme dans l’exercice 1. La symétrie est claire. Enfin, \(|f – h| \leq\, |f – g| + |g – h|\) et la croissance de \(t \mapsto t^p\) donnent \(|f-h|^p \leq\, |f-g|^p + |g-h|^p\). En intégrant, \(d(f,h) \leq\, d(f,g) + d(g,h)\) : \(d\) est une distance.

Corrigé de l’exercice 7 : Calcul de normes infinies

1. Clairement, \(\sup f = 5\). Cependant, \(f\) coïncide avec \(x \mapsto x\) hors de \(\mathbb{Q}\), donc presque partout. Ainsi, \(f \leq\, 1\) presque partout, et \(\|f\|_\infty \leq\, 1\). Inversement, pour \(c < 1\), l’ensemble \(\{f > c\}\) contient \(]\max(c, 0), 1] \setminus \mathbb{Q}\), de mesure \(1 – \max(c,0) > 0\). Donc \(\|f\|_\infty \geq\, c\) pour tout \(c < 1\). Finalement, \(\sup f = 5\) et \(\|f\|_\infty = 1\).
2. La fonction \(g\) coïncide presque partout avec \(2 \cdot \mathbf{1}_{[0, 1/2]}\). Or cette dernière vaut \(2\) sur un ensemble de mesure \(\frac{1}{2}\) et \(0\) ailleurs. Donc \(\|g\|_\infty = 2\), alors que \(\sup g = 3\).
3. Si \(\|f\|_\infty = +\infty\), il n’y a rien à prouver. Sinon, par définition de la borne inférieure, pour tout \(n \geq\, 1\) il existe \(C_n < \|f\|_\infty + 1/n\) avec \(|f| \leq\, C_n\) presque partout. Ainsi, \(A_n = \{|f| > \|f\|_\infty + 1/n\}\) est négligeable. Donc \(\{|f| > \|f\|_\infty\} = \bigcup_n A_n\) est négligeable, et \(|f| \leq\, \|f\|_\infty\) presque partout.
4. D’abord, \(|\varphi| \leq\, \sup |\varphi|\) partout, donc \(\|\varphi\|_\infty \leq\, \sup |\varphi|\). Ensuite, soit \(c < \sup |\varphi|\). Il existe \(x_0\) avec \(|\varphi(x_0)| > c\). Par continuité, \(|\varphi| > c\) sur un intervalle \(]x_0 – \delta, x_0 + \delta[\) inclus dans \(]0,1[\), de mesure \(2\delta > 0\). Donc \(\|\varphi\|_\infty \geq\, c\). Ainsi, \(\|\varphi\|_\infty = \sup_{]0,1[} |\varphi|\).

Corrigé de l’exercice 8 : Inclusions sur un espace de mesure finie

1. On peut supposer \(\|f\|_q < +\infty\). On applique Hölder à \(|f|^p \cdot 1\) avec l’exposant \(P = q/p > 1\) et son conjugué \(Q = \frac{q}{q – p}\) :
   \[\int |f|^p \leq\, (\int |f|^q)^{p/q} (\int 1)^{1 – p/q} = \|f\|_q^p \, \mu(X)^{1 – p/q}.\]
   En élevant à la puissance \(1/p\), on obtient \(\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{\frac{1}{p} – \frac{1}{q}} \|f\|_q\). Pour \(q = +\infty\), on intègre \(|f|^p \leq\, \|f\|_\infty^p\), valable presque partout. Ainsi, \(\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{1/p} \|f\|_\infty\), ce qui correspond à la formule avec \(\frac{1}{q} = 0\).
2. Si \(f \in L^q\), la question 1 montre que \(\|f\|_p < +\infty\). L’injection \(L^q \to L^p\) est linéaire et vérifie \(\|f\|_p \leq\, C \|f\|_q\), avec \(C = \mu(X)^{1/p – 1/q}\). Elle est donc continue. En particulier, \(\|f_n – f\|_p \leq\, C \|f_n – f\|_q\), donc la convergence dans \(L^q\) entraîne la convergence dans \(L^p\).
3. Soit \(f \in L^q\). D’après la question 2, \(|f|^p\) est intégrable. La fonction \(\varphi(t) = |t|^{q/p}\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), car \(q/p > 1\). Par l’inégalité de Jensen, \((\int |f|^p)^{q/p} \leq\, \int |f|^q\). En élevant à la puissance \(1/q\), on retrouve \(\|f\|_p \leq\, \|f\|_q\).
4. Soit \(f(x) = x^{-1/q}\) sur \(]0,1]\). Comme \(p/q < 1\), l’intégrale \(\int_0^1 x^{-p/q} \, dx\) converge, donc \(f \in L^p\). En revanche, \(\int_0^1 x^{-1} \, dx = +\infty\), donc \(f \notin L^q\). L’inclusion \(L^q([0,1]) \subset L^p([0,1])\) est stricte.

