Récurrence et dénombrement : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de la récurrence, des sommes et du dénombrement en L1 : sommes usuelles et télescopiques, listes, arrangements, combinaisons et binôme de Newton. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Entiers naturels, récurrence et dénombrement du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Récurrence et dénombrement - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), que vaut \(\sum_{k=1}^{n} k^2\) ?

A \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

B \(\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\)

C \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3}\)

D \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)

Question 2

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), que vaut \(\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}\) ?

A \(\dfrac{n+1}{n}\)

B \(\dfrac{1}{n+1}\)

C \(\dfrac{n}{n+1}\)

D \(1 - \dfrac{1}{n}\)

Question 3

Combien d’anagrammes (mots distincts, avec ou sans sens) peut-on former avec les lettres du mot ANANAS ?

A \(720\)

B \(30\)

C \(120\)

D \(60\)

Question 4

Quel est le coefficient de \(x^3\) dans le développement de \((1 + 2x)^5\) ?

A \(80\)

B \(32\)

C \(10\)

D \(40\)

Question 5

Pour \(n \in \mathbb{N}\), que vaut \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k\) ?

A \(2^{n+1}\)

B \(4^n\)

C \(2^n\)

D \(3^n\)

Question 6

Quelle est la formule de Pascal, pour \(0 \leqslant k \leqslant n - 1\) ?

A \(\binom{n}{k} + \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{k+1}\)

B \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\)

C \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k}\)

D \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n}{k+2}\)

Question 7

Combien y a-t-il d’applications injectives de \(\{1, 2, 3\}\) dans \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) ?

A \(243\)

B \(60\)

C \(125\)

D \(10\)

Question 8

On note \(P(n)\) : « \(9\) divise \(10^n + 1\) ». Que peut-on affirmer ?

A \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\) pour tout \(n\), mais \(P(n)\) est fausse pour tout \(n\)

B L’hérédité \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\) est fausse

C \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\), par récurrence

D \(P(n)\) est vraie à partir d’un certain rang

Question 9

Par le changement d’indice \(j = k - 1\), à quoi est égale \(\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)^2\) ?

A \(\sum_{j=1}^{n+1} j^2\)

B \(\sum_{j=2}^{n+1} j^2\)

C \(\sum_{j=3}^{n+2} j^2\)

D \(\sum_{j=1}^{n} j^2\)

Question 10

Pour montrer que tout entier \(n \geqslant 2\) admet un diviseur premier, quelle récurrence est la plus naturelle ?

A Une récurrence simple

B Une récurrence descendante

C Une récurrence forte

D Une récurrence double

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de récurrence et dénombrement en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la rédaction d’une récurrence simple ou forte, avec son initialisation ;
les changements d’indice et les sommes télescopiques ;
le dénombrement des arrangements, des injections et des anagrammes ;
la formule de Pascal et la formule du binôme \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} a^k b^{n-k}\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : ne vérifier que l’hérédité. La propriété « \(9\) divise \(10^n + 1\) » est héréditaire, et pourtant fausse pour tout \(n\) : sans initialisation, une récurrence ne prouve rien.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour chaque formule de dénombrement, demandez-vous d’abord si l’ordre compte et si les répétitions sont permises : ces deux questions suffisent à choisir entre \(n^p\), \(\frac{n!}{(n-p)!}\) et \(\binom\,{n}{p}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Entiers naturels, récurrence et dénombrement, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Logique et ensembles, Applications et relations, Nombres complexes, Nombres réels. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quand faut-il une récurrence forte plutôt que simple ?

Quand, pour établir \(P(n+1)\), on a besoin d’une propriété \(P(k)\) pour un \(k\) quelconque inférieur à \(n+1\), et pas seulement de \(P(n)\). C’est le cas typique de la décomposition en facteurs premiers.

Comment démontrer une identité combinatoire par bijection ?

On interprète chaque membre comme le cardinal d’un ensemble fini, puis on construit une bijection entre ces deux ensembles, ou on compte un même ensemble de deux façons. La formule de Pascal s’obtient ainsi en distinguant les parties qui contiennent un élément fixé.