Géométrie affine : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Dans toute la fiche, \(\mathbb{R}^n\) est muni de sa structure affine canonique et de son repère canonique. Sauf mention contraire, les points sont repérés par leurs coordonnées dans ce repère. Pour trois points alignés, \(\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\) désigne le réel \(\lambda\) tel que \(\vec{AC} = \lambda \vec{AB}\).

Exercice 1 : Un sous-espace affine défini par des équations

On considère la partie \(\mathcal{D}\) de \(\mathbb{R}^3\) définie par le système

\[\begin{cases} x + y – z = 1 \\ 2x – y = 3 \end{cases}\]

1. Montrer que \(\mathcal{D}\) est un sous-espace affine dont on précisera la direction et la dimension.
2. En donner un point et une représentation paramétrique.
3. Le point \(M(1, -1, -1)\) appartient-il à \(\mathcal{D}\) ?
4. Déterminer l’intersection de \(\mathcal{D}\) avec le plan d’équation \(z = 0\).

Exercice 2 : Plan passant par trois points

On donne les points \(A(1, 0, 2)\), \(B(2, 1, 0)\) et \(C(0, 1, 1)\) de \(\mathbb{R}^3\).

1. Vérifier que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P} = (ABC)\).
3. Les points \(D(4, -1, 2)\) et \(E(1, 1, 1)\) appartiennent-ils à \(\mathcal{P}\) ?
4. Déterminer l’intersection de \(\mathcal{P}\) avec la droite passant par l’origine et dirigée par \((1, 1, 1)\).
5. Donner une équation du plan parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par l’origine.

Exercice 3 : Un hyperplan affine en dimension 4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on note \(A = (1, 0, 0, 0)\), \(u_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(u_2 = (0, 1, 1, 0)\), \(u_3 = (0, 0, 1, 1)\) et \(\mathcal{H} = A + \mathrm{Vect}(u_1, u_2, u_3)\).

1. Justifier que \(\mathcal{H}\) est un hyperplan affine.
2. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal{H}\).
3. Le point \((2, 1, 1, 1)\) appartient-il à \(\mathcal{H}\) ?
4. Soit \(\Delta\) la droite passant par \(B = (0, 1, 0, 0)\) et dirigée par \(e_1 = (1, 0, 0, 0)\). Montrer que \(\Delta\) coupe \(\mathcal{H}\) en un unique point, que l’on déterminera.

Exercice 4 : Positions relatives de trois droites de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère les droites

\[\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 1 – t \end{cases} \quad \mathcal{D}_2 : \begin{cases} x = 3 \\ y = 4 + s \\ z = -1 + s \end{cases} \quad \mathcal{D}_3 : \begin{cases} x = 2u \\ y = 1 + 4u \\ z = -2u \end{cases}\]

avec \(t, s, u \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) sont sécantes et donner leur point commun. Déterminer une équation du plan qui les contient.
2. Montrer que \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_3\) sont strictement parallèles. Déterminer une équation du plan qui les contient.
3. Montrer que \(\mathcal{D}_2\) et \(\mathcal{D}_3\) ne sont pas coplanaires.

Exercice 5 : Critère d’intersection en dimension 4

On note \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\), \(O\) l’origine et \(B = (1, 1, 1, 1)\). On pose

\[\mathcal{P}_1 = O + \mathrm{Vect}(e_1, e_2), \quad \mathcal{P}_2 = B + \mathrm{Vect}(e_3, e_1 + e_4), \quad \mathcal{P}_3 = B + \mathrm{Vect}(e_1, e_2 + e_3).\]

1. Rappeler le critère : \(A + F\) et \(B + G\) se coupent si et seulement si \(\vec{AB} \in F + G\).
2. Montrer que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) se coupent en un unique point, que l’on déterminera.
3. Montrer que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) sont disjoints, sans être parallèles.
4. Montrer que dans \(\mathbb{R}^3\), deux plans affines non parallèles se coupent toujours selon une droite.

Exercice 6 : Barycentre et coordonnées barycentriques

Dans le plan \(\mathbb{R}^2\), on considère les points \(A(1, 2)\), \(B(3, -1)\), \(C(-2, 4)\) et \(M(0, 3)\), représentés ci-dessous.

1. Justifier que \((A, B, C)\) est un repère affine du plan.
2. Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \(((A, 2), (B, -1), (C, 3))\).
3. Déterminer les coordonnées barycentriques de \(M\) dans le repère \((A, B, C)\).
4. Le point \(M\) est-il à l’intérieur du triangle \(ABC\) ? Justifier à l’aide de la question précédente.