Corrigé de l’exercice 9 : Des espaces Lp non emboîtés sur R

1. On a \(\int_0^1 x^{-1/2} \, dx = 2\), donc \(f \in L^1(\mathbb{R})\). En revanche, \(\int_0^1 x^{-1} \, dx = +\infty\). Donc \(f \in L^1(\mathbb{R}) \setminus L^2(\mathbb{R})\).
2. On a \(\int_1^{+\infty} x^{-2} \, dx = 1\), donc \(g \in L^2(\mathbb{R})\). En revanche, \(\int_1^{+\infty} x^{-1} \, dx = +\infty\). Donc \(g \in L^2(\mathbb{R}) \setminus L^1(\mathbb{R})\).
3. Pour \(p < +\infty\), on découpe l’intégrale : \(\int_{\mathbb{R}} h^p = \int_0^1 x^{-p/3} \, dx + \int_1^{+\infty} x^{-p/2} \, dx\). La première intégrale converge si et seulement si \(p/3 < 1\), soit \(p < 3\). La seconde converge si et seulement si \(p/2 > 1\), soit \(p > 2\). Par ailleurs, \(h\) n’est pas essentiellement bornée, car \(h > C\) sur \(]0, \min(1, C^{-3})[\). La figure ci-dessous montre les deux régimes. Ainsi, \(h \in L^p(\mathbb{R})\) si et seulement si \(2 < p < 3\).

4. Posons \(u = x^{-1/q} \mathbf{1}_{]0,1]}\). Comme \(p/q < 1\), on a \(\int u^p = \int_0^1 x^{-p/q} \, dx < +\infty\), tandis que \(\int u^q = \int_0^1 x^{-1} \, dx = +\infty\). Ensuite, posons \(v = x^{-1/p} \mathbf{1}_{[1, +\infty[}\). Comme \(q/p > 1\), on a \(\int v^q = \int_1^{+\infty} x^{-q/p} \, dx < +\infty\), tandis que \(\int v^p = \int_1^{+\infty} x^{-1} \, dx = +\infty\). Donc \(u \in L^p \setminus L^q\) et \(v \in L^q \setminus L^p\) : aucune inclusion n’a lieu.

Corrigé de l’exercice 10 : Interpolation entre deux espaces Lp

1. Si \(\|f\|_p\) ou \(\|f\|_q\) est nulle, alors \(f = 0\) presque partout et tout est nul. Si l’une est infinie, il n’y a rien à prouver. On suppose donc ces normes finies et non nulles. On pose \(P = \frac{p}{\theta r}\) et \(Q = \frac{q}{(1 – \theta) r}\). Alors \(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} = r (\frac{\theta}{p} + \frac{1 – \theta}{q}) = 1\). Ce sont donc des exposants conjugués de \(]1, +\infty[\). L’inégalité de Hölder donne
   \[\int |f|^r \leq\, (\int |f|^{p})^{\theta r / p} (\int |f|^{q})^{(1-\theta) r / q} = \|f\|_p^{\theta r} \, \|f\|_q^{(1 – \theta) r}.\]
   En élevant à la puissance \(1/r\), on obtient \(\|f\|_r \leq\, \|f\|_p^{\theta} \|f\|_q^{1-\theta}\).
2. Si \(f \in L^p \cap L^q\), le membre de droite est fini. Donc \(f \in L^r\), et \(L^p \cap L^q \subset L^r\).
3. Presque partout, \(|f|^r = |f|^p |f|^{r-p} \leq\, \|f\|_\infty^{r-p} |f|^p\). En intégrant, \(\|f\|_r^r \leq\, \|f\|_\infty^{r-p} \|f\|_p^p\). Donc \(\|f\|_r \leq\, \|f\|_p^{p/r} \|f\|_\infty^{1 – p/r}\). Avec \(p = 1\), on obtient \(L^1 \cap L^\infty \subset L^r\) pour tout \(r \geq\, 1\).
4. On a \(\|f\|_1 = \int_0^1 x^{-1/3} \, dx = \frac{3}{2}\). Ensuite, \(\|f\|_2^2 = \int_0^1 x^{-2/3} \, dx = 3\), donc \(\|f\|_2 = \sqrt{3}\). De même, \(\|f\|_{3/2}^{3/2} = \int_0^1 x^{-1/2} \, dx = 2\), donc \(\|f\|_{3/2} = 2^{2/3} \approx 1{,}587\). Ensuite, \(\frac{2}{3} = \frac{\theta}{1} + \frac{1 – \theta}{2}\) donne \(\theta = \frac{1}{3}\). Le majorant vaut alors \((\frac{3}{2})^{1/3} (\sqrt{3})^{2/3} = (\frac{9}{2})^{1/3} \approx 1{,}651\). On a bien \(1{,}587 \leq\, 1{,}651\).

Autrement dit, la fonction \(t \mapsto \ln \|f\|_{1/t}\) est convexe : c’est la log-convexité des normes \(L^p\). Pour ce \(f\), on a \(\|f\|_r^r = \frac{3}{3 – r}\) pour \(r < 3\). Comme le montre la figure ci-dessous, le point de la courbe en \(t = 2/3\) est sous la corde.

