Corrigé du brevet de maths 2017 aux centres étrangers

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Centres étrangers 2017 : sujet et corrigé du brevet de maths : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Vrai ou faux, trois affirmations à justifier

Affirmation 1. On se demande si le triangle ABC, avec \(AB = 65\), \(AC = 72\) et \(BC = 97\), est rectangle.

Le plus grand côté est [BC]. On calcule séparément :

\[BC^2 = 97^2 = 9\,409 \qquad AB^2 + AC^2 = 65^2 + 72^2 = 4\,225 + 5\,184 = 9\,409.\]

Comme \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Dans le triangle CAH rectangle en H, avec \(AH = 5\) et \(AC = 6\), on affirme que l’angle \(\widehat{CAH}\) mesure entre 30° et 35°.

L’hypoténuse est [AC] et [AH] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{CAH}\) :

\[\cos\widehat{CAH} = \frac{AH}{AC} = \frac{5}{6}, \qquad \text{donc} \qquad \widehat{CAH} = \arccos(\frac{5}{6}) \approx 33{,}6^\circ.\]

Comme \(30 \lt 33{,}6 \lt 35\), l’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Il s’agit du nombre de pots de peinture nécessaires pour passer trois couches sur les 4 paires de volets de la maison, sachant qu’un pot permet de passer une couche sur 6 volets (soit \(\frac{1}{6}\) de pot par volet et par couche).

Pour trois couches sur un volet, il faut :

\[3 \times \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \text{ pot.}\]

Il y a 4 paires de volets, c’est-à-dire 8 volets, donc il faut \(8 \times \frac{1}{2} = 4\) pots. Le nombre annoncé ne correspond pas : l’affirmation 3 est fausse, il faut 4 pots de peinture.

Exercice 2 :

Isolation thermique : lecture graphique et formule

Partie 1

Trois maquettes A, B et C, isolées avec des matériaux différents, sont placées dans une chambre froide ; des graphiques donnent l’évolution de leur température intérieure en fonction du temps (en heures).

1) Température des maquettes avant leur entrée dans la chambre froide : on lit la température au temps 0 sur les courbes. Elle était de 20 °C.

2) L’expérience a-t-elle duré plus de deux jours ? Les graphiques s’arrêtent à 100 heures, donc l’expérience a duré 100 heures. Or deux jours représentent \(2 \times 24 = 48\) heures et \(100 \gt 48\) (ou encore \(100 : 24 \approx 4{,}17\) jours). L’expérience a donc duré plus de 2 jours.

3) Quelle maquette contient l’isolant le plus performant ? C’est celle dont la température descend le plus lentement, donc celle qui atteint 6 °C le plus tard. Par lecture graphique :

C’est la maquette B qui contient l’isolant le plus performant.

Partie 2

La résistance thermique d’un isolant est \(R = \dfrac{e}{c}\), où \(e\) est l’épaisseur de l’isolant en mètres et \(c\) son coefficient de conductivité thermique. La norme RT2012 des maisons BBC impose \(R \geq\, 4\).

1) Bob a posé 15 cm d’un isolant de coefficient \(c = 0{,}035\). On convertit : \(e = 15 \text{ cm} = 0{,}15 \text{ m}\). Alors

\[R = \frac{0{,}15}{0{,}035} \approx 4{,}29.\]

Comme \(4{,}29 \geq\, 4\), sa maison respecte la norme RT2012 des maisons BBC.

2) On cherche l’épaisseur d’un isolant de coefficient \(c = 0{,}04\) permettant d’obtenir \(R = 5\).

\[\frac{e}{0{,}04} = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad e = 5 \times 0{,}04 = 0{,}2.\]

Il faudrait une épaisseur de 0,2 m, soit 20 cm d’isolant.

Exercice 3 :

Solides et volumes

On considère une pyramide de hauteur 6 cm à base rectangulaire de 6 cm sur 3 cm, un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 3 cm, un cône de rayon 3 cm et de hauteur 3 cm, et une boule de rayon 2 cm.

