Espaces Lp : QCM de maths en L3 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces \(L^p\) en L3 : inégalités de Jensen, Hölder et Minkowski, complétude, inclusions, densité et liens entre convergence \(L^p\) et convergence presque partout. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces L^p du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espaces Lp - QCM de maths en L3

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quel est l’exposant conjugué de \(p = 3\), utilisé dans l’inégalité de Hölder ?

A \(\frac23\)

B \(\frac32\)

C \(2\)

D \(\frac13\)

Question 2

Quel est l’énoncé de l’inégalité de Hölder, pour \(1 < p < +\infty\) ?

A \(\int|fg|\leqslant\|f\|_p\|g\|_p\)

B \(\|f+g\|_p\leqslant\|f\|_p+\|g\|_p\)

C \(\int|fg|\leqslant\|f\|_1\|g\|_1\)

D \(\int|fg|\leqslant\|f\|_p\|g\|_q\) avec \(\frac1p+\frac1q = 1\)

Question 3

Sur \([0,1]\) muni de la mesure de Lebesgue, pour \(1\leqslant p < q\leqslant+\infty\), quelle relation est vraie ?

A Aucune inclusion n’a lieu en général

B \(L^p\subset L^q\)

C \(L^p = L^q\)

D \(L^q\subset L^p\)

Question 4

Pour quelles valeurs de \(p\geqslant 1\) la fonction \(f(x) = x^{-1/3}\) appartient-elle à \(L^p(]0,1])\) ?

A \(1\leqslant p\leqslant 3\)

B \(1\leqslant p < 3\)

C \(p > 3\)

D Pour tout \(p\geqslant 1\)

Question 5

Sur \([1,+\infty[\) muni de la mesure de Lebesgue, la fonction \(f(x) = \frac1x\) :

A appartient à \(L^1\cap L^2\)

B appartient à \(L^1\) mais pas à \(L^2\)

C appartient à \(L^2\) mais pas à \(L^1\)

D n’appartient à aucun \(L^p\) avec \(p < +\infty\)

Question 6

Si \(f_n\to f\) dans \(L^p\) (\(1\leqslant p < +\infty\)), que peut-on affirmer en général ?

A \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\)

B \((f_n)\) converge vers \(f\) dans \(L^q\) pour tout \(q\geqslant 1\)

C Une sous-suite de \((f_n)\) converge vers \(f\) presque partout

D \((f_n)\) converge vers \(f\) presque partout

Question 7

Sur \([0,1]\), dans quel(s) sens la suite \(f_n = \sqrt{n}\,\mathbf{1}_{]0,\frac1n]}\) tend-elle vers \(0\) ?

A Presque partout et dans \(L^1\), mais pas dans \(L^2\)

B Presque partout, dans \(L^1\) et dans \(L^2\)

C Presque partout et dans \(L^2\), mais pas dans \(L^1\)

D Presque partout seulement

Question 8

Sur \([0,1]\), que vaut \(\|f\|_\infty\) pour \(f(x) = x^2 + 5\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)\) ?

A \(1\)

B \(0\)

C \(6\)

D \(5\)

Question 9

L’espace \(C_c(\mathbb{R})\) des fonctions continues à support compact est dense dans \(L^p(\mathbb{R})\) pour :

A \(p = 2\) uniquement

B \(1\leqslant p < +\infty\)

C \(1 < p < +\infty\) uniquement

D \(1\leqslant p\leqslant+\infty\)

Question 10

Sur un espace probabilisé, pour \(f\) intégrable, que donne l’inégalité de Jensen avec la fonction convexe \(\exp\) ?

A \(\exp\left(\int f\,d\mu\right) = \int e^{f}\,d\mu\)

B \(\exp\left(\int f\,d\mu\right)\geqslant\int e^{f}\,d\mu\)

C \(\int e^{f}\,d\mu\leqslant\int f\,d\mu\)

D \(\exp\left(\int f\,d\mu\right)\leqslant\int e^{f}\,d\mu\)

🎉 QCM terminé !

0 / 10

Ce que vérifie ce QCM de espaces Lp en L3

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les inégalités de Hölder et de Minkowski, et l’exposant conjugué ;
l’inégalité de Jensen sur un espace probabilisé ;
les inclusions entre espaces \(L^p\) selon que la mesure est finie ou non ;
la norme \(L^\infty\) comme borne supérieure essentielle ;
le théorème de Riesz-Fischer et l’extraction d’une sous-suite presque partout ;
la densité des fonctions continues à support compact.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que \(L^q\subset L^p\) pour \(p < q\) sur n’importe quel espace mesuré. C’est vrai sur un espace de mesure finie ; sur \(\mathbb{R}\), \(\frac1x\mathbf{1}_{[1,+\infty[}\) est dans \(L^2\) sans être dans \(L^1\), et \(\frac{1}{\sqrt x}\mathbf{1}_{]0,1]}\) est dans \(L^1\) sans être dans \(L^2\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour savoir si une fonction est dans \(L^p\), séparez les problèmes locaux (singularités, qui favorisent les petits \(p\)) et les problèmes à l’infini (queues, qui favorisent les grands \(p\)), et comparez chaque morceau à \(x^{-\alpha}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths en L3

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Intégrale de Lebesgue, Fubini et changement de variables, Groupes et actions, Anneaux et idéaux. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L3 rassemble les 20 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi les éléments de \(L^p\) sont-ils des classes de fonctions ?

Pour que \(\|f\|_p = 0\) entraîne \(f = 0\). Une fonction nulle presque partout a une norme nulle : on identifie les fonctions égales presque partout pour que \(\|\cdot\|_p\) soit une vraie norme.

La convergence dans \(L^p\) implique-t-elle la convergence presque partout ?

Pas pour toute la suite, mais pour une sous-suite. La suite « machine à écrire » des indicatrices d’intervalles dyadiques glissants tend vers \(0\) dans \(L^p\) sans converger en aucun point.