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Dérivée d’une fonction : cours en première S

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I.Nombre dérivé – Fonction dérivée – tangente à une courbe

f est une fonction définie sur un intervalle I. La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}).

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives a\in Iet x=a+h\in Ioù h\in \mathbb{R}^*.

M et N ont donc pour coordonnées: M(a;f(a))et N(x;f(x))c’est à dire: N(a+h;f(a+h)).

On a donc: \vec{MN} ( x-a\\f(x)-f(a)  ) soit \vec{MN} ( h\\f(a+h)-f(a)  )

La droite (MN) sécante à (C) a donc pour coefficient directeur:

m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Si la courbe (C) possède en M une tangente de coefficient directeur d, alors lorsque le point N se rapproche de M, c’est à dire lorsque x tend vers a, ou, ce qui revient au même, lorsque h tend vers 0,

les sécantes (MN) vont atteindre une position limite qui est celle de la tangente (MP) en M à (C).

Ceci peut alors se traduire à l’aide des coefficients directeurs par:

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d          c’est à dire :     \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d.

On a donc: \lim_{h\to 0} [\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-d  ]=0.

Si nous appelons \Phi, la fonction définie pour h\in \mathbb{R}^* et a+h\in I par: \Phi (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-d,

on a: \lim_{h\to 0}\Phi (h)=0  et h\Phi (h)= f(a+h)-f(a)-dh, ce qui s’écrit aussi: f(a+h)= f(a)+dh+h\Phi (h).

Réciproquement, s’il existe un réel d et une fonction \Phi telle que, pour tout h\in \mathbb{R}^* et a+h\in I, on ait: f(a+h)= f(a)+dh+h\Phi (h) avec \lim_{h\to 0}\Phi (h)=0,

on en déduit que: \Phi (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-d et donc que: \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d.

Ceci nous permet donc de donner les trois définitions équivalentes:

Définition 1 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\in I.

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d=f'(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a\in I.

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x\in Iet proche de a, on ait:

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d=f'(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I. Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout x\in I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f sur I. Cette fonction est notée f'.

Interprétation graphique du nombre dérivé.

Si f est une fonction définie sur un intervalle I. Si a\in Iet si f est dérivable en x=a, alors :

La courbe représentative de f possède une tangente au point M(a;f(a)) et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé f'(a)de la fonction f en x=a.

Remarques :

Si le graphique de f ne possède pas de tangente au point M d’abscisse x=a, alors la fonction f n’est pas dérivable en a. C’est le cas de la fonction valeur absolue en x=0.

Le graphique d’une fonction peut fort bien posséder une tangente en un point sans que la fonction soit dérivable en ce point : il suffit que le coefficient directeur de cette tangente n’existe pas (tangente parallèle à l’axe des ordonnées).

C’est le cas de la fonction racine carrée en x=0.

III. Équation de la tangente à une courbe

Si fonction f est dérivable en a, la tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse x=a existe.

Elle a pour coefficient directeur m=f'(a).

Son équation est donc de la forme: y=mx+p, où m=f'(a) et son ordonnée à l’origine p peut être calculée.

Il suffit d’écrire que (MP) passe par m=f'(a).

On a donc: f(a)=f'(a)\times   a+p. Ceci donne: p=f(a)-a\times   f'(a).

Donc: y=f'(a)x+f(a)-af'(a)que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

Equation de la tangente au point M(a;f(a)) :

y=f'(a)(x-a)+f(a)                       ou        y-f(a)=f'(a)(x-a).

IV.   Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème 1:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

· Si f est croissante sur I, alors pour tout x\in I, on a: f'(x)\geq\, 0

· Si f est décroissante sur I, alors pour tout x\in I, on a: f'(x)\leq\, 0.

· Si f est constante sur I, alors pour tout x\in I, on a: f'(x)= 0.

Théorème 2:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

· Si, pour tout x\in I, on a: f'(x)\geq\, 0, alors f est croissante sur I.

· Si, pour tout x\in I, on a: f'(x)\leq\, 0, alors f est décroissante sur I.

· Si, pour tout x\in I, on a: f'(x)= 0, alors f est constante sur I.

Théorème 3:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

· Si, pour tout x\in I, on a: f'(x)> 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f'(x)= 0),

alors f est strictement croissante sur I.

· Si, pour tout x\in I, on a: f'(x)< 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f'(x)= 0),

alors f est strictement décroissante sur I.

En particulier:

f est une fonction dérivable sur un intervalle [a;b].

· Si, pour tout x\in[a;b], on a f'(x)>\,0, alors f est strictement croissante sur [a;b].

· Si, pour tout x\in[a;b], on a f'(x)< 0, alors f est strictement décroissante sur [a;b].

Exemples:

1) Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2.

f est dérivable sur \mathbb{R} et  f'(x)=2x pour tout x\in \mathbb{R}.

· Pour tout x\in ]-\infty;0], on a f'(x)\leq\, 0, donc f est décroissante sur ]-\infty;0].

· Pour toutx\in [0;+\infty[, on a f'(x) \geq\, 0, donc f est croissante sur  [0;+\infty[.

Bien que f'(0) = 0, on a de façon plus précise :

· Pour tout x\in ]-\infty;0[, on a f'(x) < 0, donc f est strictement décroissante sur ]-\infty;0].

· Pour tout x\in ]0;+\infty[, on a f'(x) > 0, donc f est strictement croissante sur  [0;+\infty[.

V. Changement de signe de la dérivée et extremum d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème 1:

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en  x=a différent des extrémités de l’intervalle I,

Alors: f'(a)=0.

Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert:

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en a\in I,

Alors: f'(a)=0.

Théorème 2 :

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

Et si a\in I et si f'(x) s’annule pour x=a en changeant de signe,

Alors f(a) est un extremum local de f sur I.

Exemples:

1) Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}par f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. f est dérivable sur \mathbb{R} avec f'(x) =6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2).

f'(x) s’annule en x=-1 et x=2 en changeant de signe, car :

pour x appartenant à ]-\infty;-1[  , on a : f'(x)>0. Donc f est strictement croissante sur ]-\infty;-1[.

pour x appartenant à  ]-1;2[, on a : f'(x)<0. Donc f est strictement décroissante sur ]-1;2[.

pourx appartenant à ]2;+\infty[ , on a : f'(x)>0. Donc f est strictement croissante sur ]2;+\infty[.

f possède donc un maximum local en x=-1 et un minimum local en x=2.

Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous :

Voici un morceau des représentations graphiques de f et de f' :

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