Fubini et changement de variables : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Sections d’une partie mesurable

Soit \((X, \mathcal{A})\) et \((Y, \mathcal{B})\) deux espaces mesurables. On fixe \(x \in X\). Pour \(E \subset X \times Y\), on note \(E_x = \{ y \in Y : (x, y) \in E \}\).

1. Montrer que \(\mathcal{C} = \{ E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} : E_x \in \mathcal{B} \}\) est une tribu sur \(X \times Y\) qui contient les rectangles mesurables. En déduire que \(E_x \in \mathcal{B}\) pour tout \(E \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\).
2. Soit \(f : X \times Y \to \mathbb{R}\) mesurable pour \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\). Montrer que \(f_x : y \mapsto f(x, y)\) est \(\mathcal{B}\)-mesurable.
3. Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) borélienne. Montrer que son graphe \(\Gamma_g = \{ (t, g(t)) : t \in \mathbb{R} \}\) appartient à \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})\).

Exercice 2 : Diagonale et graphes négligeables

On note \(\lambda\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\) et \(\lambda_2 = \lambda \otimes \lambda\).

1. Montrer que la diagonale \(\Delta = \{ (t, t) : t \in \mathbb{R} \}\) vérifie \(\lambda_2(\Delta) = 0\).
2. Plus généralement, soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) borélienne. Montrer que \(\lambda_2(\Gamma_g) = 0\), où \(\Gamma_g\) est le graphe de \(g\) (voir l’exercice 1).
3. En déduire que le cercle unité \(\{ x^2 + y^2 = 1 \}\) est négligeable dans \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 3 : Une intégrale calculée par Tonelli

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(-1 < a < b\). On pose \(I(a, b) = \int_0^1 \frac{x^b – x^a}{\ln x}\, dx\).

1. Montrer que, pour tout \(x \in ]0, 1[\), \(\frac{x^b – x^a}{\ln x} = \int_a^b x^t\, dt\). En déduire que l’intégrande est positif.
2. Justifier soigneusement l’interversion des intégrales et en déduire \(I(a, b) = \ln \frac{1 + b}{1 + a}\).
3. Calculer \(\int_0^1 \frac{\sqrt{x} – 1}{\ln x}\, dx\) et \(\int_0^1 \frac{x^3 – x}{\ln x}\, dx\).

Exercice 4 : Calculs d’intégrales doubles par Fubini

On note \(T = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq\, y \leq\, x \leq\, 1 \}\). La figure ci-dessous représente les domaines utilisés.

1. Calculer \(\iint_{[0,1]^2} |x – y|\, dx\, dy\).
2. Calculer \(\iint_T x y\, dx\, dy\) puis \(\iint_T e^{x^2}\, dx\, dy\).
3. En déduire la valeur de \(\int_0^1 ( \int_y^1 e^{x^2}\, dx ) dy\), alors que \(e^{x^2}\) n’a pas de primitive élémentaire.

Exercice 5 : Sommes doubles et mesure de comptage

On note \(\zeta(s) = \sum_{k \geq\, 1} k^{-s}\) pour \(s > 1\).

1. Montrer que \(\sum_{n \geq\, 2} ( \zeta(n) – 1 ) = 1\).
2. Montrer que \(\sum_{n \geq\, 1} ( \zeta(2n) – 1 ) = \frac{3}{4}\).
3. On pose, pour \(m, n \in \mathbb{N}\), \(a_{m,n} = 1\) si \(n = m\), \(a_{m,n} = -1\) si \(n = m + 1\), et \(a_{m,n} = 0\) sinon. Calculer \(\sum_m \sum_n a_{m,n}\) et \(\sum_n \sum_m a_{m,n}\). Quelle hypothèse du théorème de Fubini est en défaut ?

Exercice 6 : Un contre-exemple au théorème de Fubini

On pose, pour \((x, y) \in ]0, 1]^2\), \(f(x, y) = \frac{x^2 – y^2}{(x^2 + y^2)^2}\).

