Équation cartésienne d'un plan : définition et exemple

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Au programme de Terminale

Définition

Une équation cartésienne d’un plan est une relation de la forme \(ax + by + cz + d = 0\), vérifiée exactement par les points de ce plan.

En clair

C’est la « carte d’identité » du plan dans un repère de l’espace.

\(\vec n(a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal au plan.
Pour trouver \(d\), on remplace les coordonnées d’un point connu du plan.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Un point appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation.
La distance d’un point \(A\) au plan vaut \(\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

Plan passant par \(A(1\,;\,2\,;\,0)\) de vecteur normal \(\vec n(3\,;\,-1\,;\,2)\) : \(3x – y + 2z + d = 0\) avec \(3-2+0+d=0\), donc \(d = -1\).

On utilise un vecteur normal \(\vec n(a\,;\,b\,;\,c)\) pour écrire \(ax+by+cz+d=0\), puis on détermine \(d\) avec un point du plan.

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