Topologie de R^n : cours de maths en L2 en PDF.

Une norme sur \(\mathbb{R}^n\) est une application \(N : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+\) qui vérifie, pour tous \(x, y \in \mathbb{R}^n\) et tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) :

• la séparation : \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) ;
• l’homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda| \, N(x)\) ;
• l’inégalité triangulaire : \(N(x + y) \leq\, N(x) + N(y)\).

Pour toute norme \(N\) et tous \(x, y \in \mathbb{R}^n\), on a l’inégalité triangulaire renversée \(\big|N(x) – N(y)\big| \leq\, N(x – y)\).

On écrit \(x = (x – y) + y\). L’inégalité triangulaire donne \(N(x) \leq\, N(x – y) + N(y)\), donc \(N(x) – N(y) \leq\, N(x – y)\). En échangeant les rôles de \(x\) et \(y\), on obtient \(N(y) – N(x) \leq\, N(y – x) = N(x – y)\). Les deux inégalités donnent le résultat.

Pour \(x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\), on pose :

\[\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|, \qquad \|x\|_2 = \Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\Big)^{1/2}, \qquad \|x\|_\infty = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} |x_i|.\]

Ce sont respectivement la norme 1, la norme euclidienne et la norme infinie.

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}^n\), on a \(\Big|\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i\Big| \leq\, \|x\|_2 \, \|y\|_2\). Par conséquent, \(\|\cdot\|_2\) vérifie l’inégalité triangulaire (inégalité de Minkowski).

On note \(\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i\). Si \(y = 0\), l’inégalité est évidente. Sinon, pour tout réel \(t\), on a \(0 \leq\, \|x + t y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + 2t\langle x, y \rangle + t^2 \|y\|_2^2\). Ce trinôme en \(t\) garde un signe constant, donc son discriminant est négatif ou nul : \(4\langle x, y \rangle^2 – 4\|x\|_2^2 \|y\|_2^2 \leq\, 0\). D’où l’inégalité.

Ensuite, \(\|x + y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|_2^2 \leq\, \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\|y\|_2 + \|y\|_2^2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\). On prend la racine carrée, ce qui conclut.

Pour \(x = (2, -3, 6)\), on trouve \(\|x\|_1 = 11\), \(\|x\|_2 = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7\) et \(\|x\|_\infty = 6\). On observe que \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\). Ce n’est pas un hasard, comme on le verra dans la partie III.

Pour montrer que \(N\) est une norme, on vérifie d’abord que \(N\) est à valeurs positives. Ensuite, on traite la séparation : on suppose \(N(x) = 0\) et on prouve \(x = 0\). On vérifie l’homogénéité par un calcul direct. Enfin, l’inégalité triangulaire se ramène souvent à celle de la valeur absolue, ou à Cauchy-Schwarz. Pour montrer que \(N\) n’est pas une norme, un seul contre-exemple suffit : un vecteur non nul d’image nulle, ou deux vecteurs qui mettent en défaut un axiome.

L’application \(N(x, y) = |x|\) n’est pas une norme sur \(\mathbb{R}^2\), car \(N(0, 1) = 0\) alors que \((0,1) \neq 0\). De même, \(N(x,y) = x^2 + y^2\) n’est pas homogène : \(N(2, 0) = 4 \neq 2 \, N(1, 0)\).

Soit \(N\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\). La distance associée est \(d(x, y) = N(x – y)\). Pour \(a \in \mathbb{R}^n\) et \(r > 0\), on définit :

• la boule ouverte \(B(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid N(x – a) < r\}\) ;
• la boule fermée \(B_f(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid N(x – a) \leq\, r\}\) ;
• la sphère \(S(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid N(x – a) = r\}\).

Toute boule, ouverte ou fermée, est convexe : si \(x, y \in B(a, r)\) et \(t \in [0, 1]\), alors \((1-t)x + ty \in B(a, r)\).

On écrit \((1-t)x + ty – a = (1-t)(x – a) + t(y – a)\). L’inégalité triangulaire et l’homogénéité donnent \(N\big((1-t)x + ty – a\big) \leq\, (1-t)N(x-a) + tN(y-a) < (1-t)r + tr = r\). La preuve est identique pour la boule fermée, avec des inégalités larges.

Ce résultat fournit un test rapide. Si l’ensemble \(\{N \leq\, 1\}\) n’est pas convexe, alors \(N\) n’est pas une norme. Par exemple, \(N(x,y) = (\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|})^2\) a une « boule unité » en forme d’étoile à bords courbés vers l’intérieur. Ainsi, elle ne vérifie pas l’inégalité triangulaire.