Exercice 7 : Médianes d’un triangle et d’un tétraèdre

1. Soit \(ABC\) un triangle et \(G\) son isobarycentre. On note \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) les milieux de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). Montrer que les trois médianes passent par \(G\) et que \(\vec{AG} = \frac{2}{3} \vec{AA^{\prime}}\).
2. Soit \(ABCD\) un tétraèdre de l’espace et \(G\) l’isobarycentre de ses sommets. Montrer que les trois segments qui joignent les milieux de deux arêtes opposées ont tous pour milieu \(G\).
3. Soit \(G_A\) le centre de gravité de la face \(BCD\). Montrer que \(G \in (AG_A)\) et que \(\vec{AG} = \frac{3}{4} \vec{AG_A}\). En déduire que les quatre droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourantes.

Exercice 8 : Un alignement démontré par les barycentres

Soit \(ABC\) un triangle non aplati. On définit les points

\[P = \mathrm{bar}\{(B, 1), (C, -2)\}, \quad Q = \mathrm{bar}\{(C, 2), (A, -3)\}, \quad R = \mathrm{bar}\{(A, 3), (B, -1)\}.\]

1. Justifier l’existence de ces trois points et préciser sur quelle droite se trouve chacun d’eux.
2. En vectorialisant en un point \(O\), exprimer \(\vec{OP}\), \(\vec{OQ}\) et \(\vec{OR}\) en fonction de \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\).
3. Montrer que \(R\) est le milieu de \([PQ]\). En déduire que \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés.

Exercice 9 : Reconnaître une application affine

Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est affine. Si oui, donner la matrice de sa partie linéaire.

\[f_1(x, y) = (2x – y + 1,\ x + 3), \quad f_2(x, y) = (x^2, y), \quad f_3(x, y, z) = (x + y + 1,\ y – z,\ 3), \quad f_4(x, y) = (xy, x).\]

1. Étudier le caractère affine de \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), \(f_4\).
2. Montrer que \(f_1\) est bijective et déterminer \(f_1^{-1}\). L’application \(f_1\) a-t-elle des points fixes ?
3. L’application \(f_3\) est-elle bijective ? Déterminer son image.

Exercice 10 : Application affine définie par trois points

Dans le plan, on pose \(A(0, 0)\), \(B(1, 0)\), \(C(0, 1)\), \(A^{\prime}(1, 1)\), \(B^{\prime}(3, 2)\), \(C^{\prime}(0, 2)\).

1. Justifier qu’il existe une unique application affine \(f\) du plan telle que \(f(A) = A^{\prime}\), \(f(B) = B^{\prime}\) et \(f(C) = C^{\prime}\).
2. Donner l’expression de \(f(x, y)\).
3. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe \(\Omega\) et le calculer.
4. Déterminer l’image par \(f\) de la droite d’équation \(y = x\).
5. Par quel facteur \(f\) multiplie-t-elle l’aire d’un triangle ?

Exercice 11 : Composées d’homothéties et de translations

Dans le plan, on pose \(A(1, 0)\) et \(B(0, 1)\). On note \(h_{P, \lambda}\) l’homothétie de centre \(P\) et de rapport \(\lambda\).

1. Montrer que \(h_{A, 2} \circ h_{B, 3}\) est une homothétie ; préciser son rapport et son centre.
2. Déterminer \(h_{A, 2} \circ h_{B, 1/2}\) puis \(h_{B, 1/2} \circ h_{A, 2}\). Ces deux applications sont-elles égales ?
3. Soient \(u\) un vecteur et \(\lambda \neq 1\). Montrer que \(t_u \circ h_{A, \lambda}\) est une homothétie dont on précisera le rapport et le centre.

Exercice 12 : Projection, symétrie et affinité sur une droite

Dans le plan, on considère la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(x + y = 2\) et le vecteur \(u = (2, 1)\), comme sur la figure.

1. Vérifier que \(\mathrm{Vect}(u)\) est un supplémentaire de la direction de \(\mathcal{D}\).
2. Déterminer l’expression de la projection \(p\) sur \(\mathcal{D}\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}(u)\).
3. En déduire l’expression de la symétrie \(s\) par rapport à \(\mathcal{D}\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}(u)\), et vérifier que \(s \circ s = \mathrm{id}\).
4. Déterminer l’expression de l’affinité \(a\) de base \(\mathcal{D}\), de direction \(\mathrm{Vect}(u)\) et de rapport 3.
5. Calculer \(p(O)\), \(s(O)\) et \(a(O)\), où \(O\) est l’origine.