1. Pour \(x > 0\) fixé, calculer la dérivée de \(y \mapsto \frac{y}{x^2 + y^2}\).
2. Calculer \(\int_0^1 ( \int_0^1 f(x, y)\, dy ) dx\) et \(\int_0^1 ( \int_0^1 f(x, y)\, dx ) dy\).
3. Montrer, à l’aide des coordonnées polaires, que \(f\) n’est pas intégrable sur \(]0, 1]^2\). Commenter.

Exercice 7 : Hypothèse de σ-finitude

On munit \([0, 1]\) de sa tribu borélienne. Soit \(\lambda\) la mesure de Lebesgue et \(\nu\) la mesure de comptage sur \([0, 1]\). On note \(\Delta\) la diagonale de \([0, 1]^2\).

1. Montrer que \(\nu\) n’est pas σ-finie.
2. Calculer \(\int_{[0,1]} ( \int_{[0,1]} \mathbf{1}_\Delta(x, y)\, d\nu(y) ) d\lambda(x)\) et \(\int_{[0,1]} ( \int_{[0,1]} \mathbf{1}_\Delta(x, y)\, d\lambda(x) ) d\nu(y)\).
3. Expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Fubini-Tonelli.

Exercice 8 : Image de la mesure de Lebesgue par une application linéaire

On utilise la formule \(\lambda_n(T(E)) = |\det T|\, \lambda_n(E)\).

1. Calculer l’aire du parallélogramme de sommets \((0, 0)\), \((2, 1)\), \((3, 4)\) et \((1, 3)\).
2. Calculer l’aire de \(\mathcal{E} = \{ (x, y) : \frac{(x + y)^2}{4} + \frac{(x – y)^2}{9} \leq\, 1 \}\).
3. Montrer par Fubini que le tétraèdre \(\{ x, y, z \geq\, 0,\ x + y + z \leq\, 1 \}\) a pour volume \(\frac{1}{6}\). En déduire le volume du tétraèdre de sommets \(0\), \(u\), \(v\), \(w\) en fonction de \(\det(u, v, w)\).

Exercice 9 : Transvection et invariance par translation

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on note \(T_a(x, y) = (x + a y, y)\). Pour \(E \subset \mathbb{R}^2\) et \(y \in \mathbb{R}\), on note \(E^y = \{ x \in \mathbb{R} : (x, y) \in E \}\).

1. Soit \(E\) un borélien de \(\mathbb{R}^2\). Montrer que \((T_a(E))^y = E^y + a y\).
2. En déduire, par Tonelli et l’invariance de \(\lambda\) par translation, que \(\lambda_2(T_a(E)) = \lambda_2(E)\).
3. Pour \(\alpha \neq 0\), on pose \(D_\alpha(x, y) = (\alpha x, y)\). Montrer que \(\lambda_2(D_\alpha(E)) = |\alpha|\, \lambda_2(E)\).
4. Soit \(A = \begin{pmatrix} a b \\ 0 d \end{pmatrix}\) avec \(a d \neq 0\). Écrire \(A\) comme composée de transvections et de dilatations, puis en déduire \(\lambda_2(A(E)) = |a d|\, \lambda_2(E)\).

Exercice 10 : Coordonnées polaires

1. Calculer \(\iint_D x y\, dx\, dy\), où \(D = \{ (x, y) : x \geq\, 0,\ y \geq\, 0,\ 1 \leq\, x^2 + y^2 \leq\, 4 \}\).
2. Calculer \(\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{dx\, dy}{(1 + x^2 + y^2)^2}\).
3. Pour \(\alpha > 0\), déterminer à quelle condition \(\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{dx\, dy}{(1 + x^2 + y^2)^\alpha}\) est finie, et calculer alors sa valeur.

Exercice 11 : Intégrale de Gauss par les coordonnées polaires

On pose \(G = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx\).

1. Justifier que \(G\) est finie.
2. Montrer que \(G^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy\), puis calculer cette intégrale en coordonnées polaires. En déduire \(G\).
3. Pour \(a > 0\), en déduire \(\int_{\mathbb{R}} e^{-a x^2}\, dx\), puis \(\int_{\mathbb{R}} x^2 e^{-x^2}\, dx\) et \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^{+\infty} t^{-1/2} e^{-t}\, dt\).
4. Calculer \(\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\|x\|^2}\, dx\), où \(\|\cdot\|\) est la norme euclidienne.

