Troisième · Fiche méthode 4 sur 12 · Arithmétique
Comment calculer un PGCD ?
Le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres. La méthode la plus rapide est l'algorithme d'Euclide : on divise le grand par le petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.
La méthode en 5 étapes
1Poser la première division
On divise le plus grand nombre par le plus petit, et on note le reste.
2Recommencer avec diviseur et reste
Le diviseur devient le nouveau dividende, le reste devient le nouveau diviseur. On divise de nouveau.
3S'arrêter au reste nul
Dès qu'un reste vaut $0$, l'algorithme est terminé.
4Lire le PGCD
C'est le dernier reste non nul, c'est-à-dire le diviseur de la dernière division.
5Interpréter le résultat
Si le PGCD vaut $1$, les deux nombres sont premiers entre eux : aucune simplification n'est possible entre eux.
Un exemple entièrement résolu
Calculer le PGCD de $429$ et $273$ par l'algorithme d'Euclide.
$429 = 273\times 1+156$. Le reste vaut $156$.
$273 = 156\times 1+117$. Le reste vaut $117$.
$156 = 117\times 1+39$. Le reste vaut $39$.
$117 = 39\times 3+0$. Le reste est nul : on s'arrête. Le dernier reste non nul est $39$.
Conclusion. $\text{PGCD}(429\,;273) = 39$. Vérification : $429 = 39\times 11$ et $273 = 39\times 7$.
Les erreurs à ne pas faire
- Prendre le dernier reste, qui vaut $0$ : le PGCD est le dernier reste non nul.
- Oublier de décaler les nombres : à chaque étape, le diviseur devient dividende et le reste devient diviseur.
- Confondre PGCD et PPCM : le PGCD est plus petit que les deux nombres, le PPCM est plus grand.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer le PGCD de $84$ et $36$.
Voir le corrigé
$84 = 36\times 2+12$ ; $36 = 12\times 3+0$.
Le dernier reste non nul est $12$, donc $\text{PGCD}(84\,;36) = 12$.
- Exercice 2
Les nombres $105$ et $88$ sont-ils premiers entre eux ?
Voir le corrigé
$105 = 88\times 1+17$ ; $88 = 17\times 5+3$ ; $17 = 3\times 5+2$ ; $3 = 2\times 1+1$ ; $2 = 1\times 2+0$.
Le PGCD vaut $1$ : ces deux nombres sont bien premiers entre eux.
- Exercice 3
Un fleuriste dispose de $126$ roses et $180$ tulipes. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets, et de quelle composition ?
Voir le corrigé
Le nombre de bouquets est le PGCD : $180 = 126\times 1+54$ ; $126 = 54\times 2+18$ ; $54 = 18\times 3+0$, donc PGCD $= 18$.
Il peut faire $18$ bouquets, contenant chacun $126\div 18 = 7$ roses et $180\div 18 = 10$ tulipes.
Questions fréquentes
Peut-on calculer le PGCD autrement ?
Oui, par décomposition en facteurs premiers : on garde les facteurs communs avec leur plus petit exposant. C'est efficace sur de petits nombres, mais l'algorithme d'Euclide reste bien plus rapide dès que les nombres dépassent quelques centaines.
À quoi sert le PGCD dans les problèmes ?
Il répond aux questions de partage équitable maximal : « le plus grand nombre de paquets identiques », « la plus grande longueur de carreaux sans découpe ». Dès qu'un énoncé demande le plus grand nombre de parts identiques sans reste, c'est un PGCD.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Arithmétique en Troisième, voici le reste des ressources du site :