Au programme de 3ème
Définition
Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres à la fois.
Notation : \(\text{PGCD}(a\,;\,b)\), parfois noté \(a \wedge b\).
En clair
C’est le plus grand « diviseur en commun » : celui qui permet de simplifier au maximum.
Ce qu’il faut retenir
- On le trouve par la liste des diviseurs, par la décomposition en facteurs premiers, ou par l’algorithme d’Euclide.
- Algorithme d’Euclide : \(\text{PGCD}(a\,;\,b) = \text{PGCD}(b\,;\,r)\) où \(r\) est le reste de la division de \(a\) par \(b\).
- Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
- Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD rend la fraction irréductible.
- Le PGCD sert à résoudre les problèmes de partage en parts égales les plus grandes possibles.
Exemple
\(\text{PGCD}(84\,;\,126)\) par l’algorithme d’Euclide : \(126 = 84 \times 1 + 42\), puis \(84 = 42 \times 2 + 0\). Le dernier reste non nul est 42 : le PGCD vaut 42.
À ne pas confondre avec
- PPCM — le PPCM est un multiple commun, donc plus grand que les deux nombres.
Réviser cette notion sur Mathovore
- Synthèse de coursArithmétique : diviseurs, nombres premiers, fractions irréductibles
- Fiche méthodeComment calculer un PGCD ?
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Termes liés
PPCM
Diviseur
Nombre premier
Fraction irréductible
Nombres premiers entre eux
Division euclidienne
Décomposition en facteurs premiers
Nombre irrationnel
Nombre rationnel
Racine carrée
Questions fréquentes sur « pgcd »
Comment calculer un PGCD ?
Le plus efficace est l’algorithme d’Euclide : on remplace le couple \((a\,;\,b)\) par \((b\,;\,r)\) jusqu’à tomber sur un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
À quoi sert le PGCD ?
À rendre une fraction irréductible et à résoudre les problèmes de partage en parts égales le plus grandes possibles.
