Corrigé du contrôle de maths 5ème : puissances et expressions littérales

Exercice 1 : Carrés et cubes (4 points)

1. \(7^2 = 7 \times 7 = 49\) ; \(12^2 = 12 \times 12 = 144\) ; \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) ; \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\). Résultats : 49 ; 144 ; 1 000 ; 27.
2. \(5 \times 5 = 5^2\) ; \(4 \times 4 \times 4 = 4^3\) ; \(a \times a = a^2\) ; \(x \times x \times x = x^3\).
3. \(9 \times 9 = 81\) et \(11 \times 11 = 121\). Le nombre 9 a pour carré 81, et le nombre 11 a pour carré 121.
4. \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) alors que \(3 \times 2 = 6\). Et \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) alors que \(3^2 = 9\). On remarque que \(3^2 \neq 3 \times 2\) et que \(2^3 \neq 3^2\) : l’exposant indique combien de fois on multiplie le nombre par lui-même, il ne faut pas multiplier le nombre par l’exposant.

Erreur fréquente : calculer \(7^2\) comme \(7 \times 2 = 14\) au lieu de \(7 \times 7 = 49\).

Barème : a) 0,25 point par calcul ; b) 0,25 point par écriture ; c) 0,5 point par nombre ; d) 0,5 point pour les quatre calculs, 0,5 point pour la remarque.

Exercice 2 : Puissances et priorités (4 points)

On calcule d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications, puis les additions et soustractions.

1. \(A = 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11\). A = 11.
2. \(B = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20\). B = 20.
3. \(C = (4 + 1)^2 – 3 \times 2^3\)
   \(C = 5^2 – 3 \times 8\)
   \(C = 25 – 24\)
   \(C = 1\). C = 1.
4. \(D = 10^3 – 6^2 \times 2\)
   \(D = 1\,000 – 36 \times 2\)
   \(D = 1\,000 – 72\)
   \(D = 928\). D = 928.

Barème : 1 point par expression : 0,5 point pour les étapes dans le bon ordre, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : La maison de Lina (4 points)

1. Le contour extérieur est formé de 3 côtés du carré et de 2 côtés du triangle (le côté commun est à l’intérieur), soit 5 segments de longueur \(a\). \(P = 5 \times a\), qu’on écrit aussi \(P = 5a\).
2. L’aire du carré est \(a \times a = a^2\).
3. Pour \(a = 4\) : \(P = 5 \times 4 = 20\) et \(a^2 = 4^2 = 16\). Le périmètre de la maison est 20 cm et l’aire du carré est \(16\text{ cm}^2\).
4. On cherche \(a\) tel que \(5 \times a = 35\). Comme \(5 \times 7 = 35\), le périmètre vaut 35 cm pour \(a = 7\) cm.
5. Pour \(a = 4\) cm, l’aire du carré est \(4^2 = 16\text{ cm}^2\). Si on double le côté, \(a = 8\) cm et l’aire devient \(8^2 = 64\text{ cm}^2\). Or \(64 = 4 \times 16\) : l’aire est multipliée par 4. Lina a tort : quand le côté double, l’aire du carré est multipliée par 4.

Barème : a) 0,5 point pour le décompte des 5 côtés, 0,5 point pour la formule ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point par résultat avec son unité ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour l’exemple calculé, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 4 : Une suite de motifs en allumettes (4 points)

1. Le motif 1 utilise 4 allumettes, le motif 2 en utilise 7 et le motif 3 en utilise 10 : on ajoute 3 allumettes à chaque nouveau carré. Motif 4 : \(10 + 3 = 13\). Motif 5 : \(13 + 3 = 16\). Il faut 13 allumettes pour le motif 4 et 16 allumettes pour le motif 5.
2. Avec la formule de la question c) : \(3 \times 10 + 1 = 31\). On peut aussi continuer : 19, 22, 25, 28, 31 pour les motifs 6 à 10. Il faut 31 allumettes pour le motif 10.
3. Le motif \(n\) est formé de \(n\) carrés en ligne. Il y a \(n\) allumettes horizontales en haut, \(n\) allumettes horizontales en bas, et \(n + 1\) allumettes verticales (une de plus que de carrés). Au total : \(n + n + n + 1 = 3 \times n + 1\). La formule de Yanis est juste.
   Vérification : pour \(n = 3\), \(3 \times 3 + 1 = 10\), ce qui correspond à la figure.
4. On cherche \(n\) tel que \(3 \times n + 1 = 61\), c’est-à-dire \(3 \times n = 60\), donc \(n = 60 : 3 = 20\). Vérification : \(3 \times 20 + 1 = 61\). Oui : avec 61 allumettes, Yanis peut construire exactement le motif 20.

Barème : a) 0,5 point par motif ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour le décompte des allumettes, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour la démarche, 0,5 point pour le motif 20.

Exercice 5 : Un script à tester (4 points)

1. N = 2. R prend la valeur \(2 \times 2 = 4\). On ajoute 3 fois 2 à R : \(4 + 2 = 6\), puis \(6 + 2 = 8\), puis \(8 + 2 = 10\). Le lutin dit 10.
2. N = 5. R prend la valeur \(5 \times 5 = 25\), puis on ajoute 3 fois 5 : \(25 + 5 + 5 + 5 = 40\). Le lutin dit 40.
3. Au départ, R vaut \(N \times N = N^2\) ; ensuite on lui ajoute trois fois N, c’est-à-dire \(3 \times N\). \(R = N^2 + 3 \times N\) (ou \(R = N^2 + 3N\)).
4. Pour \(N = 10\) : \(N^2 + 3 \times N = 10^2 + 3 \times 10 = 100 + 30 = 130\).
   \(N \times (N + 3) = 10 \times (10 + 3) = 10 \times 13 = 130\).
   Les deux expressions donnent 130 pour \(N = 10\) : l’affirmation de Maïa est vérifiée pour cette valeur. (Une seule valeur ne suffit pas à prouver qu’elle est toujours vraie ; la distributivité permet de le démontrer.)

Barème : a) 0,5 point pour les étapes, 0,5 point pour 10 ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour \(N^2\), 0,5 point pour \(3 \times N\) ; d) 0,5 point par expression calculée.

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