Terminale — chapitre 3 sur 12
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence (et l'unicité, cas monotone) d'une solution de $f(x) = k$.
$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ ; continue sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ (courbe tracée sans lever le crayon). Toute fonction dérivable est continue ; les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, $\exp$, $\ln$, $\sqrt{\ }$, $\cos$, $\sin$) sont continues sur leur ensemble de définition.
Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$. Le résultat s'étend aux intervalles ouverts ou infinis avec les limites.
Citer : continuité, stricte monotonie (souvent via $f'$), valeurs (ou limites) aux bornes, encadrement de $k$. Puis encadrer la solution par balayage ou dichotomie à la calculatrice.
Si $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ est solution de $f(\ell) = \ell$ (point fixe).