Corrigé de l’exercice 11 : Limite de la norme p quand p tend vers l’infini

1. Presque partout, \(|f|^p \leq\, \|f\|_\infty^p\). En intégrant, \(\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{1/p} \|f\|_\infty < +\infty\), donc \(f \in L^p\). Or \(\mu(X)^{1/p} = \exp(\frac{\ln \mu(X)}{p}) \to 1\). Donc \(\limsup_{p \to +\infty} \|f\|_p \leq\, \|f\|_\infty\).
2. Soit \(A_c = \{|f| > c\}\). Si \(\mu(A_c) = 0\), on aurait \(|f| \leq\, c\) presque partout, puis \(\|f\|_\infty \leq\, c\), ce qui est exclu. Donc \(\mu(A_c) > 0\). Ensuite, \(|f|^p \geq\, c^p \mathbf{1}_{A_c}\), d’où \(\|f\|_p \geq\, c \, \mu(A_c)^{1/p}\). Comme \(0 < \mu(A_c) < +\infty\), on a \(\mu(A_c)^{1/p} \to 1\). Donc \(\liminf_{p \to +\infty} \|f\|_p \geq\, c\).
3. Si \(\|f\|_\infty = 0\), alors \(f = 0\) presque partout, et toutes les normes sont nulles. Sinon, la question 2 vaut pour tout \(c < \|f\|_\infty\), donc \(\liminf \|f\|_p \geq\, \|f\|_\infty \geq\, \limsup \|f\|_p\). Ainsi, \(\|f\|_p \to \|f\|_\infty\).
4. On a \(\int_0^1 x^p \, dx = \frac{1}{p+1}\), donc \(\|f\|_p = (p+1)^{-1/p} = \exp(-\frac{\ln(p+1)}{p})\). Cette quantité tend vers \(1\). Or \(f\) est continue et \(\sup_{]0,1[} f = 1\), donc \(\|f\|_\infty = 1\) d’après l’exercice 7. Le résultat est vérifié, comme le montre la figure ci-dessous.

5. Avec \(x = e^{-u}\), on obtient \(\|g\|_n^n = \int_0^1 (-\ln x)^n \, dx = \int_0^{+\infty} u^n e^{-u} \, du\). Une intégration par parties montre que cette intégrale \(J_n\) vérifie \(J_n = n J_{n-1}\), avec \(J_0 = 1\). Donc \(\|g\|_n^n = n!\). Par ailleurs, \(e^n = \sum_k \frac{n^k}{k!} \geq\, \frac{n^n}{n!}\), d’où \(n! \geq\, (n/e)^n\). Ainsi, \(\|g\|_n = (n!)^{1/n} \geq\, \frac{n}{e} \to +\infty\). C’est cohérent : \(g\) est continue et tend vers \(+\infty\) en \(0\), donc \(\|g\|_\infty = +\infty\). Le résultat s’étend ainsi aux fonctions non bornées.

Corrigé de l’exercice 12 : Cas d’égalité et dualité de Hölder

1. On a \(|g|^q = |f|^{(p-1) q}\). Or \((p-1) q = (p-1) \cdot \frac{p}{p-1} = p\). Donc \(\int |g|^q = \|f\|_p^p < +\infty\), et \(g \in L^q\). De plus, \(\|g\|_q = \|f\|_p^{p/q} = \|f\|_p^{p-1}\), car \(p/q = p – 1\).
2. En tout point, \(f \operatorname{sgn}(f) = |f|\), donc \(fg = |f|^{p-1} |f| = |f|^p\). Ainsi, \(\int fg \, d\mu = \|f\|_p^p\).
3. D’une part, pour \(\|h\|_q \leq\, 1\), l’inégalité de Hölder donne \(|\int fh| \leq\, \|f\|_p \|h\|_q \leq\, \|f\|_p\). D’autre part, \(h_0 = g / \|g\|_q\) est de norme \(1\), et \(\int f h_0 = \frac{\|f\|_p^p}{\|f\|_p^{p-1}} = \|f\|_p\). La borne supérieure vaut donc \(\|f\|_p\), et elle est atteinte en \(h_0\).
4. Pour \(p = 1\), on prend \(h = \operatorname{sgn}(f)\), qui vérifie \(\|h\|_\infty \leq\, 1\) et \(\int fh = \int |f| = \|f\|_1\). Inversement, \(|\int fh| \leq\, \|f\|_1 \|h\|_\infty\). Donc \(\|f\|_1 = \max\{ |\int fh| : \|h\|_\infty \leq\, 1 \}\).
5. Soit \(h\) avec \(\|h\|_1 \leq\, 1\). On a \(|\int_0^1 xh| \leq\, \int_0^1 x|h|\). Supposons \(\int_0^1 x |h| = 1\). Alors \(\int_0^1 (1-x)|h| = \int |h| – \int x |h| \leq\, 0\). Comme \((1-x)|h| \geq\, 0\), on aurait \((1-x)|h| = 0\) presque partout, donc \(h = 0\) presque partout, ce qui contredit \(\int x|h| = 1\). Ainsi, \(|\int_0^1 xh| < 1\). Ensuite, \(h_n = n \mathbf{1}_{[1 – 1/n, 1]}\) vérifie \(\|h_n\|_1 = 1\) et
   \[\int_0^1 x h_n(x) \, dx = n \cdot \frac{1 – (1 – 1/n)^2}{2} = 1 – \frac{1}{2n}.\]
   La borne supérieure vaut donc \(1 = \|f\|_\infty\), mais elle n’est pas atteinte.

