Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\). Ensuite :
\[ \dfrac{5}{3} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{6} – \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6} \]
Réponse C.
2. On écrit \(245 = 2{,}45 \times 10^2\), donc \(245 \times 10^{-5} = 2{,}45 \times 10^{2-5} = 2{,}45 \times 10^{-3}\), avec bien \(1 \leq\, 2{,}45 \lt 10\). Réponse B.
3. La somme des 7 durées vaut \(3+2+4+3+7+9+7 = 35\) minutes, donc la moyenne est \(\dfrac{35}{7} = 5\) minutes. Réponse C.
4. On range les 7 durées dans l’ordre croissant : 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 7 ; 7 ; 9. Avec 7 valeurs, la médiane est la 4e : 4 minutes (trois valeurs avant, trois après). Réponse B.
5. Les 32 cartes ont la même chance d’être tirées et 4 d’entre elles sont des rois : \(p = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\). Réponse A.
6. L’équateur est le parallèle de latitude 0°. La seule proposition dont la latitude est nulle est (0° N ; 78° O). Réponse C.
Exercice 2 :
1. Le prix TTC est la somme du prix HT et du montant de la TGC. Pour le pare-chocs, le montant de la TGC est donc la différence :
\[ 21\,960 – 18\,000 = 3\,960 \]
On le vérifie avec le taux : \(18\,000 \times \dfrac{22}{100} = 3\,960\). Le montant de la TGC du pare-chocs est de 3 960 francs.
2. Pour la main d’œuvre, la TGC vaut 1 440 francs pour un prix HT de 24 000 francs. Le taux est :
\[ \dfrac{1\,440}{24\,000} = 0{,}06 = \dfrac{6}{100} \]
La TGC appliquée à la main d’œuvre est de 6 % (c’est bien l’un des quatre taux possibles).
3. Le total à régler est la somme des prix TTC des lignes 2 à 5, qui se trouvent dans les cellules E2 à E5. On a pu saisir =SOMME(E2:E5) (ou =E2+E3+E4+E5). Vérification : \(78\,080 + 21\,960 + 12\,987 + 25\,440 = 138\,467\).
Exercice 3 :
1. Avec le programme A et le nombre 4 : \(4 – 5 = -1\), puis \(-1 \times 4 = -4\). Alice obtient bien \(-4\).
2. Avec le programme B et le nombre \(-3\) : \((-3)^2 = 9\) (le carré d’un nombre négatif est positif), puis \(9 – 4 = 5\). Lucie obtient 5.
3. Avec le programme A et le nombre \(x\) : on soustrait 5, ce qui donne \(x – 5\), puis on multiplie par \(x\) :
\[ (x-5) \times x = x \times x – 5 \times x = x^2 – 5x \]
Le résultat du programme A est \(x^2 – 5x\).
4. Avec le programme B : on met \(x\) au carré, puis on soustrait 4. Le résultat du programme B est \(x^2 – 4\).
5. Tom cherche \(x\) tel que les deux résultats soient égaux :
\[ x^2 – 5x = x^2 – 4 \]
En soustrayant \(x^2\) aux deux membres, on obtient \(-5x = -4\), puis en divisant par \(-5\) :
\[ x = \dfrac{-4}{-5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \]
Tom cherche le nombre 0,8. Vérification : programme A, \(0{,}8 – 5 = -4{,}2\) et \(-4{,}2 \times 0{,}8 = -3{,}36\) ; programme B, \(0{,}8^2 – 4 = 0{,}64 – 4 = -3{,}36\).
Exercice 4 :
1. Les points A, C, E d’une part et B, C, D d’autre part sont alignés (les droites (AE) et (BD) se coupent en C), et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. On est dans la configuration de Thalès « en papillon », donc :
\[ \dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}} \]
Avec CD = 700, CB = 500 et BA = 400 : \(\dfrac{700}{500} = \dfrac{\text{DE}}{400}\), d’où :
\[ \text{DE} = \dfrac{700 \times 400}{500} = 560 \]
DE = 560 m.
2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. On compare :
\[ \text{BC}^2 = 500^2 = 250\,000 \]
\[ \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 400^2 + 300^2 = 160\,000 + 90\,000 = 250\,000 \]
Comme \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
3. Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\), [AB] est le côté adjacent et [BC] l’hypoténuse :
\[ \cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{400}{500} = 0{,}8 \]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{ABC}} \approx 36{,}87^\circ\), donc \(\widehat{\text{ABC}} \approx 37^\circ\) au degré près.
4. Un tour mesure 2 880 m, donc cinq tours mesurent :
\[ 5 \times 2\,880 = 14\,400\ \text{m} \]
La distance totale est de 14 400 m, soit 14,4 km. (On peut retrouver la longueur d’un tour : CE \(= 300 \times \dfrac{700}{500} = 420\) m d’après Thalès, puis AB + BC + CD + DE + EC + CA = 400 + 500 + 700 + 560 + 420 + 300 = 2 880 m.)
5. On convertit la durée en heures : 48 min \(= \dfrac{48}{60}\) h \(= 0{,}8\) h, donc 1 h 48 min = 1,8 h. La vitesse moyenne est :
\[ v = \dfrac{14{,}4\ \text{km}}{1{,}8\ \text{h}} = 8\ \text{km/h} \]
La vitesse moyenne de Maltéo est de 8 km/h (ce qui correspond à environ 2 m/s, puisque \(14\,400 : 6\,480 \approx 2{,}2\) m/s).
