Ce QCM de maths spé porte sur les suites de fonctions : convergence simple et convergence uniforme, et les théorèmes de passage à la limite (continuité, double limite, intégration, dérivation, Weierstrass). Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Suites de fonctions : convergence simple et uniforme du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Suites de fonctions - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Une suite de fonctions bornées \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) si et seulement si :
Apour tout \(x \in I\), \(f_n(x) \to f(x)\)
Bpour tout \(x \in I\), \(\sup_{n} |f_n(x)| < +\infty\)
C\(\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| \to 0\)
D\(\|f_n\|_\infty \to \|f\|_\infty\)
Question 2
La suite de fonctions \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\) converge :
Asimplement vers la fonction nulle
Bsimplement vers une fonction discontinue, donc pas uniformément
Cuniformément vers la fonction nulle
Duniformément vers la fonction qui vaut \(0\) sur \([0,1[\) et \(1\) en \(1\)
Question 3
Pour \(f_n(x) = n x\,e^{-nx}\) sur \([0, +\infty[\), qui converge simplement vers \(0\), que vaut \(\|f_n\|_\infty\) ?
A\(\frac{e^{-1}}{n}\), donc convergence uniforme vers \(0\)
B\(e^{-1}\), donc pas de convergence uniforme vers \(0\)
C\(0\), donc convergence uniforme vers \(0\)
D\(n\,e^{-1}\), donc la suite n’est pas bornée
Question 4
Pour montrer que \(x^n\) ne converge pas uniformément vers \(0\) sur \([0,1[\), on évalue en \(x_n = 1 - \frac{1}{n}\). Vers quoi tend \(x_n^n\) ?
A\(0\)
B\(e\)
C\(1\)
D\(e^{-1}\)
Question 5
Soit \((f_n)\) des fonctions continues sur un intervalle \(I\), convergeant uniformément vers \(f\) sur tout segment de \(I\). Alors :
Ala convergence est uniforme sur \(I\) tout entier
B\(f\) est continue sur \(I\)
C\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\)
D\(f\) est continue sur \(I\) à condition que \(I\) soit un segment
Question 6
La suite \(f_n(x) = n^2 x (1 - x)^n\) converge simplement vers \(0\) sur \([0,1]\), et \(\int_0^1 f_n = \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} \to 1\). On en déduit que :
Ala convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\)
Bla limite simple n’est pas continue sur \([0,1]\)
Cla convergence est uniforme sur \([0,1]\)
Dl’intégrale de la limite simple vaut \(1\)
Question 7
Soit \((f_n)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\), convergeant simplement vers \(f\). Quelle hypothèse supplémentaire garantit que \(f\) est \(\mathcal{C}^1\) avec \(f' = \lim f_n'\) ?
A\((f_n)\) converge uniformément sur \(I\)
B\((f_n')\) est uniformément bornée sur \(I\)
C\((f_n')\) converge simplement sur \(I\)
D\((f_n')\) converge uniformément sur tout segment de \(I\)
Question 8
On pose \(f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\) sur \(\mathbb{R}\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(f_n\) ne converge pas uniformément, car \((f_n')\) diverge
B\(f_n \to 0\) simplement mais pas uniformément
C\(f_n \to 0\) uniformément, mais \((f_n')\) ne converge pas simplement
D\(f_n' \to 0\) uniformément sur \(\mathbb{R}\)
Question 9
Quel énoncé est le théorème de Weierstrass ?
Atoute fonction bornée sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales
Btoute fonction continue sur un intervalle quelconque est limite uniforme de fonctions polynomiales
Ctoute fonction continue sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales
Dtoute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales
Question 10
Pour \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1[\), on a \(\lim_{n} \lim_{x \to 1^-} f_n(x) = 1\) et \(\lim_{x \to 1^-} \lim_{n} f_n(x) = 0\). Cela prouve que :
Ala convergence n’est pas uniforme sur \([0,1[\)
Bla convergence n’est uniforme sur aucun segment \([0,a]\) avec \(a < 1\)
Cla limite simple n’est pas continue sur \([0,1[\)
Dle théorème de la double limite est faux
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de suites de fonctions en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la convergence uniforme traduite par \(\|f_n – f\|_\infty \to 0\) ;
la non-convergence uniforme prouvée par une suite de points ;
la continuité d’une limite uniforme, éventuellement sur tout segment ;
l’interversion limite-intégrale sur un segment ;
le théorème de dérivation et le théorème de Weierstrass.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : pour la dérivation, vérifier la convergence uniforme de \((f_n)\) au lieu de celle des dérivées \((f_n’)\). La suite \(\frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\) converge uniformément vers \(0\) alors que ses dérivées divergent en \(0\).
Comment réviser avant de refaire le test
Commencez toujours par la limite simple \(f\), puis étudiez \(\sup |f_n – f|\) : un tableau de variations de \(f_n – f\) donne souvent le maximum exactement. Si le sup ne tend pas vers \(0\), essayez une suite de points \(x_n\) qui « suit » la bosse, comme \(x_n = \frac{1}{n}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi parler de convergence uniforme « sur tout segment » ?
La continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales : il suffit de la convergence uniforme au voisinage de chaque point, donc sur tout segment, même si elle échoue sur l’intervalle entier.
La convergence simple d’une suite de fonctions continues donne-t-elle une limite continue ?
Non : \(x^n\) sur \([0,1]\) converge simplement vers une fonction qui vaut \(0\) sur \([0,1[\) et \(1\) en \(1\), discontinue.
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