Voici le corrigé complet du brevet de maths 2025 aux centres étrangers (série générale, 2 heures, 100 points), rédigé question par question. L’exercice 1 est un QCM : décomposition en facteurs premiers, formule de tableur, rapport d’une homothétie, factorisation avec une identité remarquable et cosinus dans un triangle rectangle. L’exercice 2 suit une entreprise de livraison : moyenne, médiane, probabilité, volume d’un pavé droit et masse volumique. L’exercice 3 part d’un programme de calcul pour aboutir à une équation et à la lecture de la représentation d’une fonction affine. L’exercice 4 étudie le champ d’un agriculteur avec le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, une aire, un ratio et la proportionnalité. L’exercice 5 porte sur un digicode : dénombrement, probabilités, nombres premiers et programme Scratch.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Centres étrangers 2025 : brevet de maths avec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM, 20 points
Question 1. On cherche la décomposition de 120 en produit de facteurs premiers.
On divise successivement par les nombres premiers :
\[120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5.\]
Les produits \(2 \times 3 \times 4 \times 5\) et \(15 \times 2 \times 2 \times 2\) valent bien 120 mais contiennent 4 et 15, qui ne sont pas premiers ; \(53 + 67\) est une somme.
Réponse C : \(2^3 \times 3 \times 5\).
Question 2. La cellule A2 contient « = −4*A1 − 12 ». En étirant vers la droite, la référence A1 devient B1 : la cellule B2 contient « = −4*B1 − 12 », avec B1 = 5.
\[-4 \times 5 – 12 = -20 – 12 = -32.\]
(On vérifie la cohérence avec A2 : \(-4 \times 2 – 12 = -20\).)
Réponse A : −32.
Question 3. On cherche le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme le carré A en le carré B.
Les deux carrés sont du même côté de O : le rapport est positif, ce qui élimine −2 et −0,5. Le carré B est plus grand que le carré A : le rapport est supérieur à 1, ce qui élimine 0,5. On le confirme sur le quadrillage : la diagonale de A mesure 2 carreaux et celle de B en mesure 4, et le sommet de A situé à 4 carreaux de O a pour image le sommet de B situé à 8 carreaux de O.
Réponse D : 2.
Question 4. On factorise \(4x^2 – 1\). On reconnaît une différence de deux carrés, \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 2x\) et \(b = 1\) :
\[4x^2 – 1 = (2x)^2 – 1^2 = (2x – 1)(2x + 1).\]
Réponse A : \((2x – 1)(2x + 1)\).
Question 5. Dans le triangle TER rectangle en R, on a \(TE = 7{,}4\) cm et \(\widehat{TER} = 39^\circ\) ; on cherche RE au centième.
[TE] est l’hypoténuse et [RE] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{TER}\), donc :
\[\cos \widehat{TER} = \frac{RE}{TE} \quad \text{donc} \quad RE = TE \times \cos 39^\circ = 7{,}4 \times \cos 39^\circ \approx 5{,}75 \text{ cm}.\]
Réponse B : 5,75 cm.
Exercice 2 :
Statistiques, probabilité, volume et masse volumique, 19 points
Les masses des cinq colis sont : A : 4 kg, B : 9 kg, C : 2 kg, D : 7 kg, E : 11 kg.
1. Moyenne des masses :
\[\overline{m} = \frac{4 + 9 + 2 + 7 + 11}{5} = \frac{33}{5} = 6{,}6.\]
La masse moyenne d’un colis est de 6,6 kg.
2. On range les masses dans l’ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11. Il y a 5 valeurs (effectif impair), la médiane est donc la 3e valeur : la médiane vaut 7 kg.
Interprétation : au moins la moitié des colis pèsent 7 kg ou moins, et au moins la moitié des colis pèsent 7 kg ou plus.
3. Le colis est choisi au hasard : les cinq colis ont la même probabilité d’être choisis. Les colis de masse inférieure à 8 kg sont A (4 kg), C (2 kg) et D (7 kg), soit 3 colis sur 5.
