Séries à termes positifs : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des séries numériques à termes positifs en L2 : sommes partielles, comparaison, équivalents, séries de Riemann, comparaison série-intégrale et règles de d’Alembert et de Cauchy. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries numériques à termes positifs du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Séries à termes positifs - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \((u_n)\) une suite de réels positifs et \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\). Quelle condition est équivalente à la convergence de \(\sum u_n\) ?

A La suite \((u_n)\) tend vers \(0\).

B La suite \((S_n)\) est majorée.

C La suite \((S_n)\) est croissante.

D La suite \((u_n)\) est décroissante et tend vers \(0\).

Question 2

Que vaut \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B \(2\)

C \(\ln 2\)

D \(1\)

Question 3

Pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) la série de Riemann \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^{\alpha}}\) converge-t-elle ?

A \(\alpha > 1\)

B \(\alpha > \frac{1}{2}\)

C \(\alpha > 0\)

D \(\alpha \geqslant 1\)

Question 4

Quelle est la nature de la série \(\sum_{n \geqslant 0} \frac{n+1}{n^3+2}\), et pourquoi ?

A Divergente, car la série de terme \(n+1\) diverge.

B Divergente, car le terme général est équivalent à \(\frac{1}{n}\).

C Convergente, car le terme général est équivalent à \(\frac{1}{n^2}\).

D Convergente, par la règle de d’Alembert.

Question 5

On pose \(u_n = \frac{n!}{n^n}\). Quelle est la limite de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) ?

A \(0\)

B \(\frac{1}{e}\)

C \(1\)

D \(e\)

Question 6

Soit \((u_n)\) une suite positive qui tend vers \(0\). Que peut-on en déduire sur la série \(\sum u_n\) ?

A Elle converge.

B Elle converge dès que \((u_n)\) est décroissante.

C Rien : elle peut converger ou diverger.

D Elle diverge.

Question 7

Par comparaison série-intégrale, quel est un équivalent de \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) quand \(n \to +\infty\) ?

A \(\sqrt{n}\)

B \(\frac{\ln n}{2}\)

C \(\ln(\ln n)\)

D \(\ln n\)

Question 8

Quelle est la nature de \(\sum_{n \geqslant 1} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}\) ?

A Convergente, par la règle de Cauchy : \(\sqrt[n]{u_n} \to \frac{1}{2}\).

B Divergente grossièrement, car \(u_n \to \frac{1}{2}\).

C On ne peut pas conclure : \(\sqrt[n]{u_n} \to 1\).

D Divergente, par la règle de Cauchy : \(\sqrt[n]{u_n} \to 2\).

Question 9

On sait que \(u_n \sim v_n\) et que \(\sum v_n\) converge. Quelle hypothèse garantit la convergence de \(\sum u_n\) ?

A \((v_n)\) est de signe constant à partir d’un certain rang.

B Aucune : l’équivalence suffit toujours.

C \((u_n)\) tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\).

D \((u_n - v_n)\) tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\).

Question 10

Quel est un équivalent du reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\) ?

A \(\frac{\ln n}{n}\)

B \(\frac{1}{n^2}\)

C \(\frac{1}{2n^2}\)

D \(\frac{1}{n}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de séries à termes positifs en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la monotonie des sommes partielles : une série à termes positifs converge si et seulement si \((S_n)\) est majorée ;
la divergence grossière et les séries géométriques et télescopiques ;
les théorèmes de comparaison et d’équivalence et les séries de Riemann \(\sum 1/n^{\alpha}\) ;
la comparaison série-intégrale pour encadrer une somme partielle ;
les règles de d’Alembert et de Cauchy et leur cas douteux ;
les équivalents de sommes partielles et de restes.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : conclure qu’une série converge parce que son terme général tend vers \(0\). La série harmonique \(\sum 1/n\) diverge alors que \(1/n \to 0\) ; la condition \(u_n \to 0\) est nécessaire, jamais suffisante.

Comment réviser avant de refaire le test

Face à une série à termes positifs, cherchez d’abord un équivalent simple du terme général et comparez-le à une série de Riemann ; ne sortez la règle de d’Alembert que pour les termes contenant des factorielles ou des puissances \(n\)-ièmes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Séries numériques à termes positifs, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Séries à termes quelconques, Intégrales généralisées. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi la règle de d’Alembert ne conclut-elle pas quand la limite vaut \(1\) ?

Parce que les séries de Riemann ont toutes un rapport \(u_{n+1}/u_n \to 1\), qu’elles convergent (\(\alpha > 1\)) ou divergent (\(\alpha \leq\, 1\)). Il faut alors revenir à un équivalent ou à une comparaison.

Les théorèmes de comparaison valent-ils pour des séries de signe quelconque ?

Non : ils reposent sur la croissance des sommes partielles, donc sur la positivité (au moins à partir d’un certain rang). Pour des termes de signe variable, on passe par la convergence absolue.