Une partie \(A\) de \(\mathbb{R}^n\) est bornée pour la norme \(N\) s’il existe \(M \geq\, 0\) tel que \(N(x) \leq\, M\) pour tout \(x \in A\). Autrement dit, \(A\) est contenue dans une boule centrée en \(0\).

La partie \(A = \{(x, y) \mid x^4 + y^4 \leq\, 1\}\) est bornée. En effet, \(x^4 \leq\, 1\) et \(y^4 \leq\, 1\), donc \(\|(x,y)\|_\infty \leq\, 1\). En revanche, l’hyperbole \(\{xy = 1\}\) n’est pas bornée : elle contient les points \((k, 1/k)\), dont la norme infinie vaut \(k\).

Soit \(N\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\) et \((u_k)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). On dit que \((u_k)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}^n\) pour \(N\) si \(N(u_k – \ell) \to 0\), c’est-à-dire :

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists K \in \mathbb{N},\ \forall k \geq\, K,\ N(u_k – \ell) < \varepsilon.\]

Deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}^n\) sont équivalentes s’il existe deux réels \(\alpha, \beta > 0\) tels que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), \(\alpha N(x) \leq\, N^{\prime}(x) \leq\, \beta N(x)\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\) :

\[\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1 \leq\, \sqrt{n}\,\|x\|_2 \leq\, n \, \|x\|_\infty.\]

En particulier, les trois normes usuelles sont deux à deux équivalentes.

Soit \(i_0\) un indice tel que \(|x_{i_0}| = \|x\|_\infty\). Alors \(\|x\|_\infty^2 = x_{i_0}^2 \leq\, \sum x_i^2\), d’où la première inégalité. Ensuite, en développant \(\big(\sum |x_i|\big)^2\), on obtient \(\sum x_i^2\) plus des doubles produits positifs, ce qui donne la deuxième. Pour la troisième, on applique Cauchy-Schwarz aux vecteurs \((1, \ldots, 1)\) et \((|x_1|, \ldots, |x_n|)\) : \(\sum |x_i| \leq\, \sqrt{n}\, \|x\|_2\). Enfin, \(\sum x_i^2 \leq\, n \|x\|_\infty^2\), d’où la dernière.

Pour comparer deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\), on cherche d’abord une majoration \(N^{\prime}(x) \leq\, \beta N(x)\) par des inégalités terme à terme ou par Cauchy-Schwarz. Ensuite, on cherche une minoration \(N^{\prime}(x) \geq\, \alpha N(x)\). Pour prouver qu’une constante est optimale, on exhibe un vecteur pour lequel l’inégalité est une égalité. Souvent, un vecteur de la base canonique ou le vecteur \((1, \ldots, 1)\) suffit.

Sur \(\mathbb{R}^n\), toutes les normes sont équivalentes.

Une suite \(u_k = (u_{k,1}, \ldots, u_{k,n})\) converge vers \(\ell = (\ell_1, \ldots, \ell_n)\) si et seulement si, pour tout \(i\), la suite réelle \((u_{k,i})_k\) converge vers \(\ell_i\).

On utilise la norme infinie. Pour tout \(i\), on a \(|u_{k,i} – \ell_i| \leq\, \|u_k – \ell\|_\infty\), d’où le sens direct. Réciproquement, si chaque coordonnée converge, alors \(\|u_k – \ell\|_\infty = \max_i |u_{k,i} – \ell_i|\) est le maximum d’un nombre fini de suites qui tendent vers \(0\). Il tend donc vers \(0\).

L’équivalence des normes est fausse en dimension infinie. Sur l’espace des polynômes, \(N_1(P) = \sum |a_k|\) et \(N_\infty(P) = \max |a_k|\) ne sont pas équivalentes : pour \(P = 1 + X + \cdots + X^m\), on a \(N_1(P) = m + 1\) et \(N_\infty(P) = 1\). Cette remarque sort du cadre de \(\mathbb{R}^n\), mais elle montre le rôle de la dimension finie.

Une partie \(U\) de \(\mathbb{R}^n\) est un ouvert si, pour tout \(a \in U\), il existe \(r > 0\) tel que \(B(a, r) \subset U\). Une partie \(F\) est un fermé si son complémentaire \(\mathbb{R}^n \setminus F\) est un ouvert.

Une boule ouverte est un ouvert. Une boule fermée et une sphère sont des fermés.