La probabilité cherchée est \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
4. a. Le colis E est un pavé droit de dimensions 0,5 m, 0,4 m et 0,6 m :
\[V_E = L \times \ell \times h = 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}12 \text{ m}^3.\]
Le volume du colis E est bien de 0,12 m³.
b. Masse volumique = masse (kg) ÷ volume (m³) :
\[\rho_E = \frac{11}{0{,}12} \approx 91{,}67 \text{ kg/m}^3.\]
Arrondie au dixième, la masse volumique du colis E est bien 91,7 kg/m³.
c. On calcule le volume puis la masse volumique du colis C (0,3 m ; 0,1 m ; 0,5 m ; 2 kg) :
\[V_C = 0{,}3 \times 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}015 \text{ m}^3 \qquad \rho_C = \frac{2}{0{,}015} \approx 133{,}3 \text{ kg/m}^3.\]
Ainsi \(\rho_C \gt \rho_E\) : le colis C est plus léger que le colis E, mais il est beaucoup plus petit, et sa masse volumique est plus grande. Le transporteur a tort : une masse plus grande ne signifie pas une masse volumique plus grande, car la masse volumique dépend aussi du volume.
Exercice 3 :
Programme de calcul, équation, fonction affine, 21 points
Le programme : choisir un nombre ; le multiplier par −2 ; ajouter 4 ; multiplier le résultat par 4.
1. Avec 1 comme nombre de départ :
\[1 \times (-2) = -2 \qquad -2 + 4 = 2 \qquad 2 \times 4 = 8.\]
On obtient bien 8.
2. Avec −2 comme nombre de départ :
\[-2 \times (-2) = 4 \qquad 4 + 4 = 8 \qquad 8 \times 4 = 32.\]
Le résultat est 32.
3. Avec \(x\) comme nombre de départ, on obtient successivement \(-2x\), puis \(-2x + 4\), puis :
\[4(-2x + 4) = 4 \times (-2x) + 4 \times 4 = -8x + 16.\]
Le résultat s’écrit bien \(-8x + 16\).
4. a. On résout l’équation \(-8x + 16 = 4\) :
\[-8x = 4 – 16 = -12 \qquad x = \frac{-12}{-8} = \frac{3}{2} = 1{,}5.\]
L’équation a pour unique solution \(x = \dfrac{3}{2}\).
b. D’après la question 3, le résultat du programme est \(-8x + 16\). Obtenir 4 revient donc à résoudre l’équation précédente : il faut choisir 1,5 comme nombre de départ.
Vérification : \(1{,}5 \times (-2) = -3\), \(-3 + 4 = 1\), \(1 \times 4 = 4\).
5. La fonction \(f(x) = -8x + 16\) est une fonction affine de coefficient directeur \(-8\) et d’ordonnée à l’origine 16.
- Le coefficient directeur est négatif, donc la droite « descend » : on élimine la représentation graphique 1, qui monte.
- L’ordonnée à l’origine est 16 : la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 16). La représentation 2 coupe cet axe en 8, on l’élimine.
- Contrôle : \(f(2) = -16 + 16 = 0\), la droite coupe l’axe des abscisses en 2, ce qui est bien le cas de la représentation 3.
C’est la représentation graphique 3 qui représente la fonction \(f\).
Exercice 4 :
Pythagore, Thalès, aire, ratio et proportionnalité, 21 points
Le triangle ABC est rectangle en B, avec \(AB = 600\) m, \(BC = 450\) m et \(CD = 270\) m ; E est sur [AC], D est sur [BC] et l’angle \(\widehat{EDC}\) est droit.
Partie A : étude géométrique du terrain
1. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 600^2 + 450^2 = 360\,000 + 202\,500 = 562\,500.\]
Donc \(AC = \sqrt{562\,500} = 750\). Le segment [AC] mesure 750 m.
2. a. La droite (ED) est perpendiculaire à (BC) (angle droit en D) et la droite (AB) est perpendiculaire à (BC) (angle droit en B). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (ED) et (AB) sont parallèles.
b. Dans les triangles CDE et CBA : les points C, D, B sont alignés, les points C, E, A sont alignés et les droites (ED) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{BA} \quad \text{soit} \quad \frac{270}{450} = \frac{DE}{600}.\]
\[DE = \frac{270 \times 600}{450} = \frac{162\,000}{450} = 360.\]
Le segment [DE] mesure 360 m.