1) a) et b) On représente les solides en perspective et on reporte leurs dimensions :

2) On calcule le volume de chaque solide puis on les range dans l’ordre croissant.

• Pyramide : \(V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} = \dfrac{1}{3} \times (6 \times 3) \times 6 = 36 \text{ cm}^3\).
• Cylindre : \(V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 2^2 \times 3 = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3\).
• Cône : \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 3 = 9\pi \approx 28{,}3 \text{ cm}^3\).
• Boule : \(V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}5 \text{ cm}^3\).

Par conséquent : \(V_{\text{cône}} \lt V_{\text{boule}} \lt V_{\text{pyramide}} \lt V_{\text{cylindre}}\).

Exercice 4 :

Tableur et probabilités : fiabilité de volets roulants

Un fabricant a testé 500 volets roulants et a noté, dans une feuille de calcul, combien de volets tombent en panne selon le nombre de montées-descentes effectuées (colonnes B à G de la ligne 2).

1) Formule à saisir en H2 pour obtenir le nombre total de volets testés :

=SOMME(B2:G2)

ou, de façon équivalente, =B2+C2+D2+E2+F2+G2.

2) Probabilité qu’un volet choisi au hasard fonctionne plus de 3 000 montées-descentes. D’après le tableau, les volets concernés sont au nombre de :

\[20 + 54 + 137 = 211.\]

Les 500 volets ayant la même chance d’être choisis, la probabilité cherchée vaut \(\dfrac{211}{500} = 0{,}422\).

3) Le lot est déclaré fiable si plus de 95 % des volets fonctionnent plus de 1 000 montées-descentes. Seuls 20 volets tombent en panne avant 1 000 montées-descentes, donc \(500 – 20 = 480\) volets dépassent ce seuil. Or

\[\frac{480}{500} \times 100 = 96.\]

96 % des volets fonctionnent plus de 1 000 montées-descentes et \(96 \gt 95\) : ce lot de volets roulants est fiable.

Exercice 5 :

Débit et remplissage d’une piscine

La piscine est un pavé droit de 8 m de long, 4 m de large et 1,80 m de profondeur ; on la remplit jusqu’à 20 cm du bord avec un robinet qui débite 10 litres toutes les 18 secondes. Faut-il plus d’une journée pour la remplir ?

Hauteur d’eau : \(1{,}80 – 0{,}20 = 1{,}60\) m. Volume d’eau nécessaire :

\[V = 8 \times 4 \times 1{,}60 = 51{,}2 \text{ m}^3 = 51\,200 \text{ dm}^3 = 51\,200 \text{ L}\]

(car \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3\)). La durée est proportionnelle au volume d’eau versé :

\[? = \frac{18 \times 51\,200}{10} = 92\,160 \text{ s}.\]

Une journée dure \(24 \times 60 \times 60 = 86\,400\) secondes et \(92\,160 \gt 86\,400\) (cela fait 25,6 heures). Il faut donc plus d’une journée pour remplir la piscine.

Exercice 6 :

Programme Scratch, Pythagore, trigonométrie et Thalès

Un programme Scratch dessine une rangée de maisons. Chaque toit est formé de deux segments de 50 unités qui se coupent à angle droit au sommet A ; deux maisons consécutives sont séparées de 20 unités, et l’axe des abscisses de la scène va de −240 à 240.

1) On calcule la largeur \(d = BC\) d’une maison. Le triangle ABC est rectangle en A ; d’après le théorème de Pythagore :

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 = 50^2 + 50^2 = 5\,000, \qquad BC = \sqrt{5\,000} \approx 70{,}7.\]

Une maison mesure environ 71 unités de large.

2) On cherche le plus grand nombre \(n\) de maisons que le programme peut dessiner sans sortir de la scène. Chaque maison occupe environ \(71 + 20 = 91\) unités (maison et espace qui la suit). L’axe des abscisses mesure \(240 – (-240) = 480\) unités, et

\[480 : 91 \approx 5{,}27.\]

On vérifie : 5 maisons et 4 espaces occupent \(5 \times 71 + 4 \times 20 = 435 \leq\, 480\), alors que 6 maisons et 5 espaces occupent \(6 \times 71 + 5 \times 20 = 526 \gt 480\). Le plus grand entier \(n\) utilisable est 5.

