Voici le corrigé du brevet de maths 2024 en France (session de juin, série générale), une épreuve de deux heures notée sur 100 points composée de cinq exercices. Le premier porte sur les probabilités avec la roulette d’un casino numérotée de 0 à 36. Le deuxième compare un programme de calcul écrit en français et un script Scratch, ce qui mène au calcul littéral et à la double distributivité. Le troisième exercice mobilise le cercle circonscrit, la réciproque du théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et des calculs d’aires et de pourcentage. Le quatrième est un QCM sur les fonctions, les puissances, les translations, la médiane et le cosinus. Enfin, le dernier exercice traite de l’arithmétique (décomposition en facteurs premiers, plus grand diviseur commun) puis du volume d’un pavé droit pour calculer le coût du remplissage d’une piscine. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page France : Brevet de maths 2024 avec sujet et corrigé en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités, 20 points
Une bille est lancée sur une roulette numérotée de 0 à 36 ; chaque numéro a la même probabilité de sortir.
1. Pourquoi la probabilité d’obtenir le numéro 7 vaut-elle \(\dfrac{1}{37}\) ?
Les numéros vont de 0 à 36 : il y a donc \(36 + 1 = 37\) issues possibles, toutes équiprobables. Le numéro 7 correspond à une seule de ces issues, d’où
\[ P(\text{« 7 »}) = \dfrac{1}{37}. \]
2. Probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire.
Sur la roue, les cases noires portant un numéro pair sont : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28, soit 10 cases (le 0 n’est ni noir ni rouge). On obtient donc :
\[ P(\text{« noire et paire »}) = \dfrac{10}{37}. \]
3. a. Probabilité d’obtenir un numéro inférieur ou égal à 6.
Les numéros concernés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a 7 (sans oublier le 0). Donc
\[ P(\text{« numéro } \leq\, 6\text{ »}) = \dfrac{7}{37}. \]
3. b. En déduire la probabilité d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 7.
L’événement « numéro \(\geq\, 7\) » est l’événement contraire de « numéro \(\leq\, 6\) ». Donc
\[ P(\text{« numéro } \geq\, 7\text{ »}) = 1 – \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}. \]
On peut vérifier en comptant : de 7 à 36, il y a \(36 – 7 + 1 = 30\) numéros.
3. c. Un joueur affirme qu’on a plus de 3 chances sur 4 d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?
On compare \(\dfrac{30}{37}\) et \(\dfrac{3}{4}\) : \(\dfrac{30}{37} \approx 0{,}811\) et \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
Comme \(0{,}811 \gt 0{,}75\), on a bien \(\dfrac{30}{37} \gt \dfrac{3}{4}\) : le joueur a raison.
Exercice 2 :
Programmes de calcul et calcul littéral, 20 points
Le programme A consiste à : choisir un nombre, prendre son carré, multiplier par 2, ajouter le double du nombre de départ, puis soustraire 4. Le programme B (script Scratch) calcule « Résultat 1 » = nombre choisi \(+ 2\), « Résultat 2 » = nombre choisi \(- 1\), puis affiche le produit Résultat 1 \(\times \) Résultat 2.
1. a. Vérifier que le programme A donne 56 avec le nombre 5.
- Carré : \(5^2 = 25\) ;
- multiplié par 2 : \(25 \times 2 = 50\) ;
- on ajoute le double de 5 : \(50 + 10 = 60\) ;
- on soustrait 4 : \(60 – 4 = 56\).
On obtient bien 56.
1. b. Résultat du programme B avec \(-9\).
Résultat 1 : \(-9 + 2 = -7\). Résultat 2 : \(-9 – 1 = -10\). Le programme affiche le produit :
\[ (-7) \times (-10) = 70. \]
Le programme B donne 70.
2. a. Quelle expression donne le résultat du programme B pour un nombre \(x\) ?
Résultat 1 vaut \(x + 2\), Résultat 2 vaut \(x – 1\), et le programme multiplie ces deux résultats. L’expression correcte est donc
\[ E_2 = (x + 2) \times (x – 1). \]
\(E_1\) ne contient pas de produit et \(E_3\), sans parenthèses, vaut \(x + 2x – 1\) à cause de la priorité de la multiplication.
2. b. Exprimer en fonction de \(x\) le résultat du programme A.
Carré : \(x^2\) ; multiplié par 2 : \(2x^2\) ; plus le double du nombre : \(2x^2 + 2x\) ; moins 4 :
\[ A(x) = 2x^2 + 2x – 4. \]
3. Démontrer que le résultat du programme A est toujours le double de celui du programme B.
On développe le double du résultat du programme B avec la double distributivité :
\[ 2(x + 2)(x – 1) = 2(x^2 – x + 2x – 2) = 2(x^2 + x – 2) = 2x^2 + 2x – 4. \]
On retrouve exactement l’expression du programme A. Donc, pour tout nombre \(x\), le résultat du programme A est le double de celui du programme B. Vérification avec la question 1 : pour \(x = 5\), le programme B donne \(7 \times 4 = 28\) et \(2 \times 28 = 56\).
Exercice 3 :
Cercle, Pythagore, Thalès, aires, 22 points
Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre O et pour rayon 4,5 cm ; [AB] est un diamètre et D un point du cercle. Les points B, E, A sont alignés, ainsi que D, F, A, et les droites (BD) et (EF) sont parallèles. On donne \(BD = 5{,}4\) cm, \(DA = 7{,}2\) cm et \(AE = 2{,}7\) cm.
1. Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.