3. Le triangle CDE est rectangle en D, ses côtés de l’angle droit sont [CD] et [DE] :
\[\mathcal{A}_{CDE} = \frac{CD \times DE}{2} = \frac{270 \times 360}{2} = \frac{97\,200}{2} = 48\,600 \text{ m}^2.\]
L’aire du triangle CDE est bien de 48 600 m².
Partie B : étude du prix du mélange de graines
Rappel des indications : prix au kilo (blé 1,40 € ; seigle 1,30 € ; pois 2,10 €) et répartition pour 10 000 m² (blé 80 kg ; seigle 60 kg ; pois 50 kg).
1. Le sac du vendeur respecte le ratio blé : seigle : pois = 16 : 12 : 8. Pour 80 kg de blé (comme dans l’indication 2), on a \(80 : 16 = 5\) kg par part, donc :
\[\text{seigle} : 12 \times 5 = 60 \text{ kg} \qquad \text{pois} : 8 \times 5 = 40 \text{ kg}.\]
La quantité de seigle convient, mais il faudrait 50 kg de pois et non 40 kg. Ce sac ne respecte pas l’indication 2 (qui correspond en fait au ratio 80 : 60 : 50 = 16 : 12 : 10).
2. La masse de blé est proportionnelle à la surface semée : 80 kg pour 10 000 m².
| Surface (m²) | 10 000 | 48 600 |
|---|---|---|
| Masse de blé (kg) | 80 | \(x\) |
\[x = \frac{80 \times 48\,600}{10\,000} = 388{,}8.\]
L’agriculteur doit bien prévoir 388,80 kg de blé.
3. Coût total des graines (388,8 kg de blé, 291,6 kg de seigle, 243 kg de pois) :
\[P = 1{,}40 \times 388{,}8 + 1{,}30 \times 291{,}6 + 2{,}10 \times 243\]
\[P = 544{,}32 + 379{,}08 + 510{,}30 = 1\,433{,}70.\]
Le mélange coûte 1 433,70 €, et \(1\,433{,}70 \lt 1\,500\) : le budget de l’agriculteur est suffisant (il lui reste 66,30 €).
Exercice 5 :
Digicode, probabilités, Scratch, 19 points
Le code est formé d’une lettre (A, B ou C) suivie d’un chiffre de 0 à 9.
1. Deux codes que Léna peut tester : par exemple A0 et C9 (n’importe quelle lettre A, B, C suivie de n’importe quel chiffre convient).
2. La lettre est choisie parmi 3 lettres équiprobables : la probabilité que ce soit C est \(\dfrac{1}{3}\).
3. Le chiffre est choisi parmi les 10 chiffres de 0 à 9, et un seul est 7 : la probabilité est bien \(\dfrac{1}{10}\).
4. Parmi les chiffres de 0 à 9, les nombres premiers sont 2, 3, 5 et 7 (1 n’est pas premier). Il y a donc 4 cas favorables sur 10 :
\[p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4.\]
5. a. Il y a 3 choix de lettre et 10 choix de chiffre, soit \(3 \times 10 = 30\) codes possibles. À 5 secondes par code :
\[30 \times 5 = 150 \text{ s} = 2 \text{ min } 30 \text{ s}.\]
Dans le pire des cas, Léna teste tous les codes en 2 min 30 s, moins de 3 minutes : oui, elle réussira à ouvrir la porte en moins de 3 minutes.
b. Non, ce format ne garantit pas la sécurité : n’importe qui peut essayer tous les codes en moins de 3 minutes. Pour l’améliorer, on peut augmenter le nombre de caractères. Par exemple, avec un code de 4 caractères, chacun étant une lettre A, B, C ou un chiffre (13 possibilités par caractère), on obtient :
\[13^4 = 28\,561 \text{ codes} \qquad 28\,561 \times 5 = 142\,805 \text{ s} \approx 39{,}7 \text{ h}.\]
Il faudrait alors plus d’une journée et demie pour tout tester. On peut aussi bloquer le digicode après plusieurs erreurs.
6. a. Le programme affiche « Code correct » seulement si la lettre saisie est B et le chiffre saisi est 7. Avec B5, la lettre convient mais pas le chiffre : le programme affiche « Code faux ».
b. D’après le programme, le code qui ouvre la porte est B7.
