Ce QCM teste les fondements de l’analyse en MPSI : la propriété de la borne supérieure, les limites de suites et les grands théorèmes de convergence. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Nombres réels et suites numériques du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Nombres réels et suites - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(A = \left\{(-1)^n + \frac{1}{n},\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Quelle affirmation est vraie ?
A\(\sup A = 1\) et \(\inf A = -1\)
B\(\sup A = 2\) et \(\inf A = -1\)
C\(\sup A = \frac{3}{2}\) et \(\inf A = -1\)
D\(\sup A = \frac{3}{2}\) et \(\inf A = 0\)
Question 2
Que dit la propriété de la borne supérieure ?
AToute partie majorée de \(\mathbb{R}\) admet un plus grand élément
BToute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) admet une borne supérieure
CToute partie non vide et majorée de \(\mathbb{Q}\) admet une borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\)
DToute partie non vide de \(\mathbb{R}\) admet une borne supérieure réelle
Question 3
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) et \(M\) un majorant de \(A\). À quelle condition a-t-on \(M = \sup A\) ?
A\(\forall a \in A,\ \exists \varepsilon > 0,\ a > M - \varepsilon\)
B\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a > M - \varepsilon\)
C\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a \geqslant M + \varepsilon\)
D\(\exists \varepsilon > 0,\ \forall a \in A,\ a > M - \varepsilon\)
Question 4
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent toutes deux vers \(\ell\). Que peut-on conclure ?
A\((u_n)\) converge vers \(\ell\) seulement si elle est monotone
B\((u_n)\) est bornée mais peut diverger
C\((u_n)\) converge vers \(\ell\)
DOn ne peut rien conclure sur \((u_n)\)
Question 5
À quelle condition deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) sont-elles adjacentes ?
AL’une est croissante, l’autre décroissante, et \(v_n - u_n \to 0\)
BL’une est croissante, l’autre décroissante, et \(u_n \leqslant v_n\) pour tout \(n\)
C\(u_n \leqslant v_n\) pour tout \(n\) et \(v_n - u_n \to 0\)
DElles sont monotones, bornées et de même sens de variation
Question 6
Soit \(x \in \mathbb{R}\). Que vaut \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor\) ?
A\(0\)
B\(x\)
C\(\frac{x^2}{2}\)
D\(\frac{x}{2}\)
Question 7
Quel énoncé est le théorème de Bolzano-Weierstrass ?
AToute suite réelle bornée admet une suite extraite monotone et divergente
BToute suite réelle admet une suite extraite convergente
CToute suite réelle bornée admet une suite extraite convergente
DToute suite réelle bornée est convergente
Question 8
Soit \(x \in \mathbb{R}\). Quelle suite est formée de rationnels et converge vers \(x\) ?
A\(r_n = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{n + 1}\)
B\(r_n = x + \frac{1}{10^n}\)
C\(r_n = \frac{\lfloor n x \rfloor}{10^n}\)
D\(r_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\)
Question 9
Soit \((u_n)\) une suite croissante telle que \(u_n < 1\) pour tout \(n\). Que peut-on affirmer ?
A\((u_n)\) peut diverger
B\((u_n)\) converge vers un réel \(\ell \leqslant 1\)
C\((u_n)\) converge vers \(1\)
D\((u_n)\) converge vers un réel \(\ell < 1\)
Question 10
Quelle est la nature de la suite complexe \(z_n = \left(\frac{1 + i}{2}\right)^n\) ?
AElle converge vers \(0\)
BElle converge vers \(1\)
CElle diverge car son argument tourne
DElle est bornée mais diverge
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de nombres réels et suites en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la borne supérieure, sa caractérisation par \(\varepsilon\) et la différence avec un maximum ;
les théorèmes d’encadrement et le passage à la limite dans une inégalité ;
le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes ;
les suites extraites et le théorème de Bolzano-Weierstrass ;
la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) et les suites complexes.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : passer à la limite dans une inégalité stricte. Si \(u_n < 1\) pour tout \(n\) et \(u_n \to \ell\), on obtient seulement \(\ell \leq\, 1\) : la suite \(1 - \frac1n\) le montre.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’un réel \(M\) est une borne supérieure, rédigez toujours en deux temps : \(M\) est un majorant, puis pour tout \(\varepsilon > 0\) on exhibe un élément de la partie au-dessus de \(M – \varepsilon\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre borne supérieure et maximum ?
La borne supérieure est le plus petit des majorants ; c’est un maximum seulement si elle appartient à la partie. Ainsi \([0, 1[\) a pour borne supérieure \(1\) mais n’a pas de maximum.
Comment prouver qu’une suite diverge ?
Le plus efficace est d’exhiber deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes, ou une suite extraite qui tend vers l’infini.
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