Limites et continuité : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des limites et de la continuité en L1 : définition \(\varepsilon\)-\(\delta\), caractérisation séquentielle, valeurs intermédiaires, bornes atteintes et continuité uniforme. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Limites et continuité des fonctions du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Limites et continuité - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(f\) définie au voisinage de \(a\). Quelle phrase traduit \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ?

A \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ |x - a| \leqslant \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon\)

B \(\exists \delta > 0,\ \forall \varepsilon > 0,\ \forall x,\ |x - a| \leqslant \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon\)

C \(\forall \delta > 0,\ \exists \varepsilon > 0,\ \forall x,\ |x - a| \leqslant \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon\)

D \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ |f(x) - \ell| \leqslant \varepsilon \Rightarrow |x - a| \leqslant \delta\)

Question 2

Pourquoi \(x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) n’a-t-elle pas de limite en \(0\) ?

A Parce qu’elle n’est pas bornée au voisinage de \(0\)

B Avec \(x_n = \frac{1}{n\pi}\) et \(y_n = \frac{1}{\pi/2 + 2n\pi}\), les images tendent vers \(0\) et vers \(1\)

C Avec \(x_n = \frac{1}{n\pi}\), les images \(f(x_n)\) ne convergent pas

D Parce qu’elle n’est pas définie en \(0\)

Question 3

Par quelle valeur faut-il définir \(f(0)\) pour prolonger \(f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x}\) par continuité en \(0\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B \(0\)

C \(1\)

D \(2\)

Question 4

Combien l’équation \(x^5 + x - 1 = 0\) a-t-elle de solutions dans \([0, 1]\) ?

A Au moins deux

B Aucune

C Exactement deux

D Exactement une

Question 5

Quel exemple montre que l’hypothèse « segment » est indispensable dans le théorème des bornes atteintes ?

A \(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\)

B \(x \mapsto x^2\) sur \([0, 1]\)

C \(x \mapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0, 1]\)

D \(x \mapsto e^x\) sur \([0, 1]\)

Question 6

Laquelle de ces fonctions n’est pas uniformément continue sur son domaine ?

A \(x \mapsto x^2\) sur \(\mathbb{R}\)

B \(x \mapsto x^2\) sur \([0, 1]\)

C \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \([0, +\infty[\)

D \(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\)

Question 7

Que vaut \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}\) ?

A \(2\)

B \(0\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(1\)

Question 8

Que dire de la fonction partie entière \(x \mapsto \lfloor x \rfloor\) en \(1\) ?

A Elle a pour limite \(0\) à gauche et \(1\) à droite

B Elle a pour limite \(1\) à gauche et \(0\) à droite

C Elle a pour limite \(0\) à gauche et à droite

D Elle a pour limite \(1\) à gauche et à droite

Question 9

Soit \(f\) continue et strictement croissante sur un intervalle \(I\). Que dit le théorème de la bijection sur \(f^{-1} : f(I) \to I\) ?

A Elle est continue seulement si \(I\) est un segment

B Elle est continue et strictement croissante

C Elle est continue et strictement décroissante

D Elle est dérivable et strictement croissante

Question 10

Quelle est la caractérisation séquentielle de \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ?

A Il existe une suite \((u_n)\) du domaine tendant vers \(a\) telle que \(f(u_n) \to \ell\)

B Pour toute suite \((u_n)\) du domaine tendant vers \(a\), \(f(u_n) \to \ell\)

C Pour toute suite \((u_n)\) du domaine tendant vers \(a\), \((f(u_n))\) est bornée

D Pour toute suite \((u_n)\) telle que \(f(u_n) \to \ell\), \(u_n \to a\)

🎉 QCM terminé !

0 / 10

Ce que vérifie ce QCM de limites et continuité en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition \(\varepsilon\)-\(\delta\) d’une limite et les limites à gauche et à droite ;
la caractérisation séquentielle pour prouver qu’une limite n’existe pas ;
le prolongement par continuité ;
le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection ;
les fonctions continues sur un segment et le théorème de Heine.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : conclure qu’une limite existe parce qu’une suite \(u_n \to a\) donne \(f(u_n) \to \ell\). La caractérisation séquentielle exige que ce soit vrai pour toutes les suites qui tendent vers \(a\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour chaque grand théorème (TVI, bornes atteintes, Heine), gardez en tête un contre-exemple qui montre l’utilité de chaque hypothèse : fonction discontinue, intervalle ouvert, intervalle non borné. C’est ce que les questions de raisonnement testent. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Limites et continuité des fonctions, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Nombres réels, Suites numériques, Dérivation, Fonctions usuelles. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quelle différence entre continuité et continuité uniforme ?

Dans la continuité en chaque point, le \(\delta\) dépend de \(\varepsilon\) et du point ; dans la continuité uniforme, un même \(\delta\) convient pour tous les points. Sur un segment, le théorème de Heine assure que les deux notions coïncident.

Le théorème des valeurs intermédiaires donne-t-il l’unicité ?

Non, il donne seulement l’existence. Pour l’unicité, il faut un argument supplémentaire, typiquement la stricte monotonie, qui conduit au théorème de la bijection.