Exercice 13 : Reconnaître une projection et une symétrie

On considère les applications du plan \(f(x, y) = (x – y + 1,\ 1)\) et \(g(x, y) = (x – 2y + 2,\ 2 – y)\).

1. Montrer que \(f \circ f = f\). En déduire la nature de \(f\) et préciser ses éléments caractéristiques.
2. Montrer que \(g \circ g = \mathrm{id}\). En déduire la nature de \(g\) et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Vérifier que, pour tout point \(M\), \(f(M)\) est le milieu de \([M g(M)]\), et interpréter.

Exercice 14 : Composées de symétries centrales

Pour un point \(A\), on note \(s_A\) la symétrie centrale de centre \(A\), c’est-à-dire \(h_{A, -1}\).

1. Montrer que \(s_A \circ s_B\) est la translation de vecteur \(2 \vec{BA}\).
2. Montrer que \(s_A \circ s_B \circ s_C\) est une symétrie centrale de centre \(D\), où \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
3. Soit \(u\) un vecteur. Montrer que \(s_A \circ t_u\) est une symétrie centrale et préciser son centre.
4. Soient \(I\), \(J\), \(K\) trois points du plan. Montrer qu’il existe un unique triangle \(ABC\), éventuellement aplati, tel que \(I\), \(J\), \(K\) soient les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CA]\). Exprimer \(A\) en fonction de \(I\), \(J\), \(K\).

Exercice 15 : Théorème de Thalès et trapèze

1. Soit \(OAB\) un triangle non aplati. Soient \(A^{\prime} \in (OA)\) et \(B^{\prime} \in (OB)\) distincts de \(O\), tels que \((A^{\prime}B^{\prime})\) soit parallèle à \((AB)\). À l’aide de l’homothétie \(h\) de centre \(O\) qui envoie \(A\) sur \(A^{\prime}\), montrer que \(h(B) = B^{\prime}\), puis que \(\frac{\overline{OA^{\prime}}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OB^{\prime}}}{\overline{OB}}\) et \(\vec{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{\overline{OA^{\prime}}}{\overline{OA}} \vec{AB}\).
2. Réciproquement, montrer que si \(\frac{\overline{OA^{\prime}}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{OB^{\prime}}}{\overline{OB}}\), alors \((A^{\prime}B^{\prime})\) est parallèle à \((AB)\).
3. Soit \(ABCD\) un trapèze tel que \(\vec{AB} = 3 \vec{DC}\). Ses diagonales \((AC)\) et \((BD)\) se coupent en \(I\). Montrer que \(\vec{AI} = \frac{3}{4} \vec{AC}\).

Exercice 16 : Ménélaüs dans un triangle

Soit \(ABC\) un triangle non aplati. On note \(D\) le milieu de \([BC]\) et \(E\) le point de \([AC]\) tel que \(\vec{AE} = \frac{2}{3} \vec{AC}\). La droite \((DE)\) coupe \((AB)\) en un point \(F\).

1. Calculer \(\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\) et \(\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}\).
2. À l’aide du théorème de Ménélaüs, calculer \(\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\). En déduire que \(B\) est le milieu de \([AF]\).
3. Vérifier ce résultat en coordonnées avec \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(1, 3)\).

Exercice 17 : Céva et point de concours

Dans le plan, on pose \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(0, 6)\), \(P = \mathrm{bar}\{(B, 2), (C, 1)\}\) et \(Q = \mathrm{bar}\{(C, 1), (A, 3)\}\).

1. Calculer les coordonnées de \(P\) et de \(Q\).
2. Calculer \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\) et \(\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\).
3. Déterminer le point \(R\) de \((AB)\) tel que les droites \((AP)\), \((BQ)\), \((CR)\) soient concourantes.
4. Déterminer leur point de concours \(G\) et vérifier le résultat par le calcul.

Exercice 18 : Une isométrie affine du plan

Le plan est muni de sa structure euclidienne usuelle. On considère

\[f(x, y) = ( \frac{3x + 4y}{5} + 1,\ \frac{4x – 3y}{5} – 2 ).\]

1. Montrer que \(f\) est une isométrie affine.
2. Déterminer l’ensemble des points fixes de \(f\).
3. Montrer que \(f \circ f = \mathrm{id}\), puis identifier \(f\) précisément.
4. Soit \(v = (2, 1)\). Montrer que \(g = f \circ t_v\) n’a aucun point fixe. De quelle isométrie s’agit-il ?

