Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1.
Pour additionner deux fractions, on les écrit avec un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 6 et de 8 est 24 :
\[\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} + \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{20}{24} + \dfrac{21}{24} = \dfrac{41}{24}\]
41 est un nombre premier qui ne divise pas 24, donc la fraction est irréductible : \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} = \)\(\dfrac{41}{24}\).
2. a.
\(198 = 2 \times 99 = 2 \times 9 \times 11\), donc \(198 = 2 \times 3^2 \times 11\).
\(84 = 4 \times 21\), donc \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\).
2. b.
Les facteurs communs aux deux décompositions sont 2 et 3 ; on simplifie par \(2 \times 3 = 6\) :
\[\dfrac{198}{84} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 11}{2 \times 3 \times 2 \times 7} = \dfrac{3 \times 11}{2 \times 7} = \dfrac{33}{14}\]
33 et 14 n’ont plus aucun facteur premier commun : la forme irréductible est \(\dfrac{33}{14}\).
3.
On distribue 5 dans la première parenthèse, et on supprime la seconde parenthèse précédée d’un signe moins en changeant les signes de ses termes :
\[E = 15x – 20 – 2x + 7 = 13x – 13\]
Donc \(E = 13x – 13\).
4.
Sur la figure, la longueur du rectangle est formée de trois segments codés de même longueur \(b\), puis d’un segment de 2,9 : elle vaut donc \(3b + 2{,}9\). La largeur vaut 4,5.
Le périmètre d’un rectangle est égal à deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur :
\[P = 2 \times (3b + 2{,}9 + 4{,}5) = 2 \times (3b + 7{,}4) = 6b + 14{,}8\]
On veut \(P = 25\) :
\[6b + 14{,}8 = 25\]
\[6b = 10{,}2\]
\[b = \dfrac{10{,}2}{6} = 1{,}7\]
Vérification : \(2 \times (3 \times 1{,}7 + 2{,}9 + 4{,}5) = 2 \times 12{,}5 = 25\). Il faut \(b = 1{,}7\).
5.
Le volume d’une pyramide est donné par \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur.
La base est un rectangle de 4 sur 3, donc \(\mathcal{B} = 4 \times 3 = 12\) ; la hauteur est SH = 6.
\[V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 6 = 24\]
Le volume de la pyramide est 24 (unités de volume).
6.
Augmenter une quantité de 12 %, c’est la multiplier par \(1 + \dfrac{12}{100} = 1{,}12\). Si on appelle \(N\) le nombre d’habitants en 2019, on a donc :
\[N \times 1{,}12 = 20\,692\]
Pour retrouver \(N\), on fait l’opération inverse, c’est-à-dire qu’on divise par 1,12 :
\[N = \dfrac{20\,692}{1{,}12} = 18\,475\]
Vérification : \(18\,475 \times 1{,}12 = 20\,692\). La ville comptait 18 475 habitants en 2019.
Attention : enlever 12 % à 20 692 ne donne pas le bon résultat, car les 12 % se calculent sur la population de 2019, pas sur celle de 2020.
Exercice 2 :
1.
Le poteau est vertical et le sol horizontal : le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 3{,}9^2 + 5{,}2^2 = 15{,}21 + 27{,}04 = 42{,}25\]
\[\text{AC} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5\]
Le câble mesure bien 6,5 m.
2.
Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\), le côté adjacent est [BC] et l’hypoténuse est [AC] :
\[\cos \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{5{,}2}{6{,}5} = 0{,}8\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{ACB}} \approx 36{,}87\)°.
Au degré près, \(\widehat{\text{ACB}} \approx 37\)°.
3.
À vitesse constante, la durée est égale à la distance divisée par la vitesse. La première araignée parcourt AC = 6,5 m à 0,2 m/s :
\[t = \dfrac{6{,}5}{0{,}2} = 32{,}5\ \text{s}\]
Il lui faut bien 32,5 secondes.
4.
Les droites (FH) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (FH) et (BC) sont parallèles.
Les points A, H, B sont alignés, ainsi que A, F, C. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AHF et ABC :
\[\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{HF}}{\text{BC}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{\text{AH}}{3{,}9} = \dfrac{4}{6{,}5} = \dfrac{\text{HF}}{5{,}2}\]
On en déduit :
\[\text{FH} = \dfrac{4 \times 5{,}2}{6{,}5} = \dfrac{20{,}8}{6{,}5} = 3{,}2 \qquad \text{et} \qquad \text{HA} = \dfrac{4 \times 3{,}9}{6{,}5} = \dfrac{15{,}6}{6{,}5} = 2{,}4\]
Donc FH = 3,2 m et HA = 2,4 m.
5.
On calcule la durée du trajet de la deuxième araignée, morceau par morceau.
- Sur le câble : \(\text{CF} = \text{AC} – \text{AF} = 6{,}5 – 4 = 2{,}5\) m, parcourus à 0,2 m/s, soit \(\dfrac{2{,}5}{0{,}2} = 12{,}5\) s.