3) On étudie maintenant la figure ci-dessous : le triangle AHC est rectangle en H, avec \(\widehat{CAH} = 30^\circ\) ; M est le point de [AC] tel que \(AM = 16\) et \(MC = 10\), E est le point de [AH] tel que (EM) soit perpendiculaire à (AH). On cherche EM puis la longueur HE.

• Calcul de EM. Dans le triangle AEM rectangle en E, [AM] est l’hypoténuse et [EM] le côté opposé à l’angle de 30° :
  \[\sin 30^\circ = \frac{EM}{AM} = \frac{EM}{16}, \qquad \text{donc} \qquad EM = 16 \times \sin 30^\circ = 16 \times 0{,}5 = 8.\]
  EM = 8.
• Calcul de HC. Dans le triangle AHC rectangle en H, avec \(AC = 16 + 10 = 26\) :
  \[\sin 30^\circ = \frac{HC}{AC} = \frac{HC}{26}, \qquad \text{donc} \qquad HC = 26 \times 0{,}5 = 13.\]
• Calcul de AE en fonction de AH. Les droites (EM) et (HC) sont toutes deux perpendiculaires à (AH), donc parallèles. Dans le triangle AHC, E appartient à [AH] et M à [AC] ; d’après le théorème de Thalès :
  \[\frac{AE}{AH} = \frac{AM}{AC} = \frac{EM}{HC}, \qquad \text{soit} \qquad \frac{AE}{AH} = \frac{16}{26} = \frac{8}{13}.\]
  Donc \(AE = \dfrac{8}{13}\,AH\) et \(HE = AH – AE = \dfrac{13}{13}\,AH – \dfrac{8}{13}\,AH = \dfrac{5}{13}\,AH\).
• Calcul de AH. Dans le triangle AHC rectangle en H, le théorème de Pythagore donne \(AC^2 = AH^2 + HC^2\), d’où
  \[AH^2 = 26^2 – 13^2 = 676 – 169 = 507, \qquad AH = \sqrt{507} = \sqrt{169 \times 3} = 13\sqrt{3}.\]

On en déduit :

\[HE = \frac{5}{13} \times 13\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66.\]

HE = \(5\sqrt{3}\), soit environ 8,66 unités.

Exercice 7 :

Carrelage, pourcentages et TVA

Bob veut carreler sa cuisine rectangulaire de 5 m sur 4 m. Il doit commander 5 % de carrelage en plus pour les chutes ; un paquet couvre 1,12 m² et coûte 31 €.

1) Surface de carrelage à commander. Aire de la cuisine : \(5 \times 4 = 20 \text{ m}^2\). Les 5 % supplémentaires représentent \(\dfrac{5}{100} \times 20 = 1 \text{ m}^2\), et \(20 + 1 = 21\). Bob doit commander au moins 21 m² de carrelage.

2) Nombre de paquets : \(21 : 1{,}12 = 18{,}75\). Comme on n’achète que des paquets entiers, il doit acheter 19 paquets de carrelage.

3) Coût du carrelage : \(19 \times 31 = 589\). Le carrelage de sa cuisine lui coûtera 589 €.

4) Il faut compléter la facture des autres matériaux sachant que le total hors taxe vaut 88 €.

• Sac de joint : 2 sacs pour 45 €, donc un prix unitaire de \(45 : 2 = 22{,}50\) €.
• Sachet de croisillons : montant total \(88 – 45 – 36 = 7\) € ; comme un sachet coûte 7 €, la quantité est \(7 : 7 = 1\).
• TVA à 20 % : \(\dfrac{20}{100} \times 88 = 17{,}60\) € ; total TTC : \(88 + 17{,}60 = 105{,}60\) €.