Exercice 12 : Intégrale de Gauss par Tonelli

On pose \(I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\, dt\) et \(F = \iint_{]0, +\infty[^2} y\, e^{-(1 + x^2) y^2}\, dx\, dy\).

1. Calculer \(F\) en intégrant d’abord par rapport à \(y\).
2. Calculer \(F\) en intégrant d’abord par rapport à \(x\), à l’aide du changement de variable \(u = x y\) à \(y\) fixé.
3. Justifier l’égalité des deux calculs et en déduire la valeur de \(I\).

Exercice 13 : Forme quadratique et intégrale gaussienne

1. Écrire \(x^2 + x y + y^2\) comme somme de deux carrés de formes linéaires indépendantes.
2. En déduire \(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + x y + y^2)}\, dx\, dy\) par un changement de variables linéaire.
3. Soit \(S\) une matrice symétrique réelle \(2 \times 2\) définie positive. Montrer que \(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-\langle S X, X \rangle}\, dX = \frac{\pi}{\sqrt{\det S}}\). Vérifier la cohérence avec la question précédente.

Exercice 14 : Changement de variables hyperbolique

On considère \(D = \{ (x, y) : x > 0,\ y > 0,\ 1 \leq\, x y \leq\, 2,\ x \leq\, y \leq\, 3 x \}\), représenté ci-dessous.

1. Montrer que \(\varphi(x, y) = (x y, \frac{y}{x})\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(]0, +\infty[^2\) sur lui-même, et donner \(\varphi^{-1}\).
2. Déterminer \(\varphi(D)\) et calculer le jacobien de \(\varphi\), puis celui de \(\varphi^{-1}\).
3. Calculer l’aire de \(D\).
4. Calculer \(\iint_D x y\, dx\, dy\) et \(\iint_D y^2\, dx\, dy\).

Exercice 15 : Coordonnées sphériques et cornet

On pose \(\Phi(r, \theta, \phi) = (r \sin\phi \cos\theta, r \sin\phi \sin\theta, r \cos\phi)\) et on note \(B\) la boule unité fermée de \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer le jacobien de \(\Phi\).
2. Calculer \(\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\, dx\, dy\, dz\), puis \(\iiint_B z^2\, dx\, dy\, dz\) à l’aide d’un argument de symétrie.
3. Calculer le volume du « cornet » \(C = \{ x^2 + y^2 + z^2 \leq\, 1,\ z \geq\, \sqrt{x^2 + y^2} \}\).
4. Calculer \(\iiint_C z\, dx\, dy\, dz\), puis la cote \(\,\overline{z}\) du centre de gravité de \(C\), supposé homogène.

Exercice 16 : Volume de la boule unité par récurrence

On note \(B_n\) la boule unité euclidienne fermée de \(\mathbb{R}^n\) et \(V_n = \lambda_n(B_n)\).

1. Montrer que la boule fermée de centre \(0\) et de rayon \(r > 0\) a pour volume \(r^n V_n\).
2. Pour \(n \geq\, 3\), montrer que \(V_n = \frac{2\pi}{n} V_{n-2}\), en écrivant les points de \(\mathbb{R}^n\) sous la forme \((x, y, z)\) avec \(z \in \mathbb{R}^{n-2}\).
3. Calculer \(V_1, V_2, V_3, V_4, V_5\), puis montrer que \(V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}\) pour \(k \geq\, 1\).
4. Montrer que \(V_n \to 0\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 17 : Intégrales doubles et séries

On admet que \(\zeta(2) = \sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrer que \(\iint_{[0,1]^2} \frac{dx\, dy}{1 – x y} = \zeta(2)\), en justifiant chaque interversion.
2. Montrer que \(\iint_{[0,1]^2} \frac{dx\, dy}{1 + x y} = \sum_{n \geq\, 0} \frac{(-1)^n}{(n + 1)^2}\), puis que cette somme vaut \(\frac{\pi^2}{12}\).
3. En intégrant d’abord en \(y\) dans la question 1, montrer que \(\int_0^1 \frac{-\ln(1 – x)}{x}\, dx = \frac{\pi^2}{6}\).