- Le long du fil : FH = 3,2 m à 0,8 m/s, soit \(\dfrac{3{,}2}{0{,}8} = 4\) s.
- Sur le sol : HA = 2,4 m à 0,2 m/s, soit \(\dfrac{2{,}4}{0{,}2} = 12\) s.
Durée totale : \(12{,}5 + 4 + 12 = 28{,}5\) s.
Comme \(28{,}5 \lt 32{,}5\), c’est la deuxième araignée qui arrive la première en A, avec 4 secondes d’avance, bien que son chemin soit plus long (8,1 m contre 6,5 m) : la descente rapide le long du fil lui fait gagner du temps.
Exercice 3 :
1.
Un carreau mesure 20 pixels. Le stylo part orienté vers le haut. À chaque passage dans la boucle, il monte de 20 (1 carreau), tourne vers la droite, avance de 40 (2 carreaux vers la droite), puis tourne à gauche pour être de nouveau orienté vers le haut. La boucle étant répétée 2 fois, on obtient un escalier de deux marches : 1 carreau vers le haut, 2 carreaux vers la droite, 1 carreau vers le haut, 2 carreaux vers la droite.
2.
On suit le script 2 pas à pas. La variable longueur vaut d’abord 20.
- Premier passage : le stylo monte de 20 (1 carreau), tourne à droite, avance de 20 (1 carreau vers la droite), tourne à gauche. Puis longueur devient 40.
- Deuxième passage : le stylo monte de 40 (2 carreaux), tourne à droite, avance de 40 (2 carreaux vers la droite), tourne à gauche. Puis longueur devient 60, mais la boucle est terminée.
Le chemin est donc : 1 carreau vers le haut, 1 vers la droite, 2 vers le haut, 2 vers la droite. C’est le dessin 2.
- Le dessin 1 ne convient pas : la deuxième marche a la même taille que la première (1 carreau), comme si la longueur n’avait pas augmenté de 20 ; or au deuxième passage le stylo doit avancer de 40, soit 2 carreaux.
- Le dessin 3 ne convient pas : le premier trait part vers la droite, alors que le stylo est orienté à 0°, c’est-à-dire vers le haut, au moment où il avance pour la première fois.
3.
On suit le contour du dessin 4 depuis la position de départ, en comptant les carreaux (1 carreau = 20 pixels) :
- avancer de 20 vers le haut (1 carreau), tourner à droite ;
- avancer vers la droite de 2 carreaux : première case : 40 ; tourner à gauche ;
- avancer de 80 vers le haut (4 carreaux), tourner à droite, avancer de 40 vers la droite (2 carreaux), tourner à gauche ;
- avancer vers le haut de 1 carreau : deuxième case : 20 ; tourner à droite, avancer de 20 vers la droite, tourner à droite (le stylo est maintenant orienté vers le bas) ;
- descendre jusqu’à la ligne de départ, soit \(1 + 4 + 1 = 6\) carreaux : troisième case : 120 ;
- tourner à droite et avancer de 100 vers la gauche (\(2 + 2 + 1 = 5\) carreaux) pour revenir au point de départ.
Script 3 complété :
quand le drapeau vert est cliqué effacer tout stylo en position d'écriture s'orienter à 0 avancer de 20 tourner à droite de 90 degrés avancer de 40 tourner à gauche de 90 degrés avancer de 80 tourner à droite de 90 degrés avancer de 40 tourner à gauche de 90 degrés avancer de 20 tourner à droite de 90 degrés avancer de 20 tourner à droite de 90 degrés avancer de 120 tourner à droite de 90 degrés avancer de 100
Les trois cases à compléter sont donc, dans l’ordre : 40, 20 et 120.
4.
a. La translation qui transforme B en E fait glisser chaque motif de la même distance vers la droite (la longueur BE) sans le retourner : le motif 1 vient se placer sur le motif 5.
b. La symétrie de centre B fait faire un demi-tour au motif 1 autour du point B : sa partie haute se retrouve en bas et sa partie gauche à droite. On obtient le motif 9.
c. De même, le demi-tour autour du point G envoie le motif 16, situé en bas à gauche de G, en haut à droite de G : on obtient le motif 12.
d. La droite (CG) est verticale ; la symétrie d’axe (CG) retourne le motif 2 comme dans un miroir, de l’autre côté de cette droite, à la même hauteur : on obtient le motif 5.
Exercice 4 :
1. a.
Dans le tableau, sous \(x = 3\), on lit \(f(3) = -5\). L’image de 3 par \(f\) est \(-5\).
1. b.
On cherche 5 dans la ligne des images : il se trouve sous \(x = -2\), car \(f(-2) = 5\). Le nombre \(-2\) a pour image 5.
1. c.
On cherche 1 dans la ligne des images : \(f(0) = 1\). Un antécédent de 1 par \(f\) est 0.
2. a.
Avec 1 : \(1 + 1 = 2\), puis \(2^2 = 4\). On obtient 4.