Corrigé de l’exercice 13 : Convergence presque partout sans convergence en norme

1. En \(x = 0\), on a \(f_n(0) = 0\) pour tout \(n\). Pour \(x \in \,]0,1]\), dès que \(n > 1/x\), on a \(x \notin \,]0, 1/n]\), donc \(f_n(x) = 0\). Ainsi, \(f_n(x) \to 0\) pour tout \(x \in [0,1]\).
2. On a \(\|f_n\|_p^p = n^p \cdot \frac{1}{n} = n^{p-1}\), donc \(\|f_n\|_p = n^{1 – 1/p}\). Pour \(p = 1\), cette norme vaut \(1\), et pour \(p > 1\), elle tend vers \(+\infty\). Donc \((f_n)\) ne tend pas vers \(0\) dans \(L^p\). Supposons maintenant que \(f_n \to f\) dans \(L^p\). D’après le théorème de Riesz-Fischer, une sous-suite converge presque partout vers \(f\). Or elle converge aussi vers \(0\), donc \(f = 0\) presque partout. C’est absurde. La suite ne converge dans aucun \(L^p\).
3. On a \(\|g_n\|_p = n^{\alpha} \cdot n^{-1/p} = n^{\alpha – 1/p}\). Donc \(g_n \to 0\) dans \(L^p\) si et seulement si \(\alpha < 1/p\).
4. Par passage à la limite dans \(|f_n| \leq\, G\), on obtient \(|f| \leq\, G\) presque partout. Donc \(|f_n – f|^p \leq\, (2G)^p\), fonction intégrable. De plus, \(|f_n – f|^p \to 0\) presque partout. Le théorème de convergence dominée donne alors \(\int |f_n – f|^p \to 0\). Pour notre suite, une fonction dominante devrait majorer \(\sup_n f_n\). Or, pour \(x \in \,]0,1]\), \(\sup_n f_n(x) = \lfloor 1/x \rfloor \geq\, \frac{1}{x} – 1\). Cette fonction n’est pas intégrable sur \(]0,1]\), donc aucune domination n’est possible.

Corrigé de l’exercice 14 : La bosse glissante

1. L’écriture impose \(2^k \leq\, n < 2^{k+1}\), donc \(k = \lfloor \log_2 n \rfloor\) est unique, puis \(j = n – 2^k\). Ensuite, \(\|g_n\|_p^p = \lambda(I_n) = 2^{-k}\), donc \(\|g_n\|_p = 2^{-k/p}\). Quand \(n \to +\infty\), on a \(k \to +\infty\). Ainsi, \(g_n \to 0\) dans \(L^p\).
2. Fixons \(x \in [0,1]\) et \(k \geq\, 2\). Les intervalles \([j 2^{-k}, (j+1) 2^{-k}]\), pour \(0 \leq\, j < 2^k\), recouvrent \([0,1]\). Donc il existe \(n \in [2^k, 2^{k+1}[\) avec \(g_n(x) = 1\). De plus, \(x\) appartient à au plus deux de ces intervalles, alors qu’il y en a \(2^k \geq\, 4\). Donc il existe aussi \(n \in [2^k, 2^{k+1}[\) avec \(g_n(x) = 0\). Chaque valeur est prise une infinité de fois, donc \((g_n(x))\) ne converge en aucun point.
3. Prenons \(n_k = 2^k\), c’est-à-dire \(j = 0\). Alors \(g_{2^k} = \mathbf{1}_{[0, 2^{-k}]}\). Pour \(x > 0\), dès que \(2^{-k} < x\), on a \(g_{2^k}(x) = 0\). La sous-suite \((g_{2^k})\) converge vers \(0\) en tout point de \(]0,1]\), donc presque partout.
4. On a \(\|g_n\|_\infty = 1\) pour tout \(n\), car \(I_n\) est de mesure strictement positive. Si \((g_n)\) convergeait dans \(L^\infty\), elle convergerait dans \(L^1\), car \([0,1]\) est de mesure finie, donc vers \(0\). C’est impossible : la suite ne converge pas dans \(L^\infty\).

