Nombre dérivé : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

Le nombre dérivé d’une fonction \(f\) en \(a\) est la limite, quand \(h\) tend vers 0, du taux de variation \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}\).

Notation : \(f'(a)\).

En clair

C’est la pente de la courbe au point d’abscisse \(a\) : la vitesse instantanée de variation de la fonction.

\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).
L’équation de cette tangente est \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
En physique, la dérivée de la position par rapport au temps est la vitesse instantanée.
\(f'(a) = 0\) signifie que la tangente est horizontale en ce point.
Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.

\(f(x) = x^2\) en \(a = 3\) : \(\dfrac{(3+h)^2 – 9}{h} = 6 + h\), qui tend vers 6. Donc \(f'(3) = 6\).

Dérivée — la dérivée est la fonction qui donne tous les nombres dérivés.
Taux de variation — le taux de variation est une pente moyenne, le nombre dérivé une pente instantanée.

La pente de la tangente à la courbe en un point, obtenue comme limite du taux de variation.

\(y = f'(a)(x – a) + f(a)\), où \(a\) est l’abscisse du point de contact.

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