Avec \(-2\) : \(-2 + 1 = -1\), puis \((-1)^2 = 1\). On obtient 1.
2. b.
En partant de \(x\), on ajoute 1, ce qui donne \(x + 1\), puis on élève ce résultat au carré : \(g(x) = (x + 1)^2\).
3. a.
\[h(3) = 2 \times 3^2 – 3 = 2 \times 9 – 3 = 18 – 3 = 15\]
L’image de 3 par \(h\) est 15.
3. b.
\[h(-4) = 2 \times (-4)^2 – 3 = 2 \times 16 – 3 = 32 – 3 = 29\]
L’image de \(-4\) par \(h\) est 29 (attention : le carré de \(-4\) est 16, positif).
3. c.
On cherche les nombres \(x\) tels que \(h(x) = 5\) :
\[2x^2 – 3 = 5\]
\[2x^2 = 8\]
\[x^2 = 4\]
Les nombres dont le carré vaut 4 sont 2 et \(-2\). Un antécédent de 5 par \(h\) est 2, et il en existe un autre : \(-2\). On vérifie : \(h(2) = 2 \times 4 – 3 = 5\) et \(h(-2) = 2 \times 4 – 3 = 5\).
4.
- Représentation n° 1 : fonction \(f\). C’est une droite qui passe par les points \((0\,;\,1)\) et \((1\,;\,-1)\), exactement comme dans le tableau de \(f\) : \(f(0) = 1\) et \(f(1) = -1\). Les courbes de \(g\) et \(h\) ne passent pas par ces points (par exemple \(g(1) = 4\) et \(h(0) = -3\)).
- Représentation n° 2 : fonction \(h\). La courbe coupe l’axe des ordonnées en \(-3\), et \(h(0) = 2 \times 0^2 – 3 = -3\). On lit aussi que le point d’abscisse 3 a pour ordonnée 15, comme \(h(3) = 15\).
- Représentation n° 3 : fonction \(g\). La courbe coupe l’axe des ordonnées en 1, et \(g(0) = (0 + 1)^2 = 1\) ; elle touche l’axe des abscisses en \(-1\), et \(g(-1) = 0^2 = 0\).
Exercice 5 :
1. a.
L’urne contient \(20 + 10 + 5 + 1 = 36\) boules. Le tirage se fait au hasard : chaque boule a la même probabilité d’être tirée. On gagne 10 points seulement avec la boule noire, qui est unique :
\[P(\text{10 points}) = \dfrac{1}{36}\]
La probabilité est \(\dfrac{1}{36}\).
1. b.
On gagne plus de 3 points en tirant la boule noire (10 points) ou une boule bleue (5 points), ce qui fait \(1 + 5 = 6\) boules favorables :
\[P(\text{plus de 3 points}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\]
La probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).
1. c.
Gagner 2 points correspond aux 10 boules vertes, soit une probabilité de \(\dfrac{10}{36}\) ; gagner 5 points correspond aux 5 boules bleues, soit \(\dfrac{5}{36}\).
Comme \(\dfrac{10}{36} \gt \dfrac{5}{36}\), le joueur a plus de chances de gagner 2 points (deux fois plus, même).
2. a.
On regroupe les scores : 5 joueurs ont 1 point (B, C, I, M, N), 5 joueurs ont 2 points (A, F, G, J, O), 3 joueurs ont 5 points (D, H, K) et 2 joueurs ont 10 points (E, L). On a bien \(5 + 5 + 3 + 2 = 15\) joueurs.
\[\text{moyenne} = \dfrac{5 \times 1 + 5 \times 2 + 3 \times 5 + 2 \times 10}{15} = \dfrac{5 + 10 + 15 + 20}{15} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\]
La moyenne des scores est \(\dfrac{10}{3}\) points, soit environ 3,33 points.
2. b.
On range les 15 scores dans l’ordre croissant :
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 ; 10
L’effectif est impair (15), donc la médiane est la valeur centrale, la 8e : 7 scores sont avant elle et 7 après. La médiane est 2 points.
2. c.
Deux joueurs sur 15 ont obtenu 10 points. La fréquence du score « 10 points » est :
\[\dfrac{2}{15} \approx 0{,}133\]
soit \(\dfrac{2}{15}\), environ 13,3 %.
3.
Oui, on peut estimer ce nombre. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence d’un résultat se rapproche de sa probabilité. Avec 1 000 joueurs, la fréquence du score « 10 points » doit donc être proche de \(\dfrac{1}{36}\) (question 1. a.) :
\[1\,000 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{1\,000}{36} \approx 27{,}8\]
On peut estimer qu’environ 28 joueurs ont obtenu 10 points. Ce n’est qu’une estimation : le nombre réel peut s’en écarter un peu.
On ne doit pas utiliser la fréquence \(\dfrac{2}{15}\) de la question 2 : elle a été observée sur seulement 15 joueurs, un échantillon bien trop petit pour être représentatif (elle conduirait à environ 133 joueurs, ce qui est très éloigné de la probabilité réelle).
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