Corrigé de l’exercice 15 : Sous-suite convergeant presque partout

1. Soit \(H_N = \sum_{n \leq\, N} h_n\). Par l’inégalité de Minkowski, \(\|H_N\|_p \leq\, \sum_{n \leq\, N} \|h_n\|_p \leq\, S\). Ensuite, \(H_N^p\) croît vers \(H^p\). Le théorème de convergence monotone donne donc \(\int H^p = \lim_N \int H_N^p \leq\, S^p\). Ainsi, \(\|H\|_p \leq\, S\), et \(H\) est finie presque partout. En un point où \(H(x) < +\infty\), la série \(\sum h_n(x)\) converge. Donc son terme général \(h_n(x)\) tend vers \(0\) presque partout.
2. On construit \(\varphi\) par récurrence. Pour \(k \geq\, 1\), il existe un rang \(N_k\) tel que \(\|f_n – f\|_p \leq\, 2^{-k}\) pour \(n \geq\, N_k\). On pose \(\varphi(k) = \max(N_k, \varphi(k-1) + 1)\). Alors \(\varphi\) est strictement croissante et \(h_k = |f_{\varphi(k)} – f|\) vérifie \(\sum_k \|h_k\|_p \leq\, 1\). D’après la question 1, \(f_{\varphi(k)} \to f\) presque partout.
3. Soit \(H = \sum_k |f_{\varphi(k)} – f|\). On a \(\|H\|_p \leq\, 1\) d’après la question 1. De plus, \(|f_{\varphi(k)}| \leq\, |f| + |f_{\varphi(k)} – f| \leq\, |f| + H\). Ainsi, \(G = |f| + H\) convient, avec \(\|G\|_p \leq\, \|f\|_p + 1\).
4. La sous-suite \((f_{\varphi(k)})\) converge vers \(f\) hors d’un ensemble négligeable \(N_1\). Elle converge aussi vers \(g\) hors d’un ensemble négligeable \(N_2\), comme suite extraite. Par unicité de la limite dans \(\mathbb{R}\), \(f = g\) hors de \(N_1 \cup N_2\), donc presque partout.

Corrigé de l’exercice 16 : Approcher une indicatrice par des fonctions continues

1. Sur \([-1/n, 0]\), on a \(\varphi_n(x) = 1 + nx\) et \(f(x) = 0\), sauf en \(0\) où les deux valent \(1\). Avec \(t = 1 + nx\), on obtient \(\int_{-1/n}^{0} (1 + nx)^p \, dx = \frac{1}{n} \int_0^1 t^p \, dt = \frac{1}{n(p+1)}\). Par symétrie, la contribution de \([1, 1 + 1/n]\) est la même. Ailleurs, \(\varphi_n = f\). Donc \(\|\varphi_n – f\|_p = (\frac{2}{n(p+1)})^{1/p} \to 0\).
2. Supposons par l’absurde que \(c = \|\varphi – f\|_\infty < \frac{1}{2}\). D’après l’exercice 7, \(|\varphi – f| \leq\, c\) presque partout. Donc \(\varphi \geq\, 1 – c\) presque partout sur \(]0,1[\). L’ensemble \(\{x \in \,]0,1[ : \varphi(x) < 1 – c\}\) est ouvert par continuité, et négligeable. Il est donc vide, et \(\varphi \geq\, 1 – c\) sur \(]0,1[\). Par continuité en \(0\), \(\varphi(0) \geq\, 1 – c\). De même, \(\varphi \leq\, c\) sur \(]-1, 0[\), donc \(\varphi(0) \leq\, c\). On obtient \(1 – c \leq\, c\), soit \(c \geq\, \frac{1}{2}\) : contradiction. Ainsi, \(\|\varphi – f\|_\infty \geq\, \frac{1}{2}\), et \(C_c(\mathbb{R})\) n’est pas dense dans \(L^\infty(\mathbb{R})\).
3. Pour un intervalle borné d’extrémités \(a < b\), on construit de même le trapèze \(\varphi_n^{a,b}\), égal à \(1\) sur \([a,b]\), nul hors de \([a – 1/n, b + 1/n]\). Le calcul de la question 1 donne encore \(\|\varphi_n^{a,b} – \mathbf{1}_{[a,b]}\|_p^p = \frac{2}{n(p+1)}\). Les extrémités, ouvertes ou fermées, forment un ensemble négligeable. Soit maintenant \(s = \sum_{i=1}^m c_i \mathbf{1}_{J_i}\) en escalier. On pose \(\psi_n = \sum_i c_i \varphi_n^{J_i}\), qui est continue à support compact. Par Minkowski, \(\|s – \psi_n\|_p \leq\, (\sum_i |c_i|) (\frac{2}{n(p+1)})^{1/p}\). Donc \(\psi_n \to s\) dans \(L^p(\mathbb{R})\).

