Intégrales généralisées : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des intégrales généralisées en L2 : définition comme limite, intégrales de référence de Riemann et de Bertrand, comparaison, convergence absolue, semi-convergence et calcul par intégration par parties ou changement de variable. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrales généralisées du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Intégrales généralisées - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) l’intégrale \(\int_0^1 \frac{dt}{t^{\alpha}}\) converge-t-elle ?

A \(\alpha \leqslant 1\)

B \(\alpha > 1\)

C \(\alpha < 1\)

D \(\alpha < 0\) seulement

Question 2

Que vaut \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(t+1)}\) ?

A \(\ln 2\)

B \(1\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(\ln \frac{3}{2}\)

Question 3

Que vaut \(\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}\) ?

A Elle diverge.

B \(\pi\)

C \(2\)

D \(\frac{\pi}{2}\)

Question 4

Quelle est la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) ?

A Convergente, mais non absolument convergente.

B Divergente, car \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}\) diverge.

C Divergente, car \(\sin t\) n’a pas de limite en \(+\infty\).

D Absolument convergente.

Question 5

Pour quels réels \(\beta\) l’intégrale de Bertrand \(\int_{2}^{+\infty} \frac{dt}{t (\ln t)^{\beta}}\) converge-t-elle ?

A \(\beta > 1\)

B \(\beta < 1\)

C \(\beta \geqslant 1\)

D \(\beta > 0\)

Question 6

Soit \(f\) continue et positive sur \([0, +\infty[\) telle que \(\int_0^{+\infty} f\) converge. A-t-on nécessairement \(f(t) \to 0\) quand \(t \to +\infty\) ?

A Oui, car \(f\) est continue.

B Oui, car \(f\) est positive.

C Oui, comme pour le terme général d’une série convergente.

D Non : \(f\) peut présenter des pics de hauteur \(1\) de plus en plus étroits.

Question 7

Que vaut \(\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\,dt\) ?

A \(6\)

B \(3\)

C \(2\)

D \(1\)

Question 8

À l’aide du changement de variable \(u = \sqrt t\), que vaut \(\int_0^{+\infty} e^{-\sqrt t}\,dt\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B \(2\)

C \(\sqrt{\pi}\)

D \(1\)

Question 9

Laquelle de ces intégrales est convergente ?

A \(\int_0^{1} \frac{dt}{t^{3/2}}\)

B \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt t}\)

C \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^{3/2}}\,dt\)

D \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t}\,dt\)

Question 10

Que signifie « \(f\) est intégrable sur l’intervalle \(I\) » pour une fonction \(f\) continue par morceaux ?

A L’intégrale \(\int_I f\) converge.

B La fonction \(f\) est bornée sur \(I\).

C La fonction \(f\) tend vers \(0\) aux bornes de \(I\).

D L’intégrale \(\int_I |f|\) converge.

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de intégrales généralisées en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition de \(\int_a^{+\infty} f\) comme limite de \(\int_a^x f\) ;
les intégrales de Riemann en \(+\infty\) et en \(0\), et les intégrales de Bertrand ;
les théorèmes de comparaison et d’équivalence pour les fonctions positives ;
la convergence absolue (intégrabilité) et les intégrales semi-convergentes ;
l’intégration par parties et le changement de variable sur un intervalle ouvert.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : transposer aux intégrales la condition nécessaire des séries. Une fonction continue, positive et intégrable sur \([0, +\infty[\) ne tend pas forcément vers \(0\) : elle peut présenter des pics de hauteur \(1\) de plus en plus étroits.

Comment réviser avant de refaire le test

Repérez d’abord chaque borne problématique (infinie, ou point où la fonction n’est pas bornée) et coupez l’intervalle pour les étudier séparément ; à chaque borne, cherchez un équivalent positif et comparez-le à \(1/t^{\alpha}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Intégrales généralisées, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Séries à termes positifs, Séries à termes quelconques, Diagonalisation, Trigonalisation et Cayley-Hamilton. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Peut-on intégrer par parties directement sur \(]0, +\infty[\) ?

Oui, à condition que le crochet \([uv]\) ait une limite finie aux deux bornes ; alors les deux intégrales restantes sont de même nature. Par prudence, on peut aussi travailler sur \([\varepsilon, X]\) puis passer à la limite.

Pourquoi \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}}\) et \(\int_0^1 \frac{dt}{t^{\alpha}}\) ont-elles des conditions opposées ?

En \(+\infty\), il faut que \(1/t^{\alpha}\) décroisse assez vite (\(\alpha > 1\)) ; en \(0\), il faut qu’elle n’explose pas trop vite (\(\alpha < 1\)). Pour \(\alpha = 1\), les deux divergent, à cause de \(\ln t\).