Espaces préhilbertiens réels : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths sup porte sur les espaces préhilbertiens réels : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale et distance à un sous-espace. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces préhilbertiens réels du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espaces préhilbertiens réels - QCM de maths sup

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Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle des applications suivantes définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\) (avec \(u = (x, y)\), \(u' = (x', y')\)) ?

A \((u, u') \mapsto 2xx' + xy' + x'y + yy'\)

B \((u, u') \mapsto xy' + x'y\)

C \((u, u') \mapsto xx' + xy' + yy'\)

D \((u, u') \mapsto xx' - yy'\)

Question 2

Dans un espace préhilbertien réel, dans quel cas a-t-on \(|\langle x, y \rangle| = \|x\|\,\|y\|\) ?

A si et seulement si \(x = y\)

B si et seulement si \(\|x\| = \|y\|\)

C si et seulement si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux

D si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires

Question 3

On orthonormalise la famille \(\left((1,1,0), (1,0,1)\right)\) de \(\mathbb{R}^3\) euclidien canonique par Gram-Schmidt. Quel est le second vecteur obtenu ?

A \(\frac{1}{\sqrt{6}}(1, -1, 2)\)

B \(\frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)\)

C \(\frac{1}{\sqrt{6}}(-1, 1, 2)\)

D \(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1)\)

Question 4

Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien canonique, quelle est la distance du vecteur \(u = (1, 2, 3)\) au plan \(F\) d’équation \(x + y + z = 0\) ?

A \(2\)

B \(6\)

C \(2\sqrt{3}\)

D \(\sqrt{6}\)

Question 5

Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien canonique, quel est le projeté orthogonal de \(u = (1, 2, 3)\) sur la droite \(\mathbb{R}(1,1,1)\) ?

A \((-1, 0, 1)\)

B \((2, 2, 2)\)

C \((1, 1, 1)\)

D \((6, 6, 6)\)

Question 6

Laquelle des affirmations sur les familles orthogonales d’un espace préhilbertien est vraie ?

A une famille orthogonale est toujours libre

B une famille orthogonale est toujours génératrice

C une famille libre est orthonormée à condition d’être normée

D une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre

Question 7

Quelle identité de polarisation permet de retrouver le produit scalaire à partir de la norme ?

A \(\langle x, y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\)

B \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)\)

C \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)\)

D \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2\right)\)

Question 8

Pour le produit scalaire canonique \(\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^{\top}B)\) sur \(M_2(\mathbb{R})\), quelle est la norme de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\) ?

A \(9\)

B \(\sqrt{5}\)

C \(3\)

D \(1\)

Question 9

Soit \(F\) un sous-espace d’un espace préhilbertien réel \(E\). Quand a-t-on la garantie que \(E = F \oplus F^{\perp}\) ?

A dès que \(F^{\perp}\) est de dimension finie

B dès que \(F\) est de dimension finie

C dans tous les cas

D seulement si \(E\) est de dimension finie

Question 10

Sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de \(\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\), quel est le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(\mathbb{R}_1[X]\) ?

A \(X\)

B \(X - \frac{1}{3}\)

C \(\frac{1}{3}\)

D \(X - \frac{1}{6}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de espaces préhilbertiens réels en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition d’un produit scalaire : forme bilinéaire symétrique définie positive ;
l’inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d’égalité ;
les identités de polarisation et le théorème de Pythagore ;
l’orthonormalisation de Gram-Schmidt ;
la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie et la distance à ce sous-espace.

L’erreur la plus fréquente

\(E = F \oplus F^{\perp}\) est garanti quand \(F\) est de dimension finie, mais peut échouer si \(F\) est de dimension infinie dans un espace préhilbertien : c’est l’hypothèse qui assure l’existence du projeté orthogonal.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour calculer un projeté sur \(F\), commencez par une base orthonormée de \(F\) (Gram-Schmidt) : la formule \(p_F(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i\) ne vaut que dans ce cas. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Probabilités sur un univers fini, Espérance et variance, Fonctions de deux variables. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Comment vérifier qu’une application est un produit scalaire ?

On vérifie la symétrie, la linéarité à gauche (la droite suit par symétrie), la positivité \(\langle x, x \rangle \geq\, 0\) et le caractère défini : \(\langle x, x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0\).

À quoi servent les moindres carrés ?

Minimiser \(\|y – Ax\|\) revient à chercher le projeté orthogonal de \(y\) sur l’image de \(A\) : l’optimum est caractérisé par l’orthogonalité du résidu à cette image.