Corrigé de l’exercice 17 : Continuité des translations dans Lp

1. Si \(f = g\) hors d’un ensemble négligeable \(N\), alors \(\tau_h f = \tau_h g\) hors de \(N + h\). Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation, donc \(\lambda(N + h) = 0\). Ainsi, \(\tau_h\) est bien défini sur les classes. De plus, par la même invariance, \(\int |f(x – h)|^p \, dx = \int |f(x)|^p \, dx\), soit \(\|\tau_h f\|_p = \|f\|_p\).
2. Soit \(A > 0\) tel que \(\varphi\) soit nulle hors de \([-A, A]\). Par le théorème de Heine, \(\varphi\) est uniformément continue. Ainsi, \(\omega(\delta) = \sup\{|\varphi(x) – \varphi(y)| : |x – y| \leq\, \delta\}\) tend vers \(0\) quand \(\delta \to 0\). Pour \(|h| \leq\, 1\), la fonction \(\tau_h \varphi – \varphi\) est nulle hors de \([-A-1, A+1]\) et majorée par \(\omega(|h|)\) en module. Donc \(\|\tau_h \varphi – \varphi\|_p \leq\, (2A + 2)^{1/p} \, \omega(|h|) \to 0\).
3. Soit \(\varepsilon > 0\). Par densité de \(C_c(\mathbb{R})\) dans \(L^p(\mathbb{R})\), il existe \(\varphi \in C_c(\mathbb{R})\) avec \(\|f – \varphi\|_p \leq\, \varepsilon\). Par Minkowski et la question 1,
   \[\|\tau_h f – f\|_p \leq\, \|\tau_h (f – \varphi)\|_p + \|\tau_h \varphi – \varphi\|_p + \|\varphi – f\|_p \leq\, 2 \varepsilon + \|\tau_h \varphi – \varphi\|_p.\]
   D’après la question 2, \(\limsup_{h \to 0} \|\tau_h f – f\|_p \leq\, 2\varepsilon\). Comme \(\varepsilon\) est arbitraire, \(\|\tau_h f – f\|_p \to 0\).
4. Prenons \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\) et \(0 < h < 1\). Alors \(\tau_h f = \mathbf{1}_{[h, 1 + h]}\). La différence vaut \(-1\) sur \([0, h[\), \(1\) sur \(]1, 1 + h]\), et \(0\) ailleurs. Elle est donc de module \(1\) sur un ensemble de mesure \(2h > 0\). Ainsi, \(\|\tau_h f – f\|_\infty = 1\) pour tout \(h \in \,]0,1[\), et la propriété est fausse dans \(L^\infty\). On retrouve ainsi la situation de la figure de l’énoncé.
5. On a \(\tau_h \mathbf{1}_A = \mathbf{1}_{A + h}\), donc \(u(h) = \int \mathbf{1}_A \, \tau_h \mathbf{1}_A\). Comme \(\lambda(A) < +\infty\), la fonction \(\mathbf{1}_A\) appartient à \(L^2\). Par Cauchy-Schwarz, \(|u(h) – u(0)| = |\int \mathbf{1}_A (\tau_h \mathbf{1}_A – \mathbf{1}_A)| \leq\, \|\mathbf{1}_A\|_2 \, \|\tau_h \mathbf{1}_A – \mathbf{1}_A\|_2\). D’après la question 3 avec \(p = 2\), ce majorant tend vers \(0\). Donc \(u\) est continue en \(0\), avec \(u(0) = \lambda(A) > 0\). Il existe alors \(\delta > 0\) tel que \(u(h) > 0\) pour \(|h| < \delta\). Dans ce cas, \(A \cap (A + h)\) n’est pas vide : il contient un \(y = a + h\) avec \(a \in A\). Donc \(h = y – a \in A – A\), et \(]-\delta, \delta[ \, \subset A – A\).

Corrigé de l’exercice 18 : Lemme de Riemann-Lebesgue par densité

1. La fonction \(x \mapsto f(x) \cos(\xi x)\) est mesurable et majorée en module par \(|f|\), intégrable. Donc \(I_f(\xi)\) est défini. Ensuite, par linéarité, \(|I_f(\xi) – I_g(\xi)| = |\int (f – g)(x) \cos(\xi x) \, dx| \leq\, \|f – g\|_1\).
2. On a \(\int_a^b \cos(\xi x) \, dx = \frac{\sin(\xi b) – \sin(\xi a)}{\xi}\). Donc \(|I_f(\xi)| \leq\, \frac{2}{\xi} \to 0\).
3. Soit \(s = \sum_{i=1}^m c_i \mathbf{1}_{[a_i, b_i]}\) en escalier. Par linéarité, \(|I_s(\xi)| \leq\, \frac{2}{\xi} \sum_i |c_i| \to 0\). Montrons ensuite que les fonctions en escalier sont denses dans \(L^1(\mathbb{R})\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(\varphi \in C_c(\mathbb{R})\) nulle hors de \([-A, A]\), avec \(\|f – \varphi\|_1 \leq\, \varepsilon\). Par continuité uniforme, il existe \(\delta > 0\) tel que \(|x – y| \leq\, \delta\) entraîne \(|\varphi(x) – \varphi(y)| \leq\, \frac{\varepsilon}{2A}\). On découpe \([-A, A]\) en intervalles \([x_i, x_{i+1}[\) de longueur au plus \(\delta\), et on pose \(s = \varphi(x_i)\) sur chacun d’eux, \(s = 0\) ailleurs. Alors \(|\varphi – s| \leq\, \frac{\varepsilon}{2A}\) sur \([-A, A]\), donc \(\|\varphi – s\|_1 \leq\, \varepsilon\). Finalement, \(\|f – s\|_1 \leq\, 2\varepsilon\), et la question 1 donne
   \[|I_f(\xi)| \leq\, |I_f(\xi) – I_s(\xi)| + |I_s(\xi)| \leq\, 2\varepsilon + |I_s(\xi)|.\]
   Ainsi, \(\limsup_{\xi \to +\infty} |I_f(\xi)| \leq\, 2\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\). Donc \(I_f(\xi) \to 0\) pour toute \(f \in L^1(\mathbb{R})\).
4. La fonction \(f\) est paire, donc \(I_f(\xi) = 2 \int_0^{+\infty} e^{-x} \cos(\xi x) \, dx\). Or \(\int_0^{+\infty} e^{(-1 + i\xi) x} \, dx = \frac{1}{1 – i\xi} = \frac{1 + i\xi}{1 + \xi^2}\). En prenant la partie réelle, \(I_f(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}\), qui tend bien vers \(0\). La figure ci-dessous montre pourquoi : les oscillations rapides font se compenser les aires positives et négatives.