Exercice 5 :
1. Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \quad \text{donc} \quad \text{BC}^2 = 5{,}25^2 – 5^2 = 27{,}5625 – 25 = 2{,}5625 \]
D’où \(\text{BC} = \sqrt{2{,}5625} \approx 1{,}6008\). BC ≈ 1,6 m au dixième près.
2. Quand on soulève la corde par son milieu, elle forme deux segments tendus de \(10{,}5 : 2 = 5{,}25\) m chacun. Le point le plus haut est à la verticale du milieu des deux points d’attache, donc à \(10 : 2 = 5\) m de chaque point d’attache au sol. On obtient deux triangles rectangles exactement comme le triangle ABC de la question 1 : un côté horizontal de 5 m, une hypoténuse (la corde) de 5,25 m et un côté vertical égal à la hauteur de la corde.
La corde monte donc à environ 1,60 m. Comme \(1{,}55 \lt 1{,}60\), Melvin peut passer sous la corde sans se baisser (avec environ 5 cm de marge).
Exercice 6 :
1. La somme des chiffres de 102 est \(1 + 0 + 2 = 3\), qui est divisible par 3. D’après le critère de divisibilité par 3, 102 est divisible par 3 ; d’ailleurs \(102 = 3 \times 34\).
2. On part de \(102 = 3 \times 34\) et \(34 = 2 \times 17\), où 2, 3 et 17 sont premiers :
\[ 102 = 2 \times 3 \times 17 \]
3. En multipliant deux des facteurs premiers, on obtient des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers : \(2 \times 3 = 6\), \(2 \times 17 = 34\) et \(3 \times 17 = 51\) (102 lui-même convient aussi).
4. Pour utiliser toute la feuille sans chute, le côté des étiquettes doit diviser à la fois 85 et 102. Or 34 est pair et 85 est impair, donc 34 ne divise pas 85 (\(85 : 34 = 2{,}5\)). Les étiquettes ne peuvent pas avoir 34 cm de côté.
5. 17 divise 85 et 102 : \(85 = 5 \times 17\) et \(102 = 6 \times 17\). On place 5 étiquettes dans la largeur et 6 dans la longueur, donc :
\[ 5 \times 6 = 30 \]
Le libraire pourra découper 30 étiquettes. Vérification par les aires : \(\dfrac{85 \times 102}{17 \times 17} = \dfrac{8\,670}{289} = 30\).
Exercice 7 :
Partie 1
1. Le diamètre est de 6 m, donc le rayon vaut \(r = 3\) m ; la hauteur du cylindre est OO’ = 2 m. Avec la formule du rappel :
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3^2 \times 2 = \pi \times 9 \times 2 = 18\pi\ \text{m}^3 \]
2. Le cône a le même rayon de base, 3 m, et une hauteur O’S = 1 m :
\[ V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 1 = 3\pi \approx 9{,}42\ \text{m}^3 \]
Le volume de la partie conique est d’environ 9 m³.
3. Le volume total est la somme des deux volumes :
\[ V_{\text{case}} = 18\pi + 3\pi = 21\pi \approx 65{,}97\ \text{m}^3 \]
Le volume de la case est bien d’environ 66 m³.
Partie 2
1. Sur l’annexe, on part de 7 sur l’axe des abscisses, on monte en pointillés verticalement jusqu’à la courbe rouge, puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées. On lit environ 90. Une case de 7 m de diamètre a un volume d’environ 90 m³. (Le calcul exact donne \(\dfrac{7\pi \times 7^2}{12} \approx 89{,}8\ \text{m}^3\).)
2. \(V(8) = 12{,}5 \times 8 = 100\). L’image de 8 par \(V\) est 100 : une maison de longueur 8 m aurait un volume de 100 m³.
3. \(V(x)\) est de la forme \(ax\) avec \(a = 12{,}5\). La fonction \(V\) est une fonction linéaire (le volume de la maison est proportionnel à \(x\)).
4. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. Il suffit d’un second point : par exemple \((8\,;\,100)\) d’après la question 2, ou \((4\,;\,50)\). On trace donc sur l’annexe la droite passant par \((0\,;\,0)\) et \((8\,;\,100)\).
5. Pour \(x = 6\) m (valeur maximale) :
- la case a un volume d’environ 66 m³ (partie 1) ;
- la maison a un volume de \(V(6) = 12{,}5 \times 6 = 75\) m³.
Comme \(75 \gt 66\), Nolan devra choisir la maison. Sur l’annexe, on voit aussi que la droite est au-dessus de la courbe rouge pour toutes les valeurs de \(x\) comprises entre 0 et 6 (les deux se croisent vers \(x \approx 6{,}8\)).
Exercice 8 :
1. Un triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur, ici 80 unités. En parcourant le triangle, le lutin doit tourner à chaque sommet de l’angle extérieur, c’est-à-dire \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) (les trois angles extérieurs font un tour complet : \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\)). Le script complété est :
quand drapeau vert est cliqué
s'orienter à 90
stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
avancer de 80
tourner à gauche de 120 degrés
fin
Il faut compléter par 3, 80 et 120.
2. Le script trace 12 segments (la boucle est répétée 12 fois), de longueurs 40, 50, 60, …, 150 unités, qui s’allongent de 10 à chaque fois, en tournant de 90° vers la gauche après chacun. On obtient une spirale carrée qui s’élargit, formée de 12 segments. La figure 3 est triangulaire, donc elle ne convient pas ; la figure 1 compte 16 segments et la figure 2 en compte exactement 12. Il faut entourer la figure 2.
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