Exercice 18 : Convolution de deux indicatrices

On note \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\) et \(g = \mathbf{1}_{[-1,1]}\).

1. Calculer \(f * f\) sur \(\mathbb{R}\) et vérifier que \(\int f * f = ( \int f )^2\).
2. Calculer \(f * g\) sur \(\mathbb{R}\) et vérifier que \(\int f * g = \int f \int g\).
3. Montrer que \(f * f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais non dérivable en \(0\), \(1\) et \(2\).

Exercice 19 : Propriétés du produit de convolution

Soit \(f, g \in L^1(\mathbb{R})\), boréliennes.

1. Montrer que \(\iint_{\mathbb{R}^2} |f(x – y) g(y)|\, dx\, dy = \|f\|_1 \|g\|_1\). En déduire que \(f * g\) est définie presque partout et que \(\|f * g\|_1 \leq\, \|f\|_1 \|g\|_1\).
2. Montrer que \(\int_{\mathbb{R}} f * g = \int_{\mathbb{R}} f \int_{\mathbb{R}} g\).
3. Montrer que \(f * g = g * f\) presque partout.
4. On suppose seulement \(f \in L^1\) et \(g\) bornée et uniformément continue. Montrer que \(f * g\) est définie partout, bornée par \(\|f\|_1 \|g\|_\infty\) et uniformément continue.
5. On suppose que \(f\) est nulle hors de \([a, b]\) et \(g\) nulle hors de \([c, d]\). Montrer que \(f * g\) est nulle hors de \([a + c, b + d]\).

Exercice 20 : Convolution de gaussiennes

Pour \(a > 0\), on pose \(g_a(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} e^{-\frac{x^2}{2a}}\).

1. Montrer que \(\int_{\mathbb{R}} g_a = 1\).
2. Soit \(a, b > 0\). Montrer que \(g_a * g_b = g_{a + b}\).
3. En déduire, pour \(n \geq\, 1\), la convolée de \(n\) copies de \(g_a\).

Exercice 21 : Régularisation par convolution

On admet que \(\varphi(x) = e^{-\frac{1}{1 – x^2}}\) pour \(|x| < 1\) et \(\varphi(x) = 0\) sinon définit une fonction de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), paire et positive. On pose \(c = \int_{\mathbb{R}} \varphi\), \(\rho = \frac{\varphi}{c}\) et, pour \(\varepsilon > 0\), \(\rho_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon} \rho(\frac{x}{\varepsilon})\).

1. Montrer que \(\rho_\varepsilon\) est nulle hors de \([-\varepsilon, \varepsilon]\) et que \(\int \rho_\varepsilon = 1\).
2. Soit \(f \in L^1(\mathbb{R})\). Montrer que \(f * \rho_\varepsilon\) est de classe \(C^1\) et que \((f * \rho_\varepsilon)^{\prime} = f * \rho_\varepsilon^{\prime}\).
3. Soit \(f\) continue et bornée. Montrer que \((f * \rho_\varepsilon)(x) \to f(x)\) pour tout \(x\) quand \(\varepsilon \to 0\), et que la convergence est uniforme si \(f\) est uniformément continue.
4. On prend \(f = \mathbf{1}_{[0,1]}\) et \(0 < \varepsilon < \frac{1}{2}\). Calculer \((f * \rho_\varepsilon)(x)\) pour \(x \in [\varepsilon, 1 – \varepsilon]\), pour \(x \notin [-\varepsilon, 1 + \varepsilon]\), puis en \(x = 0\). Déterminer la limite simple de \(f * \rho_\varepsilon\).

Exercice 22 : Intégrale de Dirichlet par Fubini

On veut montrer que \(\int_0^A \frac{\sin x}{x}\, dx\) tend vers \(\frac{\pi}{2}\) quand \(A \to +\infty\).