Corrigé de l’exercice 19 : Convergence presque partout et convergence des normes

1. La fonction \(t \mapsto t^p\) est convexe sur \([0, +\infty[\). Donc \((\frac{|a| + |b|}{2})^p \leq\, \frac{|a|^p + |b|^p}{2}\). Comme \(|a – b| \leq\, |a| + |b|\), on obtient \(|a – b|^p \leq\, 2^p \cdot \frac{|a|^p + |b|^p}{2} = 2^{p-1}(|a|^p + |b|^p)\).
2. D’après la question 1, \(g_n \geq\, 0\). De plus, \(g_n \to 2^{p-1} \cdot 2|f|^p = 2^p |f|^p\) presque partout. Le lemme de Fatou donne alors
   \[\int 2^p |f|^p \leq\, \liminf_n \int g_n = 2^p \int |f|^p – \limsup_n \int |f_n – f|^p,\]
   car \(\int |f_n|^p \to \int |f|^p\). Comme \(\int |f|^p\) est fini, on peut le simplifier. Donc \(\limsup_n \|f_n – f\|_p^p \leq\, 0\), et \(\|f_n – f\|_p \to 0\).
3. Reprenons l’exercice 13 avec \(p = 1\) : \(f_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]} \to 0\) partout. Cependant, \(\|f_n\|_1 = 1\) ne tend pas vers \(\|0\|_1 = 0\). Et en effet, \(\|f_n – 0\|_1 = 1\) ne tend pas vers \(0\) : l’hypothèse sur les normes est indispensable.
4. On applique la question 2 avec \(p = 1\). En effet, \(f_n \to f\) presque partout, et \(\|f_n\|_1 = \int f_n = 1 = \|f\|_1\). Donc \(\int |f_n – f| \to 0\). Ce résultat porte le nom de lemme de Scheffé.

Corrigé de l’exercice 20 : Inégalité de Young pour la convolution

1. Par le théorème de Tonelli, puis par invariance de la mesure de Lebesgue par translation,
   \[\int (\int |f(y)|\,|g(x – y)| \, dx) dy = \int |f(y)| \, \|g\|_1 \, dy = \|f\|_1 \|g\|_1.\]
   Ainsi, \(F(x) = \int |f(y)|\,|g(x-y)| \, dy\) est une fonction intégrable, donc finie presque partout. En un tel \(x\), l’intégrale définissant \(f * g(x)\) converge absolument, et \(|f * g(x)| \leq\, F(x)\). Par conséquent, \(f * g\) est défini presque partout et \(\|f * g\|_1 \leq\, \|f\|_1 \|g\|_1\).
2. On fixe \(x\). On applique l’inégalité de Hölder, avec les exposants \(q\) et \(p\), aux fonctions \(y \mapsto |f(y)|^{1/q}\) et \(y \mapsto |f(y)|^{1/p} |g(x-y)|\). On obtient \(\int |f(y)|\,|g(x-y)| \, dy \leq\, (\int |f|)^{1/q} (\int |f(y)|\,|g(x-y)|^p \, dy)^{1/p}\).
3. On élève à la puissance \(p\), puis on intègre en \(x\). Le théorème de Tonelli et l’invariance par translation donnent
   \[\int F(x)^p \, dx \leq\, \|f\|_1^{p/q} \int |f(y)| (\int |g(x-y)|^p \, dx) dy = \|f\|_1^{p/q + 1} \|g\|_p^p.\]
   Or \(\frac{p}{q} + 1 = p(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}) = p\). Ainsi, \(F \in L^p\), donc \(F\) est finie presque partout, et \(f * g\) est défini presque partout. Comme \(|f * g| \leq\, F\), on conclut que \(\|f * g\|_p \leq\, \|f\|_1 \|g\|_p\).
4. On a \(f * g(x) = \int \mathbf{1}_{[0,1]}(y) \mathbf{1}_{[0,1]}(x – y) \, dy = \lambda([0,1] \cap [x – 1, x])\). Donc \(f * g(x) = x\) sur \([0,1]\), \(2 – x\) sur \([1,2]\), et \(0\) ailleurs : c’est la fonction triangle de la figure ci-dessous. Ensuite, \(\|f * g\|_2^2 = 2 \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{2}{3}\). Ainsi, \(\|f * g\|_2 = \sqrt{2/3} \approx 0{,}816 \leq\, 1 = \|f\|_1 \|g\|_2\).