Exercice 19 : Toute isométrie est affine

Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, vu comme espace affine, et \(f : E \to E\) une application telle que \(\|f(x) – f(y)\| = \|x – y\|\) pour tous \(x, y \in E\). On pose \(g(x) = f(x) – f(0)\).

1. Montrer que \(g(0) = 0\), que \(\|g(x) – g(y)\| = \|x – y\|\) et que \(\|g(x)\| = \|x\|\).
2. Montrer que \(\langle g(x), g(y) \rangle = \langle x, y \rangle\) pour tous \(x, y\).
3. En développant \(\|g(\lambda x + y) – \lambda g(x) – g(y)\|^2\), montrer que \(g\) est linéaire.
4. En déduire que \(f\) est une application affine bijective à partie linéaire orthogonale.
5. On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme \(\|(x, y)\|_\infty = \max(|x|, |y|)\). Montrer que l’application \(t \mapsto (t, \sin t)\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^2\) conserve les distances sans être affine. Quelle étape de la démonstration utilise le caractère euclidien de la norme ?

Exercice 20 : Théorème de Desargues affine

Soient \(ABC\) et \(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\) deux triangles non aplatis du plan, à sommets deux à deux distincts, tels que \((AB) \parallel (A^{\prime}B^{\prime})\) et \((BC) \parallel (B^{\prime}C^{\prime})\).

1. On suppose que les droites \((AA^{\prime})\), \((BB^{\prime})\), \((CC^{\prime})\) sont concourantes en un point \(O\) situé hors des droites \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\) et distinct des six sommets. Montrer que \((AC) \parallel (A^{\prime}C^{\prime})\).
2. On suppose maintenant que \((AA^{\prime})\), \((BB^{\prime})\), \((CC^{\prime})\) sont parallèles et distinctes. Montrer encore que \((AC) \parallel (A^{\prime}C^{\prime})\).

Exercice 21 : Théorème de Pappus affine

Soient \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) deux droites du plan sécantes en \(O\). Soient \(A, B, C\) trois points de \(\mathcal{D}\) et \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\) trois points de \(\mathcal{D}^{\prime}\), tous distincts de \(O\). On suppose \((AB^{\prime}) \parallel (BA^{\prime})\) et \((BC^{\prime}) \parallel (CB^{\prime})\).

1. Montrer qu’il existe une homothétie \(h_1\) de centre \(O\) telle que \(h_1(A) = B\) et \(h_1(B^{\prime}) = A^{\prime}\).
2. Montrer de même qu’il existe une homothétie \(h_2\) de centre \(O\) telle que \(h_2(B) = C\) et \(h_2(C^{\prime}) = B^{\prime}\).
3. Montrer que \(h_1 \circ h_2 = h_2 \circ h_1\).
4. En déduire que \((AC^{\prime}) \parallel (CA^{\prime})\).

Exercice 22 : Problème : étude complète d’une affinité du plan

On considère l’application \(f\) du plan définie par \(f(x, y) = (-2x – 3y + 3,\ y)\), la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(x + y = 1\) et le vecteur \(u = (1, 0)\).

1. Montrer que \(f\) est affine et bijective. Donner la matrice de sa partie linéaire \(\varphi\).
2. Déterminer l’ensemble des points fixes de \(f\).
3. Déterminer \(\ker(\varphi + 2\,\mathrm{id})\) et vérifier que \(\mathbb{R}^2 = \vec{\mathcal{D}} \oplus \mathrm{Vect}(u)\).
4. Déterminer la projection \(p\) sur \(\mathcal{D}\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}(u)\). Montrer que \(f\) est l’affinité de base \(\mathcal{D}\), de direction \(\mathrm{Vect}(u)\) et de rapport \(-2\).
5. Soit \(s\) la symétrie par rapport à \(\mathcal{D}\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}(u)\). Calculer \(f \circ s\) et reconnaître cette application.
6. Plus généralement, soit \(a_k\) l’affinité de base \(\mathcal{D}\), de direction \(\mathrm{Vect}(u)\) et de rapport \(k\). Montrer que \(a_k \circ a_m = a_{km}\). En déduire l’expression de \(f^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
7. Déterminer l’image par \(f\) du carré \(K\) de sommets \(O(0, 0)\), \(I(1, 0)\), \(L(1, 1)\), \(J(0, 1)\), ainsi que son aire.
8. Déterminer l’image par \(f\) de la droite \(\Delta\) d’équation \(y = 2x\), et vérifier qu’elle passe par le point \(\Delta \cap \mathcal{D}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : géométrie affine, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Produit scalaire et espaces euclidiens
• Chapitre précédent : Variables aléatoires à densité
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3