Bases et dimension : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des familles libres, des bases et de la dimension en L1 : base incomplète, dimension d’un sous-espace, rang d’une famille et formule de Grassmann. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Familles libres, bases et dimension du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Bases et dimension - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle de ces familles de \(\mathbb{R}^3\) est libre ?

A \(\big((1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)\big)\)

B \(\big((1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, -1)\big)\)

C \(\big((1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 0, 1)\big)\)

D \(\big((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)\big)\)

Question 2

Dans un espace \(E\) de dimension \(n\), laquelle de ces affirmations est vraie ?

A Toute famille libre a au moins \(n\) vecteurs

B Toute famille de \(n\) vecteurs est une base

C Toute famille libre a au plus \(n\) vecteurs

D Toute famille génératrice a au plus \(n\) vecteurs

Question 3

Quelle est la dimension du sous-espace des matrices symétriques de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ?

A \(3\)

B \(6\)

C \(5\)

D \(9\)

Question 4

Dans \(\mathbb{R}^5\), soient \(F\) et \(G\) des sous-espaces de dimensions \(3\) et \(4\). Que peut-on dire de \(\dim(F \cap G)\) ?

A Elle peut valoir \(0\)

B Elle vaut au moins \(2\)

C Elle vaut au moins \(1\), sans plus

D Elle vaut exactement \(2\)

Question 5

Que dit le théorème de la base incomplète dans un espace de dimension finie ?

A Toute famille génératrice peut être complétée en une base

B Toute famille libre peut être complétée en une base par n’importe quels vecteurs

C Toute famille libre est une base d’un supplémentaire

D Toute famille libre peut être complétée en une base par des vecteurs d’une famille génératrice donnée

Question 6

Quel est le rang de la famille \(\big((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 2, 1)\big)\) ?

A \(1\)

B \(0\)

C \(3\)

D \(2\)

Question 7

Quelles sont les coordonnées de \(P = X^2 + X + 1\) dans la base \(\big(1, X - 1, (X - 1)^2\big)\) de \(\mathbb{R}_2[X]\) ?

A \((3, 3, 1)\)

B \((3, 1, 1)\)

C \((1, 3, 3)\)

D \((1, 1, 1)\)

Question 8

Quelle est la dimension de \(\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x + y = 0 \text{ et } z - t = 0\}\) ?

A \(2\)

B \(3\)

C \(1\)

D \(4\)

Question 9

Dans un espace \(E\) de dimension \(3\), que peut-on dire d’une famille libre de \(3\) vecteurs ?

A C’est une base seulement si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux

B Elle n’est pas forcément génératrice

C C’est une base de \(E\)

D Elle est génératrice d’un plan de \(E\)

Question 10

Dans \(\mathbb{R}^3\), soient \(F = \{x + y + z = 0\}\) et \(G = \{x - y = 0\}\). Quel vecteur engendre \(F \cap G\) ?

A \((1, -1, 0)\)

B \((1, 1, 2)\)

C \((1, 1, 1)\)

D \((1, 1, -2)\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de bases et dimension en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les familles libres, liées et génératrices ;
les coordonnées d’un vecteur dans une base ;
le théorème de la base incomplète et la comparaison des cardinaux avec la dimension ;
la dimension d’un sous-espace défini par des équations ;
le rang d’une famille et la formule de Grassmann.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire qu’une famille de vecteurs deux à deux non colinéaires est libre. \((1,0)\), \((0,1)\), \((1,1)\) sont deux à deux non colinéaires, mais trois vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) sont toujours liés.

Comment réviser avant de refaire le test

Quand le nombre de vecteurs est égal à la dimension, ne vérifiez qu’une des deux propriétés (liberté ou caractère générateur) : l’autre en découle. Choisissez la plus rapide, souvent la liberté. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Familles libres, bases et dimension, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Développements limités, Espaces vectoriels, Applications linéaires, Matrices et changement de base. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi la dimension est-elle bien définie ?

Parce que, dans un espace engendré par \(n\) vecteurs, toute famille de \(n + 1\) vecteurs est liée (lemme d’échange). Deux bases ont donc le même cardinal, qu’on appelle la dimension.

Comment trouver la dimension d’un sous-espace défini par des équations ?

On résout le système par le pivot : la dimension est le nombre d’inconnues secondaires, et les vecteurs obtenus en donnant la valeur \(1\) à l’une d’elles et \(0\) aux autres forment une base.