Ce QCM vérifie la maîtrise des applications linéaires en L1 : noyau et image, injectivité, théorème du rang, isomorphismes, projecteurs, symétries et formes linéaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Applications linéaires du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Applications linéaires - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Laquelle de ces applications de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) est linéaire ?
A\((x, y) \mapsto (|x|, y)\)
B\((x, y) \mapsto (xy, x)\)
C\((x, y) \mapsto (x + y, 2x)\)
D\((x, y) \mapsto (x + 1, y)\)
Question 2
Pour \(f \in \mathcal{L}(E, F)\), à quelle condition \(f\) est-elle injective ?
ASi et seulement si \(\ker f = E\)
BSi et seulement si \(\ker f = \{0\}\)
CSi et seulement si \(\operatorname{Im} f = F\)
DSi et seulement si \(\dim E = \dim F\)
Question 3
Quel est l’énoncé du théorème du rang, pour \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) avec \(E\) de dimension finie ?
A\(\dim E = \dim \ker f \times \operatorname{rg} f\)
B\(E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f\)
C\(\dim F = \dim \ker f + \operatorname{rg} f\)
D\(\dim E = \dim \ker f + \operatorname{rg} f\)
Question 4
Soit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x + y, y + z)\). Quel est son noyau ?
Sur \(\mathbb{R}[X]\), que dire de la dérivation \(D : P \mapsto P'\) ?
AElle est surjective mais pas injective
BElle est bijective
CElle est injective mais pas surjective
DElle n’est ni injective ni surjective
Question 6
Un endomorphisme \(p\) de \(E\) est un projecteur si et seulement si :
A\(p \circ p = \mathrm{id}_E\)
B\(\ker p = \{0\}\)
C\(p \circ p = p\)
D\(p \circ p = 0\)
Question 7
Soit \(p\) un projecteur de \(E\). À quoi est égale son image \(\operatorname{Im} p\) ?
A\(\ker(p - \mathrm{id}_E)\)
B\(\ker(p + \mathrm{id}_E)\)
C\(\ker p\)
D\(E\) tout entier
Question 8
Quelle est la dimension de \(\{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = 0\}\) ?
A\(2\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(4\)
Question 9
Soit \(f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\), \(P \mapsto P(X + 1) - P(X)\). Quel est son noyau ?
ALes polynômes nuls en \(0\)
B\(\{0\}\)
C\(\mathbb{R}_1[X]\)
DLes polynômes constants
Question 10
Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) telle que \(f(1, 0) = (1, 2)\) et \(f(0, 1) = (3, 4)\). Que vaut \(f(2, -1)\) ?
A\((2, -4)\)
B\((-1, 0)\)
C\((-1, -2)\)
D\((5, 8)\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de applications linéaires en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la vérification de la linéarité d’une application ;
le calcul du noyau et de l’image, et la caractérisation de l’injectivité ;
le théorème du rang et ses conséquences en dimension finie ;
la détermination d’une application linéaire par l’image d’une base ;
les projecteurs, les symétries et les hyperplans.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer « injectif équivaut à surjectif » à un endomorphisme d’un espace de dimension infinie. La dérivation sur \(\mathbb{R}[X]\) est surjective mais pas injective.
Comment réviser avant de refaire le test
Dès que vous avez calculé le noyau, écrivez le théorème du rang : il donne la dimension de l’image sans calcul, et il suffit ensuite d’exhiber autant de vecteurs indépendants de l’image pour en avoir une base. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Quelle différence entre un projecteur et une symétrie ?
Un projecteur vérifie \(p \circ p = p\) et projette sur \(\operatorname{Im} p\) parallèlement à \(\ker p\). Une symétrie vérifie \(s \circ s = \mathrm{id}\) ; on a \(s = 2p – \mathrm{id}\) pour le projecteur \(p\) associé.
Pourquoi l’image d’une base suffit-elle à définir une application linéaire ?
Tout vecteur s’écrit de façon unique \(\sum x_i e_i\), et la linéarité impose \(f(x) = \sum x_i f(e_i)\). On peut donc choisir librement les \(f(e_i)\), et l’application obtenue est unique.
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