$ax+b$ ($a\ne0$) s'annule en $x_0 = -\dfrac ba$ ; elle est du signe de $a$ pour $x>x_0$ et du signe contraire pour $x
Méthode — tableau de signes
Pour résoudre $(2x-4)(1-x)\ge 0$ : on dresse une ligne par facteur, avec les valeurs d'annulation $2$ et $1$, puis on multiplie les signes. Solution : $S = [1\,;2]$.
À retenir
Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite (double barre dans le tableau).
Méthode — inéquation quotient
$\dfrac{x+1}{x-3}\le 0$ : signe de $x+1$ (zéro en $-1$), de $x-3$ (zéro en $3$, valeur interdite). $S = [-1\,;3[$.
Propriété — ordre et opérations
Ajouter un même nombre conserve l'ordre. Multiplier par un positif conserve l'ordre, par un négatif le renverse. Pour $0\dfrac1b$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment noter un intervalle ?
$[a\,;b]$ est fermé (bornes incluses), $]a\,;b[$ ouvert (bornes exclues). Les bornes infinies sont toujours exclues : $[2\,;+\infty[$ est l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à $2$.
Comment faire un tableau de signes ?
On cherche la valeur qui annule chaque facteur, on place ces valeurs en ordre croissant, on donne le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, puis on applique la règle des signes pour le produit.
Comment résoudre une inéquation produit ?
On se ramène à « produit $\ge0$ » (ou $\le0$), on dresse le tableau de signes, et on lit l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Comment résoudre une inéquation quotient ?
Comme une inéquation produit, mais la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite, marquée par une double barre dans le tableau.