Ce QCM vérifie la maîtrise des systèmes linéaires et du calcul matriciel en L1 : pivot de Gauss, forme échelonnée, produit et transposée, inverse et rang. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Systèmes linéaires et calcul matriciel du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Systèmes linéaires et matrices - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle est la solution du système \(x + y + z = 6\), \(x - y + z = 2\), \(2x + y - z = 1\) ?
A\((x, y, z) = (3, 2, 1)\)
B\((x, y, z) = (1, 2, 3)\)
C\((x, y, z) = (1, 3, 2)\)
D\((x, y, z) = (2, 2, 2)\)
Question 2
Laquelle de ces opérations sur les lignes d’un système peut modifier son ensemble de solutions ?
A\(L_2 \leftarrow 0 \cdot L_2\)
B\(L_1 \leftrightarrow L_3\)
C\(L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1\)
D\(L_2 \leftarrow -2L_2\)
Question 3
Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), que vaut \(AB\) ?
A\(\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\)
Question 4
Quel est l’inverse de \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) ?
Pour \(A\) et \(B\) carrées inversibles de même taille, laquelle de ces égalités est vraie ?
A\((AB)^{T} = A^{T}B^{T}\)
B\((AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}\)
C\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
D\((A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}\)
Question 6
Pour des matrices carrées \(A\) et \(B\) de taille \(n \geqslant 2\), laquelle de ces affirmations est vraie ?
AOn peut avoir \(A^2 = 0\) avec \(A \neq 0\)
BOn a toujours \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
COn a toujours \(AB = BA\)
DSi \(AB = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\)
Question 7
Quel est le rang de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) ?
A\(3\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(0\)
Question 8
Pour quelles valeurs du réel \(m\) le système \(x + y = 1\), \(x + my = 2\) admet-il une infinité de solutions ?
APour \(m = 2\)
BPour \(m \neq 1\)
CPour \(m = 1\)
DPour aucune valeur de \(m\)
Question 9
Un système linéaire compatible à \(4\) inconnues a une forme échelonnée à \(2\) pivots. Comment s’écrit l’ensemble de ses solutions ?
AC’est une solution unique
BAvec \(1\) paramètre libre
CAvec \(2\) paramètres libres, les inconnues secondaires
DAvec \(4\) paramètres libres
Question 10
Une matrice triangulaire supérieure \(A\) est inversible si et seulement si :
Atous ses coefficients au-dessus de la diagonale sont non nuls
Btous ses coefficients diagonaux sont non nuls
Celle est diagonale
Dau moins un coefficient diagonal est non nul
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de systèmes linéaires et matrices en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la méthode du pivot de Gauss et les opérations élémentaires sur les lignes ;
les inconnues principales et la description paramétrique des solutions ;
le produit matriciel, non commutatif, et la transposée ;
le calcul de l’inverse d’une matrice et le rang ;
la discussion d’un système selon un paramètre.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : développer \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\). Le produit matriciel n’est pas commutatif : en général \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\).
Comment réviser avant de refaire le test
Dans un pivot de Gauss, écrivez à chaque étape l’opération effectuée (\(L_2 arrow L_2 – 2L_1\)) et n’utilisez jamais une ligne que vous modifiez dans la même étape : c’est la condition pour que chaque opération reste inversible. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi les opérations élémentaires ne changent-elles pas les solutions ?
Chacune correspond à la multiplication à gauche par une matrice inversible \(E\) : \(AX = B\) équivaut à \(EAX = EB\). Multiplier une ligne par \(0\) n’est pas inversible, d’où son interdiction.
Comment calculer l’inverse d’une matrice par le pivot ?
On place \(A\) et \(I_n\) côte à côte et on applique les mêmes opérations sur les lignes jusqu’à transformer \(A\) en \(I_n\) ; la matrice obtenue à droite est \(A^{-1}\). Si un pivot manque, \(A\) n’est pas inversible.
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