1. Pour \(x > 0\), calculer \(\int_0^{+\infty} e^{-x t}\, dt\).
2. Soit \(A > 0\). Montrer que \((x, t) \mapsto \sin x\, e^{-x t}\) est intégrable sur \(]0, A] \times ]0, +\infty[\).
3. Montrer que, pour \(t > 0\), \(\int_0^A \sin x\, e^{-x t}\, dx = \frac{1 – e^{-A t}(\cos A + t \sin A)}{1 + t^2}\), puis que
   \[\int_0^A \frac{\sin x}{x}\, dx = \frac{\pi}{2} – \int_0^{+\infty} e^{-A t} \frac{\cos A + t \sin A}{1 + t^2}\, dt.\]
4. Montrer que la dernière intégrale est majorée en valeur absolue par \(\frac{3}{2A}\) et conclure.
5. Montrer que \(x \mapsto \frac{\sin x}{x}\) n’est pas intégrable au sens de Lebesgue sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 23 : Volume de la boule unité par la gaussienne

On note \(V_n\) le volume de la boule unité euclidienne de \(\mathbb{R}^n\) et \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t}\, dt\). On admet que \(\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\|x\|^2}\, dx = \pi^{n/2}\) et que la sphère unité est négligeable.

1. Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), \(e^{-\|x\|^2} = \int_0^{+\infty} 2 r e^{-r^2} \mathbf{1}_{\{\|x\| < r\}}\, dr\).
2. En déduire, par Tonelli, que \(\pi^{n/2} = V_n \int_0^{+\infty} 2 r^{n+1} e^{-r^2}\, dr\).
3. Calculer cette dernière intégrale à l’aide de \(\Gamma\) et conclure que \(V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}\). Vérifier pour \(n = 1, 2, 3\).
4. Par une méthode analogue, montrer que \(\int_{B_n} \|x\|^2\, dx = \frac{n}{n + 2} V_n\).

Exercice 24 : Problème : fonctions Gamma et Bêta, aire des boules de ℓ^p

Pour \(s > 0\), on pose \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t}\, dt\) et, pour \(a, b > 0\), \(\mathrm{B}(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1 – t)^{b-1}\, dt\). On admet que \(\Gamma(s + 1) = s\, \Gamma(s)\) et que \(\Gamma\) est continue.

Partie A : la formule d’Euler.

1. Montrer que \(\mathrm{B}(a, b)\) est finie pour \(a, b > 0\).
2. Montrer que \(\psi(s, t) = (s t, s(1 – t))\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(]0, +\infty[ \times ]0, 1[\) sur \(]0, +\infty[^2\), et calculer son jacobien.
3. En écrivant \(\Gamma(a)\Gamma(b)\) comme une intégrale double, montrer que \(\Gamma(a)\Gamma(b) = \Gamma(a + b)\, \mathrm{B}(a, b)\).
4. Calculer \(\mathrm{B}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) à l’aide de \(t = \sin^2 u\). Retrouver \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\).
5. Calculer \(\int_0^1 \sqrt{t(1 – t)}\, dt\) et interpréter géométriquement le résultat.

Partie B : aire de la boule unité de ℓ^p. Pour \(p \geq\, 1\), on note \(A_p\) l’aire de \(K_p = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x|^p + |y|^p \leq\, 1 \}\). La figure ci-dessous représente \(K_p\) pour plusieurs valeurs de \(p\).

1. Montrer que \(A_p = 4 \int_0^1 (1 – x^p)^{1/p}\, dx\).
2. À l’aide du changement de variable \(x = t^{1/p}\), montrer que \(A_p = \frac{4\, \Gamma(1 + \frac{1}{p})^2}{\Gamma(1 + \frac{2}{p})}\).
3. Vérifier la formule pour \(p = 1\) et \(p = 2\), puis déterminer la limite de \(A_p\) quand \(p \to +\infty\). Interpréter.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : fubini et changement de variables, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence
• Chapitre précédent : Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence
• Chapitre suivant : Espaces L^p
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3