Soit \(x \in B(a, r)\) et \(\rho = r – \|x – a\| > 0\). Pour \(y \in B(x, \rho)\), on a \(\|y – a\| \leq\, \|y – x\| + \|x – a\| < \rho + \|x – a\| = r\). Donc \(B(x, \rho) \subset B(a, r)\). Les autres assertions se démontrent de la même façon sur le complémentaire, ou plus rapidement grâce au théorème de la partie suivante.

Les parties \(\emptyset\) et \(\mathbb{R}^n\) sont à la fois ouvertes et fermées. Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert ; une intersection finie d’ouverts est un ouvert. Par passage au complémentaire, une intersection quelconque de fermés est un fermé, et une réunion finie de fermés est un fermé.

Une partie \(F\) de \(\mathbb{R}^n\) est fermée si et seulement si, pour toute suite \((u_k)\) d’éléments de \(F\) qui converge vers \(\ell \in \mathbb{R}^n\), on a \(\ell \in F\).

Supposons \(F\) fermé et soit \((u_k)\) une suite de \(F\) de limite \(\ell\). Par l’absurde, si \(\ell \notin F\), alors \(\ell\) appartient à l’ouvert \(\mathbb{R}^n \setminus F\). Il existe donc \(r > 0\) tel que \(B(\ell, r) \cap F = \emptyset\). Or \(u_k \in B(\ell, r)\) pour \(k\) assez grand, ce qui contredit \(u_k \in F\).

Réciproquement, supposons la propriété séquentielle et montrons que le complémentaire est ouvert. Par l’absurde, soit \(a \notin F\) tel qu’aucune boule \(B(a, r)\) ne soit incluse dans \(\mathbb{R}^n \setminus F\). Pour tout \(k \geq\, 1\), on choisit \(u_k \in F \cap B(a, \frac{1}{k})\). Alors \(u_k \to a\), donc \(a \in F\) : c’est absurde.

Pour montrer qu’une partie définie par des inégalités larges ou des égalités est fermée, on prend une suite \((u_k)\) de la partie qui converge vers \(\ell\). Ensuite, on passe à la limite dans les relations, coordonnée par coordonnée. Pour montrer qu’une partie est ouverte, on cherche explicitement un rayon \(r\) autour de chaque point, ou on montre que le complémentaire est fermé. Pour prouver qu’une partie n’est pas fermée, il suffit d’exhiber une suite de la partie qui converge hors de la partie.

La partie \(P = \{(x,y) \mid y \geq\, x^2\}\) est fermée. En effet, si \((x_k, y_k) \in P\) converge vers \((a, b)\), alors \(x_k \to a\) et \(y_k \to b\). En passant à la limite dans \(y_k \geq\, x_k^2\), on obtient \(b \geq\, a^2\), donc \((a, b) \in P\). En revanche, \(]0, 1] \times \mathbb{R}\) n’est pas fermée : la suite \((\frac{1}{k}, 0)\) converge vers \((0,0)\), qui n’est pas dans la partie.

Soit \(A \subset \mathbb{R}^n\) et \(a \in \mathbb{R}^n\).

• Le point \(a\) est intérieur à \(A\) s’il existe \(r > 0\) tel que \(B(a, r) \subset A\). L’ensemble de ces points est l’intérieur, noté \(\mathring{A}\).
• Le point \(a\) est adhérent à \(A\) si, pour tout \(r > 0\), \(B(a, r) \cap A \neq \emptyset\). L’ensemble de ces points est l’adhérence, notée \(\overline{A}\).
• La frontière de \(A\) est \(\mathrm{Fr}(A) = \overline{A} \setminus \mathring{A}\).

On a \(\mathring{A} \subset A \subset \overline{A}\). L’intérieur \(\mathring{A}\) est le plus grand ouvert contenu dans \(A\), et l’adhérence \(\overline{A}\) est le plus petit fermé contenant \(A\). De plus, \(A\) est ouvert si et seulement si \(A = \mathring{A}\), et fermé si et seulement si \(A = \overline{A}\). Enfin, le complémentaire de \(\overline{A}\) est l’intérieur du complémentaire de \(A\).

Caractérisation séquentielle de l’adhérence. Un point \(a\) appartient à \(\overline{A}\) si et seulement s’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge vers \(a\).

Si \(a \in \overline{A}\), on choisit, pour tout \(k \geq\, 1\), un point \(u_k \in A \cap B(a, \frac{1}{k})\). Alors \(\|u_k – a\| < \frac{1}{k}\), donc \(u_k \to a\). Réciproquement, si \(u_k \in A\) et \(u_k \to a\), toute boule \(B(a, r)\) contient les \(u_k\) pour \(k\) assez grand, donc rencontre \(A\).