Corrigé de l’exercice 21 : Problème : les espaces de suites lp

1. Pour la mesure de comptage, un ensemble est négligeable si et seulement s’il est vide. Ainsi, « \(u = v\) presque partout » signifie \(u_n = v_n\) pour tout \(n\) : chaque classe contient une seule suite. De même, \(|u_n| \leq\, C\) presque partout signifie \(|u_n| \leq\, C\) pour tout \(n\). La borne supérieure essentielle est donc la borne supérieure.
2. Pour tout \(n\), \(|u_n|^p \leq\, \sum_k |u_k|^p\), donc \(|u_n| \leq\, \|u\|_p\), et \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_p\). Ensuite, pour \(q < +\infty\), on écrit \(|u_n|^q = |u_n|^{q-p} |u_n|^p \leq\, \|u\|_p^{q-p} |u_n|^p\). En sommant, \(\sum |u_n|^q \leq\, \|u\|_p^{q-p} \|u\|_p^p = \|u\|_p^q\). Donc \(\|u\|_q \leq\, \|u\|_p\), et \(\ell^p \subset \ell^q\).
3. Pour \(u_n = n^{-1/p}\), la série \(\sum n^{-1}\) diverge, donc \(u \notin \ell^p\). En revanche, \(\sum n^{-q/p}\) converge car \(q/p > 1\), et \(u\) est bornée. Donc \(u \in \ell^q \setminus \ell^p\) : l’inclusion est stricte. Dans l’exercice 8, la mesure est finie, et les obstructions viennent des singularités locales : les grands exposants sont plus exigeants. Ici, la mesure de comptage est infinie, mais chaque point pèse \(1\). Ainsi, il n’y a pas de « petits ensembles », et seule la décroissance à l’infini compte : les petits exposants sont plus exigeants.
4. D’après la question 2, \(|u^{(k)}_n – u_n| \leq\, \|u^{(k)} – u\|_\infty \leq\, \|u^{(k)} – u\|_p\). Donc chaque coordonnée converge. Il n’y a pas besoin d’extraire, car chaque point a une masse \(1\). Autrement dit, le seul ensemble négligeable est vide, et la bosse glissante n’a pas d’analogue ici.
5. Soit \((u^{(k)})\) une suite de Cauchy de \(\ell^p\). D’après la question 4, pour chaque \(n\), la suite \((u^{(k)}_n)_k\) est de Cauchy dans \(\mathbb{R}\). Elle converge vers un réel \(u_n\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(K\) tel que \(\|u^{(k)} – u^{(m)}\|_p \leq\, \varepsilon\) pour \(k, m \geq\, K\). Pour tout \(N\), on a \(\sum_{n=1}^N |u^{(k)}_n – u^{(m)}_n|^p \leq\, \varepsilon^p\). On fait tendre \(m\) vers \(+\infty\) dans cette somme finie, puis \(N\) vers \(+\infty\). On obtient \(\|u^{(k)} – u\|_p \leq\, \varepsilon\) pour \(k \geq\, K\). Par Minkowski, \(u = u^{(K)} – (u^{(K)} – u) \in \ell^p\). Ainsi, \(u^{(k)} \to u\) dans \(\ell^p\), qui est complet.
6. Soit \(u \in \ell^p\) et \(v^{(N)} = (u_1, \ldots, u_N, 0, 0, \ldots)\). Alors \(\|u – v^{(N)}\|_p^p = \sum_{n > N} |u_n|^p\), reste d’une série convergente, qui tend vers \(0\). Dans \(\ell^\infty\), en revanche, la suite constante \(e = (1, 1, \ldots)\) vérifie \(\|e – v\|_\infty \geq\, 1\) pour toute suite \(v\) à support fini, car \(v_n = 0\) pour \(n\) grand. Enfin, une fonction étagée intégrable s’écrit \(\sum_i c_i \mathbf{1}_{A_i}\) avec \(\operatorname{card}(A_i) < +\infty\) : elle est à support fini. Réciproquement, une suite à support fini prend un nombre fini de valeurs, chacune non nulle sur un ensemble fini. Les suites à support fini sont exactement les fonctions étagées intégrables, denses dans \(\ell^p\) pour \(p < +\infty\), mais pas dans \(\ell^\infty\).
7. La suite \((1/n)\) appartient à \(\ell^2\), avec \(\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\). L’inégalité de Cauchy-Schwarz dans \(\ell^2\) donne \(\sum \frac{|u_n|}{n} \leq\, \|u\|_2 (\sum \frac{1}{n^2})^{1/2}\). Donc \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{|u_n|}{n} \leq\, \frac{\pi}{\sqrt{6}} \|u\|_2\), avec égalité si et seulement si \((|u_n|)\) est proportionnelle à \((1/n)\), c’est-à-dire \(|u_n| = c/n\) avec \(c \geq\, 0\).

Point de méthode : dans \(\ell^p\), toute la théorie générale se simplifie, car il n’existe pas d’ensemble négligeable non vide. C’est un bon terrain pour tester une intuition avant de passer à \(L^p(\mathbb{R})\).

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Pour aller plus loin en L3

• Le cours : espaces Lp, cours de maths en L3
• Les énoncés : exercices de maths en L3 sur espaces Lp
• À maîtriser avant : Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence, Complétude, espaces de Banach et point fixe
• Chapitre précédent : Mesure produit, Fubini et changement de variables
• Chapitre suivant : Groupes : quotients et actions de groupes
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3