Première · Fiche méthode 4 sur 12 · Dérivation
Comment calculer une dérivée ?
On décompose la fonction, on applique les dérivées de référence ($x^n$ donne $nx^{n-1}$), puis les formules d'opérations : $(uv)' = u'v+uv'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
La méthode en 5 étapes
1Reconnaître la structure
Somme, produit, quotient, ou fonction de référence ? C'est ce qui choisit la formule. Une somme se dérive terme à terme, c'est le cas le plus simple.
2Utiliser les dérivées de référence
$(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$. Une constante a une dérivée nulle.
3Poser u et v explicitement
Pour un produit ou un quotient, on écrit à part $u$, $u'$, $v$, $v'$ avant d'appliquer la formule. C'est ce qui évite la plupart des erreurs.
4Appliquer la formule
$(uv)' = u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, où le signe moins et l'ordre des termes sont essentiels.
5Réduire
On développe le numérateur et on réduit, mais on garde le dénominateur factorisé : c'est lui qui servira ensuite pour le signe.
Un exemple entièrement résolu
Dériver $f(x) = 3x^4-5x^2+7$ et $g(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$.
Terme à terme : $(3x^4)' = 12x^3$, $(-5x^2)' = -10x$, $(7)' = 0$.
$f'(x) = 12x^3-10x$
$u = 2x+1$ donc $u' = 2$ ; $v = x-3$ donc $v' = 1$.
$g'(x) = \dfrac{2(x-3)-(2x+1)\times 1}{(x-3)^2}$
Numérateur : $2x-6-2x-1 = -7$.
$g'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$
Conclusion. $f'(x) = 12x^3-10x$ et $g'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$, qui est négative sur tout l'ensemble de définition : $g$ est décroissante sur chacun de ses intervalles.
Les erreurs à ne pas faire
- Dériver un produit en multipliant les dérivées : $(uv)'\neq u'v'$.
- Inverser l'ordre au numérateur du quotient : c'est $u'v-uv'$, et le changement d'ordre inverse le signe.
- Oublier de dériver l'intérieur d'une composée : $(\mathrm{e}^{3x})' = 3\mathrm{e}^{3x}$.
- Développer le dénominateur $(x-3)^2$ : le garder factorisé facilite l'étude du signe.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Dériver $f(x) = x^3-4x+1$ et $g(x) = 5x^2-\dfrac{1}{x}$.
Voir le corrigé
$f'(x) = 3x^2-4$.
$g'(x) = 10x+\dfrac{1}{x^2}$, car la dérivée de $-\dfrac{1}{x}$ vaut $+\dfrac{1}{x^2}$.
- Exercice 2
Dériver $h(x) = (2x-1)(x^2+3)$.
Voir le corrigé
$u = 2x-1$, $u' = 2$ ; $v = x^2+3$, $v' = 2x$.
$h'(x) = 2(x^2+3)+(2x-1)\times 2x = 2x^2+6+4x^2-2x = 6x^2-2x+6$.
- Exercice 3
Dériver $k(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$.
Voir le corrigé
$u = x^2$, $u' = 2x$ ; $v = x+1$, $v' = 1$.
$k'(x) = \dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$, soit $\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
Questions fréquentes
Que représente le nombre dérivé ?
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. C'est aussi une vitesse de variation instantanée : en physique, la dérivée de la position par rapport au temps est la vitesse.
Faut-il apprendre les formules par cœur ?
Oui, elles sont utilisées à chaque exercice d'analyse jusqu'en terminale. Le plus rentable est de savoir les reconnaître vite : poser $u$, $u'$, $v$, $v'$ avant d'écrire la formule fait gagner plus de temps que d'essayer de tout faire de tête.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Dérivation en Première, voici le reste des ressources du site :