Terminale · Fiche méthode 8 sur 12 · Continuité
Comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$. On la localise ensuite par balayage.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier la continuité
Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, quotients hors valeurs interdites) sont continues sur leur ensemble de définition. Une fonction dérivable est continue.
2Établir la stricte monotonie
C'est le rôle de la dérivée : si $f'$ est strictement positive sur l'intervalle, $f$ y est strictement croissante. Cette hypothèse est ce qui donne l'unicité.
3Calculer les valeurs aux bornes
On calcule $f(a)$ et $f(b)$, ou leurs limites si les bornes sont infinies, et on vérifie que $k$ est entre les deux.
4Rédiger l'application du théorème
« $f$ est continue et strictement croissante sur $[a\,;b]$, et $k\in[f(a)\,;f(b)]$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[a\,;b]$. »
5Encadrer la solution
Avec la calculatrice, on teste des valeurs jusqu'à obtenir la précision demandée : si $f(1{,}4)
Un exemple entièrement résolu
Soit $f(x) = x^3+x-3$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$, puis en donner un encadrement au dixième.
$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[1\,;2]$.
$f'(x) = 3x^2+1>0$ pour tout réel : $f$ est strictement croissante sur $[1\,;2]$.
$f(1) = 1+1-3 = -1$ et $f(2) = 8+2-3 = 7$. Or $0$ est compris entre $-1$ et $7$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$.
$f(1{,}2) = 1{,}728+1{,}2-3 = -0{,}072<0$ et $f(1{,}3) = 2{,}197+1{,}3-3 = 0{,}497>0$.
Conclusion. L'équation admet une unique solution $\alpha$, avec $1{,}2<\alpha<1{,}3$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier de justifier la stricte monotonie : sans elle, le théorème donne l'existence mais pas l'unicité.
- Ne pas vérifier que $k$ est bien encadré par $f(a)$ et $f(b)$.
- Donner une valeur approchée de $\alpha$ sans encadrement, alors que la question demande une précision.
- Appliquer le théorème sur un intervalle où la fonction n'est pas continue, par exemple de part et d'autre d'une valeur interdite.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Montrer que $x^3 = 5$ a une unique solution réelle.
Voir le corrigé
$f(x) = x^3$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (car $f'(x) = 3x^2\ge 0$, nulle seulement en $0$), avec des limites $-\infty$ et $+\infty$.
$5$ appartient à $\mathbb{R}$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution, $\alpha = \sqrt[3]{5}\approx 1{,}71$.
- Exercice 2
Soit $f(x) = \mathrm{e}^x-3$. Montrer que $f(x) = 0$ a une unique solution dans $[1\,;2]$.
Voir le corrigé
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car $f'(x) = \mathrm{e}^x>0$.
$f(1) = \mathrm{e}-3\approx -0{,}28<0$ et $f(2) = \mathrm{e}^2-3\approx 4{,}39>0$ : il existe une unique solution dans $[1\,;2]$, qui vaut $\ln 3\approx 1{,}10$.
- Exercice 3
Soit $f$ continue sur $[0\,;4]$ avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 6$, sans hypothèse de monotonie. Que peut-on affirmer ?
Voir le corrigé
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'il existe au moins une solution à $f(x) = 0$ dans $[0\,;4]$.
Sans stricte monotonie, on ne peut pas affirmer qu'elle est unique : la courbe pourrait traverser l'axe plusieurs fois.
Questions fréquentes
Quelle différence entre le TVI et sa version stricte ?
La version de base, avec la seule continuité, donne l'existence d'au moins une solution. En ajoutant la stricte monotonie, on obtient l'unicité. C'est cette seconde version, parfois appelée corollaire du TVI ou théorème de la bijection, qu'on utilise presque toujours.
Comment encadrer la solution avec la calculatrice ?
Par balayage : on affiche un tableau de valeurs avec un pas de $0{,}1$, on repère le changement de signe, puis on recommence avec un pas de $0{,}01$ dans cet intervalle. Chaque passage gagne une décimale, jusqu'à la précision demandée.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Continuité en Terminale, voici le reste des ressources du site :