Intervalle : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de Seconde

Définition

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, ou s’étendant à l’infini d’un côté.

Notation : \([a\,;\,b]\) fermé, \(]a\,;\,b[\) ouvert, \([a\,;\,+\infty[\) non borné.

En clair

C’est un « morceau » de la droite des réels, décrit par ses deux extrémités.

Un crochet tourné vers l’intérieur inclut la borne ; tourné vers l’extérieur, il l’exclut.
Une borne infinie est toujours ouverte : on écrit \(]-\infty\,;\,3]\) et jamais \([-\infty\,;\,3]\).
\(x \in [a\,;\,b]\) équivaut à \(a \le x \le b\).
L’intersection \(\cap\) garde les nombres communs, la réunion \(\cup\) rassemble.
Les solutions d’une inéquation s’écrivent naturellement sous forme d’intervalle.

\(x \ge -2\) s’écrit \(x \in [-2\,;\,+\infty[\). Et \([1\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]\).

Encadrement — l’encadrement est l’écriture avec des inégalités, l’intervalle est l’écriture ensembliste.

Le premier contient 2 et 5, le second les exclut : il ne contient que les nombres strictement compris entre les deux.

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