Un diamètre mesure le double du rayon : \(AB = 2 \times 4{,}5 = 9\) cm.
2. Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
Dans le triangle ABD, le plus grand côté est [AB]. On calcule séparément :
\[ AB^2 = 9^2 = 81 \qquad \text{et} \qquad AD^2 + BD^2 = 7{,}2^2 + 5{,}4^2 = 51{,}84 + 29{,}16 = 81. \]
On a \(AB^2 = AD^2 + BD^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D (le sommet opposé à l’hypoténuse [AB]).
Autre justification : D est un point du cercle de diamètre [AB], distinct de A et B ; un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est rectangle, l’angle droit étant au sommet opposé à ce diamètre, ici en D.
3. Calculer AF.
Les points A, E, B d’une part et A, F, D d’autre part sont alignés, et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{EF}{BD}, \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{2{,}7}{9} = \dfrac{AF}{7{,}2}. \]
\[ AF = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = \dfrac{19{,}44}{9} = 2{,}16. \]
Donc \(AF = 2{,}16\) cm.
4. a. Justifier que l’aire du triangle ABD vaut 19,44 cm².
Le triangle ABD est rectangle en D : ses côtés de l’angle droit [DA] et [DB] sont une base et la hauteur associée.
\[ \mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{DA \times DB}{2} = \dfrac{7{,}2 \times 5{,}4}{2} = \dfrac{38{,}88}{2} = 19{,}44 \text{ cm}^2. \]
4. b. Calculer l’aire du disque, arrondie au centième.
\[ \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times R^2 = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\,\pi \approx 63{,}62 \text{ cm}^2. \]
5. Quel pourcentage de l’aire du disque représente l’aire du triangle ABD ?
\[ \dfrac{19{,}44}{20{,}25\,\pi} \approx 0{,}3056. \]
L’aire du triangle représente donc environ 30,6 % de l’aire du disque.
Exercice 4 :
QCM, 18 points
Aucune justification n’était demandée ; on la donne ici pour comprendre chaque réponse.
| Question | Réponse | Justification |
|---|---|---|
| 1. Image de \(-4\) par \(f(x) = 3x – 2\) | A : \(-14\) | \(f(-4) = 3 \times (-4) – 2 = -12 – 2 = -14\). |
| 2. Valeur de \((-5)^3\) | A : \(-125\) | \((-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125\) (puissance impaire d’un négatif : résultat négatif). |
| 3. Image de J par la translation qui transforme C en A | B : E | Pour aller de C à A sur le quadrillage, on se déplace d’un cran vers la gauche et d’un cran vers le bas. En appliquant le même déplacement à J, on arrive sur E. |
| 4. Antécédent de 3 par la fonction \(f\) (lecture graphique) | C : 0 | La droite \(\mathcal{C}_f\) coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,3)\) : \(f(0) = 3\), donc 0 est l’antécédent de 3. |
| 5. Médiane des tailles 1,46 ; 1,65 ; 1,6 ; 1,72 ; 1,7 ; 1,67 ; 1,75 | B : 1,67 | Rangées dans l’ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75. Avec 7 valeurs, la médiane est la 4e. |
| 6. \(\cos \alpha\) dans le triangle ABC rectangle en A avec \(AB = 4\), \(AC = 3\), \(BC = 5\), \(\alpha\) l’angle en B | A : 0,8 | \(\cos \alpha = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\). |
Exercice 5 :
Arithmétique et volume, 20 points
Partie A
La présidente d’un club dispose de 330 autocollants et de 132 drapeaux ; elle veut les répartir tous dans des sachets identiques (même nombre d’autocollants et même nombre de drapeaux dans chaque sachet).
1. Pourquoi ne peut-on pas faire 15 sachets ?
Il faudrait que 15 divise à la fois 330 et 132. Or \(330 = 15 \times 22\) convient, mais
\[ 132 = 15 \times 8 + 12 : \]
la division de 132 par 15 laisse un reste de 12. 15 n’est pas un diviseur de 132 : il resterait 12 drapeaux non distribués, ce qui est impossible puisqu’elle veut tous les utiliser.
2. a. Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
\[ 330 = 2 \times 165 = 2 \times 3 \times 55 = 2 \times 3 \times 5 \times 11, \]
\[ 132 = 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 33 = 2^2 \times 3 \times 11. \]
2. b. En déduire le plus grand nombre de sachets possible.
Le nombre de sachets doit diviser 330 et 132 ; le plus grand possible est leur plus grand diviseur commun, obtenu en prenant les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant :
\[ \text{PGCD}(330\,;\,132) = 2 \times 3 \times 11 = 66. \]
La présidente pourra réaliser au maximum 66 sachets.
2. c. Contenu de chaque sachet.
\[ 330 : 66 = 5 \qquad \text{et} \qquad 132 : 66 = 2. \]
Chaque sachet contiendra 5 autocollants et 2 drapeaux.
Partie B
La piscine est un pavé droit de 25 m sur 15 m et de 2 m de profondeur ; elle est remplie aux \(\dfrac{9}{10}\) de son volume et 1 m³ d’eau coûte 4,14 €. Quel est le coût du remplissage ?
Volume total du pavé droit :
\[ V = 25 \times 15 \times 2 = 750 \text{ m}^3. \]
Volume d’eau :
\[ V_{\text{eau}} = \dfrac{9}{10} \times 750 = 675 \text{ m}^3. \]
Coût du remplissage :
\[ 675 \times 4{,}14 = 2\,794{,}50 \text{ €}. \]
Le remplissage de la piscine coûte 2 794,50 €.