Soit \(A\) la réunion du disque ouvert unité, du segment \([1, 2] \times \{0\}\) et du point \((2{,}5 ; 0{,}8)\). L’intérieur de \(A\) est le disque ouvert : en effet, une boule centrée sur le segment ou sur le point isolé déborde de \(A\). L’adhérence est la réunion du disque fermé, du segment et du point isolé. La figure ci-dessous représente ces trois ensembles.

Pour déterminer l’intérieur et l’adhérence d’une partie \(A\), on devine d’abord les réponses sur un dessin. Ensuite, on encadre : on exhibe un ouvert \(U \subset A\) et un fermé \(F \supset A\), ce qui donne \(U \subset \mathring{A}\) et \(\overline{A} \subset F\). Enfin, on montre les inclusions réciproques point par point : un point de \(A \setminus U\) n’est pas intérieur (une boule autour de lui déborde), et un point de \(F\) est limite d’une suite de \(A\).

Dans \(\mathbb{R}\), l’ensemble \(\mathbb{Q}\) est d’intérieur vide, car tout intervalle contient un irrationnel. Son adhérence est \(\mathbb{R}\), car tout réel est limite de ses approximations décimales. Par conséquent, \(\mathrm{Fr}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}\).

Théorème de Bolzano-Weierstrass. Toute suite bornée de \(\mathbb{R}^n\) admet une suite extraite convergente.

On raisonne par extractions successives, avec la norme infinie. La suite réelle \((u_{k,1})\) est bornée, donc elle admet une extraction \(\varphi_1\) telle que \((u_{\varphi_1(k),1})\) converge. Ensuite, la suite \((u_{\varphi_1(k),2})\) est bornée : on en extrait une sous-suite convergente, d’indices \(\varphi_1 \circ \varphi_2\). La première coordonnée converge toujours le long de cette nouvelle extraction. Après \(n\) étapes, toutes les coordonnées convergent le long de \(\varphi_1 \circ \cdots \circ \varphi_n\). Le corollaire de la partie III conclut.

Une partie \(K\) de \(\mathbb{R}^n\) est compacte si toute suite d’éléments de \(K\) admet une suite extraite qui converge vers un élément de \(K\).

Une partie de \(\mathbb{R}^n\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Soit \(K\) fermée et bornée, et \((u_k)\) une suite de \(K\). Elle est bornée, donc par Bolzano-Weierstrass elle admet une extraction convergente. Sa limite est dans \(K\), car \(K\) est fermée. Ainsi, \(K\) est compacte.

Réciproquement, soit \(K\) compacte. Si \(K\) n’était pas bornée, il existerait \(u_k \in K\) avec \(\|u_k\| \geq\, k\). Aucune extraction ne serait bornée, donc aucune ne convergerait : c’est absurde. Ensuite, si \(u_k \in K\) converge vers \(\ell\), une extraction converge vers un point de \(K\). Or cette extraction converge aussi vers \(\ell\), donc \(\ell \in K\) : \(K\) est fermée.

Les boules fermées et les sphères sont compactes. Le pavé \([0,1]^n\) est compact. En revanche, une droite est fermée mais non bornée, et la boule ouverte est bornée mais non fermée : aucune des deux n’est compacte.

Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) la base canonique et \(\beta = \max_i N(e_i) > 0\). D’abord, pour \(x = \sum x_i e_i\), on a \(N(x) \leq\, \sum |x_i| \, N(e_i) \leq\, \beta \|x\|_1\).

Ensuite, l’inégalité triangulaire renversée donne \(|N(x) – N(y)| \leq\, N(x – y) \leq\, \beta \|x – y\|_1\). Donc, si \(u_k \to x\) pour \(\|\cdot\|_1\), alors \(N(u_k) \to N(x)\).

La sphère \(S = \{x \mid \|x\|_1 = 1\}\) est fermée et bornée pour \(\|\cdot\|_1\), donc compacte. Soit \(\alpha = \inf_{x \in S} N(x)\) et \((u_k)\) une suite de \(S\) telle que \(N(u_k) \to \alpha\). Par compacité, une extraction converge vers \(x_0 \in S\), et \(N(x_0) = \alpha\). Comme \(x_0 \neq 0\), on a \(\alpha > 0\).

Enfin, pour \(x \neq 0\), le vecteur \(x / \|x\|_1\) est dans \(S\), donc \(N(x / \|x\|_1) \geq\, \alpha\). Par homogénéité, \(\alpha \|x\|_1 \leq\, N(x) \leq\, \beta \|x\|_1\).