Ce QCM vérifie la maîtrise des isométries, des endomorphismes symétriques et du théorème spectral en L2 : adjoint, groupe orthogonal, classification des isométries du plan et de l’espace, matrices symétriques positives et cas hermitien. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Isométries et théorème spectral - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace euclidien de matrice \(A\) dans une base orthonormée. Quelle est la matrice de son adjoint \(u^{*}\) dans cette base ?
Quelle est la nature de l’isométrie de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}\) en base orthonormée ?
AUne rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\)
BUne réflexion (symétrie orthogonale par rapport à un plan)
CUne symétrie centrale
DUne rotation d’angle \(\pi\) (retournement)
Question 4
Une rotation de \(\mathbb{R}^3\) a une matrice de trace \(0\) en base orthonormée. Quel est son angle (au signe près) ?
A\(\frac{2\pi}{3}\)
B\(\frac{\pi}{3}\)
C\(\pi\)
D\(\frac{\pi}{2}\)
Question 5
Que dit le théorème spectral pour une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) symétrique ?
A\(A\) est orthogonale.
BIl existe \(P\) orthogonale telle que \(P^{T}AP\) soit diagonale.
C\(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), mais ses valeurs propres peuvent être non réelles.
DLes valeurs propres de \(A\) sont toutes strictement positives.
Question 6
La matrice complexe \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ?
AOui, par le théorème spectral, car elle est symétrique.
BOui, car \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{C}\).
COui, car ses valeurs propres sont réelles.
DNon : \(A^2 = 0\) et \(A \neq 0\).
Question 7
Laquelle de ces matrices symétriques est définie positive ?
A\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)
Question 8
Soit \(u\) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Que dire de deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes ?
AIls sont en somme directe, sans être orthogonaux en général.
BL’un est inclus dans l’autre.
CIls sont supplémentaires dans l’espace.
DIls sont orthogonaux.
Question 9
Quelle est la nature de l’isométrie du plan de matrice \(\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}\) en base orthonormée ?
AUne rotation d’angle \(\theta\)
BUne rotation d’angle \(-\theta\)
CUne réflexion par rapport à la droite d’angle polaire \(\frac{\theta}{2}\)
DUne réflexion par rapport à la droite d’angle polaire \(\theta\)
Question 10
Si \(U \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est unitaire (\(U^{*}U = I_n\)), que peut-on dire de ses valeurs propres ?
AElles sont toutes de module \(1\).
BElles sont toutes réelles.
CElles sont toutes égales à \(1\).
DElles valent toutes \(1\) ou \(-1\).
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de isométries et théorème spectral en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
l’adjoint \(u^{*}\) et sa matrice \(A^{T}\) en base orthonormée ;
les matrices orthogonales, le groupe orthogonal et le déterminant \(\pm 1\) ;
la classification des isométries du plan et de l’espace : rotations, réflexions ;
le théorème spectral pour les endomorphismes symétriques ;
les matrices symétriques positives et définies positives ;
les endomorphismes normaux et unitaires en dimension complexe.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer le théorème spectral à une matrice symétrique complexe. \(\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\) est symétrique mais nilpotente non nulle, donc non diagonalisable ; l’analogue complexe concerne les matrices hermitiennes \(A^{*} = A\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour identifier une isométrie de \(\mathbb{R}^3\), calculez d’abord le déterminant (rotation ou non), puis la trace \(1 + 2\cos\theta\) pour l’angle, et enfin l’axe comme \(\ker(A – I_3)\) ; une matrice orthogonale symétrique est une symétrie orthogonale. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi les vecteurs propres d’une matrice symétrique réelle sont-ils orthogonaux ?
Si \(Ax = \lambda x\) et \(Ay = \mu y\) avec \(\lambda \neq \mu\), alors \(\lambda \langle x, y \rangle = \langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle = \mu \langle x, y \rangle\), donc \(\langle x, y \rangle = 0\).
Comment savoir rapidement qu’une matrice symétrique est définie positive ?
Ses valeurs propres doivent être toutes strictement positives ; en dimension \(2\), cela revient à une trace et un déterminant strictement positifs.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «isométries et théorème spectral : QCM de maths en L2» au format PDF.
